讓概念教學(xué)潤澤兒童的心靈
——吳正憲老師《倍數(shù)和因數(shù)》教學(xué)賞析

楊紅干

每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有豐富的知識背景和學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)背景；任何一個(gè)概念的獲得都是在遇到問題、解決問題的過程中逐步歸納、總結(jié)而得的。如果舍棄這些背景，直接拋給學(xué)生一連串的概念常常使學(xué)生感到茫然，丟掉了培養(yǎng)學(xué)生概括能力和創(chuàng)新能力的機(jī)會。于教師而言，對教學(xué)價(jià)值的單向追求，有可能缺失的是知識對學(xué)生的“育人價(jià)值”；于學(xué)生而言，從學(xué)科價(jià)值的層面認(rèn)識到一個(gè)概念的重要性是需要過程的。蘇霍姆林斯基說：“沒有對兒童的了解，就沒有學(xué)校，就沒有教育……”。兒童是活生生的人，兒童是發(fā)展中的人，這正是吳正憲老師的兒童觀。她強(qiáng)調(diào)兒童的主體地位，發(fā)揮兒童的積極性、主動性，讓兒童有尊嚴(yán)的生活，這是吳老師兒童數(shù)學(xué)教學(xué)教育思想的一大亮點(diǎn)。認(rèn)識兒童、了解兒童，這是兒童教育的起點(diǎn)。吳老師追求的是讓課堂教學(xué)充滿生命的活力。走進(jìn)吳老師《倍數(shù)與因數(shù)》的數(shù)學(xué)課堂，能看到她努力走進(jìn)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界，用心去感悟?qū)W生的每一絲發(fā)現(xiàn)，尊重概念產(chǎn)生的知識背景和學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)背景，給予學(xué)生概括能力和創(chuàng)新能力的機(jī)會，豐富知識對學(xué)生的“育人價(jià)值”。把握每一個(gè)有意義的教育契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生在“好吃”中享受“有營養(yǎng)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、在概念溝通中，聯(lián)結(jié)新舊知識

1.與生活經(jīng)驗(yàn)溝通，突出概念由來。

師：今天我們聊一個(gè)話題：因數(shù)和倍數(shù)。過去的學(xué)習(xí)中在哪里見過因數(shù)和倍數(shù)？

生：1、2、3、4……

師：這些都是數(shù)字，過去學(xué)習(xí)中見過沒有？舉個(gè)例子。

生：2×2=4，4是2的 2倍。

師：2倍是什么？換個(gè)式子6是2的3倍，這個(gè)式子會寫嗎？

生：6÷2=3。

師：6是2的3倍，那倍數(shù)是誰呢？

生：3是倍數(shù)。

師：沒聽過因數(shù)嗎？在哪里找？舉個(gè)例子。

生：4×5=20。（請一個(gè)學(xué)生在黑板上寫算式）

師：那誰是因數(shù)？

生：4和5是因數(shù)。

師：7×8 呢？

師：假如 0.4×2=0.8，哪一個(gè)是因數(shù)？

生：0.4和2是因數(shù)。

【賞析：杜威強(qiáng)調(diào)，教育必須建立在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教育就是經(jīng)驗(yàn)的生長和經(jīng)驗(yàn)的改造?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“教師應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式教學(xué)和因材施教?！睂W(xué)生有經(jīng)驗(yàn)，自然就有教育的可能和空間。吳老師充分尊重學(xué)生已有的“倍數(shù)和因數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)——“倍數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)就是在除法里誰是誰的幾倍；“因數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)就是存在于乘法里的乘數(shù)即因數(shù)。經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是建立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的一個(gè)主動建構(gòu)的過程，吳老師正是把學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)不斷地激活、利用、調(diào)整、提升。這樣的概念教學(xué)就有了滲透數(shù)學(xué)思想“建?！钡囊饬x，無形中打開了教學(xué)空間?！?/p>

2.與認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)溝通，突出概念的關(guān)聯(lián)性。

師：我明白了，你們在除法里找倍數(shù)；在乘法里找因數(shù)，但我遺憾地告訴你們 6÷2=3，4×5=20 里面既有因數(shù)又有倍數(shù)，卻不是你們說的倍數(shù)和因數(shù)；我還告訴你們0.4×2=0.8，這不是我們今天研究的因數(shù)和倍數(shù)。是不是腦子里有點(diǎn)糊涂？那今天研究的因數(shù)和倍數(shù)到底又是什么呢？讓我們一起來研究它。

