函數(shù)單調(diào)性的判定法及其在高考試題中的解題探討

李嘯驍

【摘要】介紹了函數(shù)單調(diào)性的定義及幾何意義，討論了函數(shù)單調(diào)性常用的判定方法.通過對近三年高考中有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的題目進(jìn)行解題探討發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)法在判定函數(shù)單調(diào)性時(shí)，不僅方法簡單，而且非常實(shí)用.

【關(guān)鍵詞】單調(diào)性;判定方法;導(dǎo)數(shù)法

函數(shù)單調(diào)性不僅是函數(shù)的一個(gè)重要特性，還可以用來求函數(shù)的極值、證明不等式、解方程和判定方程根的唯一性等，它是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識點(diǎn).翻閱近幾年全國高考試題歸納發(fā)現(xiàn)，每年都有一個(gè)關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的解答小題，可見該知識點(diǎn)的重要性，因此，有必要對函數(shù)單調(diào)性的判定方法進(jìn)行探討.

一、函數(shù)單調(diào)性的定義及幾何意義

同時(shí)可以看出，函數(shù)曲線在單調(diào)增區(qū)間上呈上升趨勢，而在單調(diào)減區(qū)間上呈下降趨勢，這就是函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.如果一函數(shù)曲線在某個(gè)區(qū)間上既有上升趨勢，又有下降趨勢，那么該函數(shù)在該區(qū)間上不具有單調(diào)性.

二、函數(shù)單調(diào)性的判定方法

函數(shù)單調(diào)性的判定最直接的方法就是根據(jù)定義來判定，稱之為定義法.定義法雖然簡單，但是有時(shí)難以判定.例如，函數(shù)f（x）=1x-x+lnx的單調(diào)性，用定義來判定就非常困難.很多學(xué)者由定義法提出了直接法、等價(jià)定義法，以及復(fù)合函數(shù)法[2]，但是這些方法在實(shí)際的解題中使用起來還是比較麻煩.在高中學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)之后，還可以用導(dǎo)數(shù)法來判定函數(shù)的單調(diào)性.即設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上可導(dǎo)，若f′（x）>0，則f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增;若f′（x）<0，則f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞減.導(dǎo)數(shù)法使用起來非常方便，只需要先求出f′（x），然后令f′（x）>0解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）<0解得f（x）的單調(diào)減區(qū)間.

三、近三年高考中有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的題目的解題探討

近三年來，高考數(shù)學(xué)題全國卷均在第21題考查了函數(shù)的單調(diào)性，可見單調(diào)性的重要性.

從上述高考題可以看出，函數(shù)單調(diào)性是重要考點(diǎn)，如果采用定義法或其他方法來判定將會(huì)非常困難，而采用導(dǎo)數(shù)法不僅方法簡單，還非常實(shí)用.值得注意的是，題目中的函數(shù)往往含有參數(shù)a，這就需要我們在解f′（x）>0或f′（x）<0時(shí)對a的取值加以討論.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉璐.函數(shù)單調(diào)性及其在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[D].西安：西北大學(xué)，2015.

[2]彭揚(yáng)，鄒黎敏.函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（3）：13-15.