巧用反例妙處多

黃雪峰

【內(nèi)容摘要】數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性和綜合性較強(qiáng)的學(xué)科，也是學(xué)生教育階段的重要學(xué)科。由于這門學(xué)科本身對(duì)學(xué)生邏輯思維能力和抽象思維能力的要求較高，為學(xué)生的學(xué)習(xí)增加了一定的難度，再加上傳統(tǒng)教育體制下，教師在教學(xué)中較為注重教學(xué)目標(biāo)的進(jìn)程，從而嚴(yán)重忽視了學(xué)生對(duì)知識(shí)的感悟和深層次理解，最終導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)效率不高。反例法教學(xué)的出現(xiàn)為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了新的思路，對(duì)教學(xué)質(zhì)量的提升有一定的效果，本文從初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例法的具體運(yùn)用進(jìn)行了探討。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)? 反例教學(xué)? 反向思維

數(shù)學(xué)反例法教學(xué)是一種新的教學(xué)思維，運(yùn)用一種反向思維模式，使原本困難問題迎刃而解，在一定程度上簡(jiǎn)化了解題步驟，幫助學(xué)生理清思維脈絡(luò)，提升了教學(xué)效果的同時(shí)，對(duì)創(chuàng)新學(xué)生思維能力也有一定的提升。

一、在數(shù)學(xué)公式定理上的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)中的公式是學(xué)生用來依據(jù)解題的方法，而定理則是一些文字性、理論性的語言。學(xué)生在具體的記憶中有時(shí)會(huì)因?yàn)橐粋€(gè)字的記憶錯(cuò)誤從而導(dǎo)致整個(gè)定理、公式的錯(cuò)誤。尤其是公式具有一定的抽象性，只是一些特定的符號(hào)，在無形中增加了學(xué)生記憶的難度。教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法來幫助學(xué)生記憶。例如，在學(xué)習(xí)全等三角形判定時(shí)，書本中判定定理是：有兩條邊相等且兩條邊的夾角也相等即為全等三角形。用反例法教學(xué)，如果兩條邊相同定理中的兩條邊的夾角改為任意的內(nèi)角，教師在課堂中讓學(xué)生通過畫圖進(jìn)行驗(yàn)證，如果不是夾角整個(gè)三角形具有可變性，不具備一定是全等三角的條件，如此反例法的教學(xué)使學(xué)生在對(duì)比的過程中，增加了對(duì)定理的信服度，同時(shí)幫助學(xué)生更加形象的認(rèn)識(shí)定理的內(nèi)涵，加深了對(duì)知識(shí)的理解。

二、在鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)方面的運(yùn)用

學(xué)生在中考前學(xué)習(xí)的最后階段，一般都是對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，構(gòu)建知識(shí)框架。但我們會(huì)發(fā)現(xiàn)因?yàn)橛行┲R(shí)學(xué)過時(shí)間較長(zhǎng)，很多學(xué)生因?yàn)闆]有及時(shí)復(fù)習(xí)已經(jīng)忘記了，從而知識(shí)的鞏固效果不高。在復(fù)習(xí)階段教師適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例教學(xué)法，有時(shí)會(huì)起到意想不到的效果。例如，在一元一次方程的學(xué)習(xí)中，教師首先要用反例引導(dǎo)學(xué)生思考，判斷方程是否滿足一元一次方程的條件。如方程的兩邊是否是等式、方程中是否只有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的系數(shù)、教師通過反例法教學(xué)可以讓學(xué)生更好的掌握一元一次方程的構(gòu)成要素，同時(shí)喚起一元一次方程的其他知識(shí)，提升了知識(shí)鞏固的效率①。

三、在數(shù)學(xué)命題的判斷方面的運(yùn)用

用反例法證明命題是否正確是我們初中教學(xué)中一種常見的方法，要判斷一個(gè)命題是否正確我們可以采用正面證明也可以采用反向證明，反面證明的優(yōu)勢(shì)是學(xué)生只要從其中找出一個(gè)反例就可證明命題的正確性，而正面證明所要考慮的要素較多，如此反例法為教學(xué)提供了便利、節(jié)省了時(shí)間。