【賞析：聽完吳老師的這段話，學(xué)生蒙了。這下學(xué)生的原概念與新概念有了沖突（即老革命遇到了新問題），我想學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生一定有前提：學(xué)生已有的原概念，先前的經(jīng)驗(yàn)和今天的新概念產(chǎn)生矛盾。這樣激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)需，學(xué)生的學(xué)習(xí)動力被完全激發(fā)，學(xué)習(xí)真正開始了?！?/p>

二、在概念概括中，理解知識本質(zhì)

1.與乘除法聯(lián)系，呈現(xiàn)概念的由來。

師：誰愿意到黑板上寫算式？如果12個(gè)人分成小組，每組人數(shù)一樣多，怎么分？（教師拿出12支粉筆請學(xué)生演示。一位學(xué)生演示，一位學(xué)生記錄）

生：平均分成6組，每組2人。（學(xué)生記錄 2×6=12）

師：還可以怎么記錄？

生：12÷6=2、12÷2=6。

生：還可以分成3組。3×4=12、12÷3=4、12÷4=3，也可以分成12組。（學(xué)生寫出算式）

師：12人，如果每組5人，可以嗎？

生：2組。

師：干凈了嗎？

生：還余2人。

師：那這個(gè)式子如何表達(dá)呢？

生：12÷5=2……2。

【賞析：由于概念教學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用，所以吳老師采取了直觀演示——平均分組的活動，引領(lǐng)學(xué)生建立概念的表象。又因因數(shù)和倍數(shù)是一對較為抽象的數(shù)學(xué)概念，因此吳老師讓學(xué)生經(jīng)歷“分粉筆”這一數(shù)學(xué)活動時(shí)，以乘積等于12這一乘法算式為例，借助形象化手段，揭示因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)。同時(shí)還重視在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維——因數(shù)和倍數(shù)既存在于乘法算式中又存在于除法算式中。倍數(shù)和因數(shù)的概念是學(xué)生初次接觸且較難理解的，所以在教學(xué)時(shí)吳老師引領(lǐng)學(xué)生列舉大量具體的例子，從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，即通過平分人數(shù)的情境中抽象出乘法算式和除法算式，為后續(xù)的學(xué)習(xí)歸納出這一類事物的特征埋下伏筆?！?/p>

2.與整數(shù)和整倍數(shù)聯(lián)系，突出概念特征。

師：寫好的算式我們得對它們有所思考，這么多的式子，我們能把它們分分類嗎？怎么分呢？你打算怎么分類？沒有對錯(cuò)，只要有標(biāo)準(zhǔn)，都可以分類。

生：我分兩類，有余數(shù)的和沒有余數(shù)的。

師：還可以怎么分？

生：乘法一類，除法一類。

師：能用數(shù)學(xué)的算式來表達(dá)你們分類的過程，你們一下子寫出了一道乘法算式和兩道除法算式，可是今天我們學(xué)習(xí)的是因數(shù)和倍數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)都在這里，以2×6=12為例，2和 6是12的因數(shù)，12是2和6的倍數(shù)。（教師用手比劃乘法和除法算式中數(shù)的關(guān)系）你能學(xué)著老師的樣子來說說第二組算式嗎？（學(xué)生試著說倍數(shù)和因數(shù)）

師：因數(shù)和倍數(shù)既在乘法里又在除法里，到底什么是因數(shù)？什么是倍數(shù)？你能試著總結(jié)一下嗎？一句話或兩句話把你心中的倍數(shù)和因數(shù)表達(dá)出來。我知道這很難，但四人小組討論后一定有發(fā)現(xiàn)。（學(xué)生討論，教師巡視收集發(fā)現(xiàn)，投影分層展示學(xué)生的想法）

