《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》 在“五步法數(shù)學(xué)教學(xué)”中的實(shí)踐應(yīng)用研究

黃豐蘭

[摘? 要] 《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了新型的教學(xué)資源，文章從“五步法數(shù)學(xué)教學(xué)”三大課型（新授課、復(fù)習(xí)課、實(shí)驗(yàn)課）入手，將《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》和課本有機(jī)結(jié)合，選取實(shí)驗(yàn)對象，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，全面激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、探索、猜想、驗(yàn)證，從而獲得數(shù)學(xué)理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科能力和素養(yǎng)的全面提升.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊;深入理解;數(shù)學(xué)情感;空間想象;實(shí)踐推理

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)常以“教師講，學(xué)生聽”的方式為主，在講解過程中，教師會(huì)追尋知識(shí)的來源，但大多或以呈現(xiàn)為主，或把數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過程簡約化，使學(xué)生在感知與概括之間出現(xiàn)思維斷層，這不利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)家歐拉說過，數(shù)學(xué)這門學(xué)科需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn). 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，與學(xué)生學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系，組織學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、抽象概括、運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行判斷. 基于以上理論，初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究小組根據(jù)初中教學(xué)內(nèi)容，精心編制了《初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》（以下簡稱《手冊》），共涉及65個(gè)實(shí)驗(yàn)，其目的便是引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探索數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平. 本文結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就如何利用《手冊》應(yīng)用于“五步法數(shù)學(xué)教學(xué)”，做了以下探索.

《手冊》在“五步法數(shù)學(xué)新授課”

中的主要應(yīng)用

列夫·托爾斯泰曾說：知識(shí)，只有當(dāng)它靠積極的思維得來，而不是憑記憶得來的時(shí)候，才是真正的知識(shí). 學(xué)習(xí)概念、性質(zhì)時(shí)，學(xué)生往往只對概念、性質(zhì)進(jìn)行記憶，而對概念、性質(zhì)的本質(zhì)屬性理解不夠，這種一知半解的情況，造成了諸多的知識(shí)漏洞. 為了讓學(xué)生真正掌握概念及性質(zhì)，教師可充分、合理地利用《手冊》，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察，感知表象;動(dòng)手探索，大膽猜想;交流思考，概括總結(jié)，實(shí)現(xiàn)對概念及性質(zhì)的深入理解.

如講解無理數(shù)的概念時(shí)，許多教師都會(huì)直接告知學(xué)生：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，常見的無理數(shù)有以下兩種形式：一是無限不循環(huán)小數(shù)，如π，2.010010001…;二是開方開不盡的數(shù)，如. 這種教學(xué)方式只對概念進(jìn)行了記憶，缺少了對概念的感知過程. 教師可利用《手冊》設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，先讓學(xué)生把分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，通過觀察其小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù);其次，通過擲骰子寫小數(shù)的游戲方式，及利用Excel軟件產(chǎn)生隨機(jī)小數(shù)，體會(huì)無限不循環(huán)小數(shù)的真實(shí)存在性;隨后，通過構(gòu)造2.010010001…這樣的小數(shù)，進(jìn)一步體會(huì)無限不循環(huán)小數(shù)的客觀存在性;最后，通過拓展活動(dòng)，了解圓周率也是無限不循環(huán)小數(shù)，從而讓學(xué)生感知和體驗(yàn)無理數(shù)概念的形成過程，深入理解無理數(shù)的概念.

再如，探索勾股定理時(shí)，按《手冊》可設(shè)計(jì)四步教學(xué)過程：首先，運(yùn)用全等三角形的知識(shí)和割補(bǔ)圖形的方法，利用方格紙?jiān)O(shè)計(jì)計(jì)算格點(diǎn)正方形ABCD的面積;其次，通過方格紙上的操作、實(shí)驗(yàn)，探索分別以格點(diǎn)直角三角形的三邊為邊長的三個(gè)正方形的面積與直角三角形三邊長之間的關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合思想;再次，用上述方法完成四組不同圖形面積的相關(guān)計(jì)算，并在上述操作的基礎(chǔ)上，猜想直角三角形三邊之間的關(guān)系;最后，化特殊為一般，通過構(gòu)造圖形加以驗(yàn)證，歸納得出勾股定理. 這一系列的操作過程，能讓學(xué)生經(jīng)歷觀察—猜想—?dú)w納—驗(yàn)證的發(fā)現(xiàn)過程，能把抽象的數(shù)學(xué)問題通過直觀的背景呈現(xiàn)出來，能幫助學(xué)生抓住本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)對勾股定理的接受和理解.

《手冊》在“五步法數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課”

中的主要應(yīng)用

“五步法數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課”不是舊知識(shí)的簡單再現(xiàn)或機(jī)械重復(fù)，而是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，梳理知識(shí)體系，把學(xué)過的零碎知識(shí)系統(tǒng)化，在應(yīng)用舊知的同時(shí)，有新知識(shí)、新方法的再生成和再創(chuàng)造. 在此課型中設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不但能提高學(xué)生上復(fù)習(xí)課的興趣，而且能在體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程中，激發(fā)學(xué)生的空間想象能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐推理能力和綜合應(yīng)用能力. 復(fù)習(xí)課中設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要有如下三類：

1. 生活情景類活動(dòng)——主在促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感體驗(yàn)

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活. 教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)和生活實(shí)踐聯(lián)系起來，如天平與等式、不等式之間的聯(lián)系，鐘面上數(shù)字所夾的角度等，讓學(xué)生在所設(shè)計(jì)的生活情景實(shí)驗(yàn)中探索數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣所獲得的知識(shí)無疑是深刻的、牢固的. 這種生活情景類實(shí)驗(yàn)，能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)是看得見、摸得著的，能寓學(xué)于樂，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 同時(shí)，在學(xué)生獨(dú)立思考的同時(shí)，能加強(qiáng)學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師之間的合作與交流，在成功的體驗(yàn)中、同學(xué)的肯定中、教師的表揚(yáng)中，學(xué)生也會(huì)有一系列的情感體驗(yàn).