四、在歸納總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中的運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)涉及到定理、定律較多，對(duì)于一些固定模式的數(shù)學(xué)理論，學(xué)生易于理解，也易于掌握，學(xué)生只需要勤加練習(xí)、加強(qiáng)記憶，便可以運(yùn)用自如。比如一元一次方程根的定理，Δ=b2-4ac，當(dāng)Δ>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)Δ=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)Δ<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，再比如三角形內(nèi)角和一定等于180度等，這些定理都是經(jīng)過無數(shù)次驗(yàn)證而得到確鑿理論，學(xué)生在學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)理論時(shí)，也不會(huì)產(chǎn)生任何歧義。而且在驗(yàn)證時(shí)，只需要運(yùn)用直接推理的方法，便可以得出正確結(jié)論。

但是，有些數(shù)學(xué)理論，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)容易產(chǎn)生歧義，如果采取直接推理的方法或者采取比較的方法，很容易產(chǎn)生兩種不同的結(jié)果。比如判斷一個(gè)四邊形是否屬于平行四邊形時(shí)，按照教材上的定理可以得出結(jié)論：兩組對(duì)角分別相等的平面四邊形屬于平行四邊形。而如果應(yīng)用舉反例的方法，就會(huì)得出不同的結(jié)論，比如一組對(duì)角相等，一組對(duì)邊相等的四邊形屬于平行四邊形嗎？通過這一反例，可以得出最終的結(jié)論：一組對(duì)角相等，一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，還有可能是不規(guī)則四邊形。因此，在歸納總結(jié)同一類型的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，必須借助于反例的運(yùn)用，才能驗(yàn)證結(jié)果正確與否。

五、構(gòu)建良好的課堂氛圍

反例教學(xué)不單是一種教學(xué)方式，同時(shí)也是一種思維方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用反例教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生判斷精神。我們教學(xué)的主要目的是通過教學(xué)的過程培養(yǎng)學(xué)生的能力，起到學(xué)生素質(zhì)教育的作用。教師利用反例進(jìn)行教學(xué)無疑是為學(xué)生思維碰撞提供平臺(tái)，學(xué)生通過反例的思考激發(fā)思維活躍度，能夠更加積極的參與到教學(xué)活動(dòng)之中。例如，在學(xué)習(xí)無理數(shù)有理數(shù)時(shí)，教師提出兩個(gè)無理數(shù)相加的和是無理數(shù)，讓學(xué)生通過舉出反例來進(jìn)行思考，有的學(xué)生提出了π+3正面實(shí)例，而有的學(xué)生提出了-1+1=0、0是無理數(shù)的反例，對(duì)以上說法做出了反駁，證明了命題的錯(cuò)誤。學(xué)生在分析的過程中活躍了課堂氛圍，增添了學(xué)習(xí)氣氛。同時(shí)反例的列舉增加了學(xué)生積極性，由原來被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了學(xué)生的探索意識(shí)②。

初中數(shù)學(xué)教育階段是學(xué)生思維較為靈活的時(shí)期，但傳統(tǒng)教育模式在一定程度上限制了學(xué)生思維的發(fā)展。將反例法教學(xué)運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中使教學(xué)過程變得更加直觀，降低了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，同時(shí)對(duì)學(xué)生素質(zhì)能力的提升起到一定的影響。

【注釋】

① 仲崇猛. 在反例中求正解——談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)反例的應(yīng)用[J]. 黑龍江教育（理論與實(shí)踐），2015（02）：53-54.

② 黃海清. 巧用反例妙處多——淺析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的運(yùn)用[J]. 才智，2012（23）：83.

（作者單位：山東省青島市城陽第四中學(xué)）