【賞析：概念教學(xué)主要是要完成概念的形成和概念的同化這兩個(gè)環(huán)節(jié)。由于概念本身具有的嚴(yán)密性、抽象性和規(guī)定性，傳統(tǒng)教學(xué)中往往比較重視培養(yǎng)思維的邏輯性和精確性，在方式上以“告知”為主讓學(xué)生“占有”新概念，學(xué)生的主體地位得不到發(fā)揮，學(xué)生的思維會產(chǎn)生依賴性。大多數(shù)版本的教材中明明白白地給出“整數(shù)A除以整數(shù)B，如果除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說數(shù)A能被數(shù)B整除，數(shù)A是數(shù)B的倍數(shù)，數(shù)B是數(shù)A的因數(shù)?！边@不利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。令我驚奇的是——這節(jié)課自始至終，吳老師沒有給出“因數(shù)”和“倍數(shù)”的定義，而是不斷地激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、調(diào)整經(jīng)驗(yàn)?！皩W(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)?！睂W(xué)生就在吳老師創(chuàng)設(shè)的情境中像數(shù)學(xué)家那樣去“想數(shù)學(xué)”，“經(jīng)歷”一次發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程，通過教師的一句話學(xué)會推理、遷移、發(fā)現(xiàn)?！?/p>

3.與學(xué)生概括展示相聯(lián)系，把握概念本質(zhì)。

生：一個(gè)數(shù)×一個(gè)數(shù)=另一個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)、一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)，另一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù)、一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

師：你們同意嗎？為什么不同意？舉個(gè)例子就可以了。

生：小數(shù)也是數(shù)，如0.4×2=0.8，0.4、2不是0.8的因數(shù)，另一個(gè)數(shù)不是它的倍數(shù)。

師：你明白了嗎？那一個(gè)數(shù)又有什么要求？

生：倍數(shù)和因數(shù)都是整數(shù)，不能有余數(shù)。

師：是呀，你們越總結(jié)越像因數(shù)和倍數(shù)了。那我舉個(gè)例子7+5=12里面有因數(shù)和倍數(shù)嗎？

生：7+5=12里沒有因數(shù)和倍數(shù)，因?yàn)橐驍?shù)和倍數(shù)要在乘法和除法里。

（教師板書：1.兩個(gè)數(shù)都是整數(shù)；2.整倍數(shù)）

生：倍數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的積，同樣在除法中倍數(shù)又是除數(shù)和商的積。

師：你們的總結(jié)越來越接近倍數(shù)和因數(shù)。

生：在乘法算式中，兩個(gè)乘數(shù)是因數(shù)，積是倍數(shù)；在除法算式里，被除數(shù)是倍數(shù)，除數(shù)和商是因數(shù)。

師：咱們數(shù)學(xué)人講究簡潔，我們最終得出：首先這兩數(shù)得是——整數(shù)，它們還不能有——余數(shù)，即必須是整倍數(shù)的關(guān)系，得符合這兩個(gè)條件。1.5÷0.5=3中有倍數(shù)關(guān)系嗎？為什么？0.4×2=0.8呢？12÷5=2……2呢？（學(xué)生一一回答并說出原因）

師：過去我們學(xué)習(xí)的因數(shù)和倍數(shù)只是它的名稱而已，此因數(shù)非彼因數(shù)。（繼續(xù)與學(xué)生鞏固因數(shù)和倍數(shù)的兩個(gè)條件）因數(shù)既可以在乘法里又可以在除法里，而且這兩個(gè)整數(shù)必須是整倍數(shù)關(guān)系?，F(xiàn)在腦子里的因數(shù)和倍數(shù)清晰了嗎？（教師找一名學(xué)生說說什么是因數(shù)，什么是倍數(shù)）

【賞析：在學(xué)生初步歸納出一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的特征后，教師適時(shí)地追問，使得學(xué)生的發(fā)現(xiàn)由不完全歸納上升到初步的理性思考層面。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生獲得的不僅是知識與技能，還有思考方法和思維方式的提升。同時(shí)為幫助學(xué)生深刻理解基本數(shù)學(xué)概念，吳老師教學(xué)時(shí)充分讓學(xué)生演示、觀察、補(bǔ)充、質(zhì)疑、概括，把倍數(shù)與因數(shù)概念的本質(zhì)屬性和普遍意義形象地展現(xiàn)出來，使學(xué)生在頭腦中建立起這些內(nèi)容的豐富表象；再組織學(xué)生分析、討論、辨析加深這些概念的感性認(rèn)識；最后對表象進(jìn)一步加工形成概念，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生對概念的深刻理解。學(xué)生在與已有的概念加以區(qū)別和聯(lián)系時(shí)，不斷地形成對倍數(shù)和因數(shù)的一種陳述性的定義，這就是形成一種概念的過程。在這一過程中吳老師還做到與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有概念相互聯(lián)系、作用，從而領(lǐng)會新概念的本質(zhì)屬性，獲得新概念。】

