動手折出精彩 思考凸顯價值

錢旭東

[摘? 要] “折紙與證明”是蘇科版數(shù)學教材中的一個數(shù)學活動，這一活動給學生提供了探索的空間. 對教材進行深入挖掘的基礎上，筆者改進和豐富了課本上的探究活動，使數(shù)學活動針對性更強，更容易展開，也更能激發(fā)學生興趣，從而為學生搭建了一個探索的平臺. 在探索中，師生一起經(jīng)歷了觀察——測量——猜測——說理的過程，培養(yǎng)了能力，提升了素養(yǎng).

[關鍵詞] 折紙;證明;平行四邊形;數(shù)學活動

背景

本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學探索活動課，在課時安排上是位于蘇科版數(shù)學教材八年級下冊第9章“中心對稱圖形——平行四邊形”全章的最后一節(jié)課.

筆者在本章內(nèi)容的最后安排這樣一節(jié)探索活動課，主要是基于以下兩點考慮：一是通過學生的探索活動能讓本章的主要知識在運用中得到復習鞏固;二是通過學生的動手操作，培養(yǎng)他們的探索精神，并在探索的過程中體會到探索的樂趣.

本節(jié)課由于準備充分，課堂效果良好，學生探索氣氛濃厚，興趣盎然，達到了預期的目的.

教材及學情分析

在蘇科版數(shù)學教材八年級下冊第9章“中心對稱圖形——平行四邊形”中，每節(jié)的開始部分都為學生安排了“操作”“討論”“思考”等環(huán)節(jié)，而在“操作”環(huán)節(jié)中又多以圖形的旋轉、翻折和平移為主，這是“做中學”的教育理念在教材中的生動體現(xiàn). 同時，這也在無形中培養(yǎng)了學生積極動手、努力探索的良好學習品質(zhì)，為本節(jié)數(shù)學探索活動課打下了非常好的基礎. 有了這樣的教材安排和學生的活動基礎，當學生在課堂上折疊矩形紙片時，他們有興趣而不陌生，有挑戰(zhàn)而不畏難.

在上本節(jié)課之前，學生已經(jīng)學完了本章的基本知識，學習了中心對稱和中心對稱圖形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，有了矩形、菱形和正方形的相關知識，也學習了三角形的中位線知識，這些知識的學習為學生繼續(xù)深入探索矩形紙片的折疊提供了必要的知識儲備. 此外，學生由于有了前面每節(jié)學習中圖形翻折的經(jīng)歷，在心里也會對“圖形的翻折還會出現(xiàn)什么規(guī)律和性質(zhì)”出現(xiàn)隱性的心理期待，有繼續(xù)探索下去的愿望. 這時，教師應該做的就是努力為學生搭建繼續(xù)探索的平臺.

本節(jié)課的內(nèi)容在教材中并沒有安排，但是新的課程理念認為，教師在教學中應該是用教材教而不是教教材，對教材進行創(chuàng)造性處理的能力應該是現(xiàn)代教師的必備素質(zhì). 在實際的教學過程中，我們應該認真鉆研教材，充分使用教材，但絕不能因為只滿足于教教材，囿于教材，機械套用而失去教師的創(chuàng)造性.

教學過程實錄

1. 探索一

師：現(xiàn)在大家手上都有一張矩形紙片，請你折疊一次，將紙片折疊為兩塊面積相等的圖形. 大家試試看.

學生動手折紙，教師來回觀察學生的操作情況.

生1：我這樣把紙片對折（如圖1）.

[圖1]

生2受生1啟發(fā)，立即說：那我也可以這樣疊（如圖2）.

[圖2]

師：大家說，這兩位同學疊的對嗎？

大家齊聲回答：對.

師：請同學們思考一下，這兩位同學的折法說明矩形是一個什么樣的圖形？

短暫的沉默后，有學生小聲說：軸對稱圖形.

師：對，這位同學的回答非常正確！大家還有什么疊法？

很多同學舉手，爭著發(fā)言.

生3：折成圖3.

[圖3]

生4：折成圖4.

[圖4]

師：大家觀察前面這幾種折法，它們的折痕有什么共同特點嗎？

生5：矩形是中心對稱圖形，這些折痕都經(jīng)過矩形的對稱中心.

師：非常棒！大家還有什么疊法嗎？

學生受到啟發(fā)，折疊方式越來越多. 教師在大屏幕上顯示幾種典型的疊法（圖5、圖6）.

[圖6]

師：同學們都是折紙高手啊！有這么多的折法.

評注? 探索的起點低，學生容易入手，不同的學生都可以探索出不同難度的折疊方法. 學生在動手操作的過程中，切實感受矩形軸對稱和中心對稱的性質(zhì). 同時，在探索的起始階段安排難度較小的探索，對激發(fā)學生的自信心和維持探索的興趣都有好處. 這也為后面繼續(xù)探索打下了基礎.