2. 勞技制作類實(shí)驗(yàn)——主在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力

有些數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握需要學(xué)生有一定的空間想象能力，教師在教學(xué)過程中，可引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，通過折、剪、拼等方式，制作幾何體實(shí)物或模型，在操作的過程中，讓學(xué)生感知平面圖形與立體圖形之間的轉(zhuǎn)換，或從實(shí)物模型轉(zhuǎn)換至數(shù)學(xué)模型，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

如學(xué)習(xí)“展開和折疊”這節(jié)內(nèi)容后，我們都會(huì)對正方體的展開圖進(jìn)行適當(dāng)拓展. 但教師為了節(jié)約時(shí)間，往往會(huì)直接和學(xué)生簡單地商量出正方體的11種展開圖，并以口訣的形式傳授給學(xué)生. 其實(shí)，教師可以利用《手冊》開展“展開與折疊”這一實(shí)驗(yàn)：首先，通過畫、剪、折來研究幾何圖形，從折疊無蓋的盒子到折疊成正方體，再到折疊成標(biāo)有字母的正方體，讓學(xué)生初步感受平面圖形和立體圖形之間的關(guān)系;其次，在想象的基礎(chǔ)上，通過動(dòng)手操作，理解復(fù)雜的平面圖形的折疊，實(shí)現(xiàn)從“無序”到“有序”的轉(zhuǎn)變;最后，在前面環(huán)節(jié)的鋪墊下，想象正方體盒子的平面展開圖，進(jìn)一步體會(huì)立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系. 這樣的教學(xué)方式，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，達(dá)到“授之以魚，不如授之以漁”的效果.

3. 圖形變換類操作——主在提高學(xué)生的實(shí)踐推理能力

初中數(shù)學(xué)常見的變換形式有三類：對稱、翻折、旋轉(zhuǎn). 教學(xué)時(shí)，教師常用幾何畫板軟件呈現(xiàn)圖形的變換過程，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡或圖形的基本特征. 但學(xué)生平時(shí)解決問題時(shí)，沒有幾何畫板這一輔助工具，故課堂上學(xué)生觀察幾何畫板呈現(xiàn)的變換就如同看雜技表演，在感嘆其形象化的同時(shí)，并沒有掌握解決問題的方法. 此時(shí)，教師可以先讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、探索猜想，結(jié)合幾何畫板軟件對猜想進(jìn)行驗(yàn)證，找到解決問題的方法. 雖然這樣操作會(huì)耗費(fèi)一定的時(shí)間和精力，但在操作的過程中，隨著實(shí)踐操作、提出問題、分析問題、解決問題，學(xué)生的推理創(chuàng)新能力定能得到培養(yǎng)和提升.

例如，如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是多少？

該題屬于圖形的翻折問題，探索時(shí)可讓學(xué)生按題意進(jìn)行操作，在翻折的過程中，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C翻折后產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，從而得出定點(diǎn)加定長產(chǎn)生隱形圓的基本模型，此時(shí)題目便已轉(zhuǎn)化為在定圓上找一點(diǎn)，使它到定線段距離最短的問題. 在實(shí)驗(yàn)中，教師幾何畫板的操作僅為輔助工具，學(xué)生的探索才是主體. 隱形圓的運(yùn)動(dòng)軌跡是由學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)探索得到的，故他們能夠深刻理解、透徹掌握此模型的條件、結(jié)論、原理和依據(jù)，這有助于深化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

《手冊》在“五步法數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課”

中的主要應(yīng)用

《手冊》作為初中數(shù)學(xué)教材的補(bǔ)充和輔助，其實(shí)驗(yàn)操作多數(shù)安排為課堂教學(xué)中的一個(gè)環(huán)節(jié)，以幫助學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí). 但如“七巧板拼圖”這一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，教材中的說明“惜字如金”，但它作為“5.2 圖形的變化”教學(xué)內(nèi)容的一部分，卻有著一定的意義和作用. 對于這類實(shí)驗(yàn)，教師可根據(jù)教學(xué)情況，充分利用《手冊》，設(shè)計(jì)成“五步法數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課型”進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生拓寬知識(shí)面，重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

如在“七巧板拼圖”授課中，教師可先安排學(xué)生查閱與交流七巧板的歷史，讓學(xué)生了解祖先的智慧以及數(shù)學(xué)對社會(huì)發(fā)展、人類進(jìn)步起到的巨大作用;其次，在學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)七巧板、拼拼七巧板、創(chuàng)意七巧板的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中進(jìn)行思考、探索、交流，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，感受空間圖形與現(xiàn)實(shí)生活之間存在的密切聯(lián)系，并進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的無窮魅力.

《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一個(gè)新型的教學(xué)資源. 教師在教學(xué)過程中，不要全盤照搬，而要深入研究教材，根據(jù)實(shí)際情況，選取適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)對象，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容，與課本有機(jī)結(jié)合，融入和分解到日常教學(xué)中，幫助學(xué)生在活動(dòng)中獲得感性認(rèn)識(shí)和相應(yīng)經(jīng)歷，通過分析概括、推理演繹，獲得數(shù)學(xué)理解，在全面激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科能力和素養(yǎng)的全面提升.