三、在概念鞏固中，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

師：你看錯(cuò)著錯(cuò)著就對了；聊著聊著就會了。你能舉幾個(gè)例子說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)嗎？

生：15是倍數(shù)，3和5是因數(shù)。

生：不同意。15是3和5的倍數(shù)，3和5是15的因數(shù)。

師：（教師例舉生活中哥哥和弟弟的關(guān)系，突出相互依存的關(guān)系，因數(shù)和倍數(shù)總是一對一對出現(xiàn)的）誰能舉個(gè)除法的例子并說出因數(shù)和倍數(shù)？

生：10÷2=5。

生：10是2和5的倍數(shù)，2和5是10的因數(shù)。

師：說得真好，一對一對的說，誰來說說別人沒說過的話？（繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生通過舉例子鞏固因數(shù)和倍數(shù)的兩個(gè)條件）

師：我們今天給因數(shù)和倍數(shù)以新的約定、新的規(guī)定，在一堆一堆的式子里，你們把長得一樣的、有共性的抽出來，但說法得簡潔呀，于是我們總結(jié)出了兩句話：因數(shù)和倍數(shù)得是整數(shù)，并且是整倍數(shù)關(guān)系，得一對一對的出現(xiàn)，誰也離不開誰。

【賞析：學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過程是一個(gè)主動建構(gòu)與生成的過程，結(jié)果式的教學(xué)同樣讓學(xué)生“學(xué)會”一個(gè)概念，并在這個(gè)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的“數(shù)學(xué)化”，然而學(xué)生缺失的是對一個(gè)概念豐富的、個(gè)性化的、帶有情緒色彩體驗(yàn)的理解。在吳老師的課堂上，因?yàn)樽鹬亓藢W(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)和已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生學(xué)習(xí)的才是“熟悉的數(shù)學(xué)”“有意思的數(shù)學(xué)”，從而涌動出學(xué)生的奇思妙想，呈現(xiàn)課堂的生態(tài)，在一次一次的等待中完成倍數(shù)和因數(shù)概念的理解和完整?！?/p>

在倍數(shù)和因數(shù)這節(jié)起始課上，吳老師沒有過早或過快地直奔主題，為重要的概念早點(diǎn)聚焦，而是強(qiáng)化教學(xué)的“有用”和“有趣”。她深知我們的教育對象是兒童，是經(jīng)過小學(xué)六年就要走完人類數(shù)千年數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的兒童，所以教學(xué)得基于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、對數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值的反思、對教育目的的追問，才能培養(yǎng)學(xué)生抽象、推理、概括的能力，成為學(xué)有過程的數(shù)學(xué)，才能處理好兒童、教育、學(xué)科三者之間的關(guān)系。因材施教，尊重兒童，讓數(shù)學(xué)概念課既有溫度又有深度，既“好吃”又有“營養(yǎng)”，從而豐富兒童的生命，潤澤兒童的心靈！

【思考】

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事教學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思維和方法，同時(shí)獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)。如何設(shè)計(jì)一種情境，更貼近于學(xué)生的生活與已有的知識呢？在教學(xué)中，吳老師為了建立因數(shù)和倍數(shù)的概念，從兒童現(xiàn)有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)——在乘法中找倍數(shù)，在除法里找因數(shù)。當(dāng)老革命遇到新問題時(shí)，學(xué)生自然產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而涌現(xiàn)出探究新知的內(nèi)需。在學(xué)生一次次稚嫩淺顯的概括中、一次次補(bǔ)充和質(zhì)疑中直逼概念本質(zhì)。并通過舉例、歸納、對比、分類等活動，讓學(xué)生掌握倍數(shù)和因數(shù)的特征，尊重概念產(chǎn)生的過程，體會數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)價(jià)值?！侗稊?shù)和因數(shù)》再次詮釋了吳老師的兒童觀和兒童數(shù)學(xué)教育觀——尊重每一位兒童，她和孩子們的思維共振、情感共鳴的場景歷歷在目，一次一次很享受地品味著“好吃”又有“營養(yǎng)”的數(shù)學(xué)大餐。