2. 探索二

師：請大家觀察圖5，除了折疊出的兩塊面積相等之外，圖形中還有哪些相等的關系.

生6：AB=C′D′，BF=D′E.

生7：AG=C′G.

師：很好，兩位同學找的是線段之間的關系. 還有嗎？

生8：∠GFE=∠GEF.

生9：GF=GE. 因為上圖中由折疊知道∠CFE=∠GFE，而∠CFE=∠AEF，所以GF=GE.

師：非常好！類似的，在圖3和圖4中是否也存在BG=DG和AE=AF？

學生齊答：存在.

師：請大家觀察圖3，在圖中除了BG=DG外還有哪些數(shù)學結論？

生9：我覺得△ABG和△C′DG全等.

師：能說明理由嗎？

生9：我由前面同學的回答可以知道BG=DG，又在矩形中AB=CD=C′D，且∠A=∠C′=90°，所以△ABG≌△C′DG.

師：說得非常好！現(xiàn)在如果我把紙片折疊成圖7的形狀，是否也有GF=GE.

[圖7]

學生短暫思考后，一起回答：GF還是等于GE.

師：好，請大家用我們探索出的結論解決這樣的問題：如果在圖3中，矩形一邊AD=8，另一邊AB=6，求AG的長度.

題目有難度，學生思考中.

師：請問AG與BG的和是多少？

生齊答：就是AD長，為8.

師：如何把AB=6這個條件用上？線段AB，AG和BG之間有什么關系嗎？

生齊答：滿足勾股定理！（解答略）

師：作為練習，大家試著解決這樣的問題：在圖4中，矩形一邊AD=8，另一邊AB=6，求BE的長度. （解答略）

評注? 探索的內(nèi)容由圖形的形狀重合關系轉變?yōu)閳D形中包含的線段、角之間的數(shù)量關系，探索更加深入. 在探索中，學生在教師的引導下經(jīng)歷了從特殊到一般的探索過程，體會到探索過程中包含的數(shù)學知識，如和平行線有關的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理、矩形的性質(zhì)等等. 教師不僅給學生搭建了探索的平臺， 還努力搭建讓學生運用探索出的結論去解決問題的平臺. 這種在操作中探索，在探索中運用的做法，蘊涵了“做中學”的教育理念.

3. 探索三

師：請同學們將手中的矩形紙片按照下面圖8到圖10的步驟折疊.

師：從圖8到圖10，經(jīng)過了兩次折疊. 請同學們在動手折疊時注意體會折疊過程中圖形位置與數(shù)量關系的變化.

師：在圖9中，△AEB′是什么三角形？

生齊答：是等腰直角三角形.

師：請觀察圖10，其中有幾個等腰直角三角形？

生10：我看有三個，它們是△A′B′E，△A′DF，△CEF.

師：能解釋一下嗎？（解釋略）

師：如果矩形ABCD的一邊AB=6，另一邊AD=10，請求出△CEF的面積.

生11：由折疊可知，CE=4，而△CEF是等腰直角三角形，所以其面積為8.

師：△A′DF的面積可以求嗎？

生12：和求△CEF的面積類似，可以求出△A′DF的面積是2.

評注? 探索紙片的折疊由一次折疊到多次折疊，探索的難度更大，對學生也提出了更大的挑戰(zhàn)，可以看出探索在難度上是循序漸進的. 而同樣是多次折疊，前面一個探索比后面的探索難度要小，也更容易入手去完成，在同類型的探索中，其難度也是有梯度的. 在探索中，學生和教師一起經(jīng)歷了觀察——測量——猜測——說理的過程. 學生的探索不是一帆風順的，在學生遇到困難時，教師并沒有直接拋出結論，而是啟發(fā)學生將多次折疊轉化為一次折疊，在探索中滲透了化歸思想，培養(yǎng)了能力，提升了素養(yǎng).

4. 課后探索（作業(yè)）

師：本節(jié)課我們一起對矩形紙片的折疊進行了比較深入的探索，用我們學習的知識解決了許多問題. 其實在矩形紙片中還包含了很多的數(shù)學奧秘，這些奧秘會在我們以后的學習中不斷去發(fā)現(xiàn). 課后，請同學們繼續(xù)探索下面的幾個問題.

問題1：如圖14，將矩形ABCD中D點折疊至BC上的F點處，折痕經(jīng)過點A. 請問除直角外，圖中還有哪些相等的角？有哪些邊是相等的？如果AB=8，AD=10，求DE的長.

[圖11]

問題2：如圖12，將一細長的矩形紙條打結后拉直壓平，請觀察、測量后進行猜測，線段AB，BC，CD，DE，EA是否都是相等的？結合你折疊的紙片說明理由. 此外，在圖12中你還能發(fā)現(xiàn)哪些結論？寫出你的發(fā)現(xiàn)，和同學交流一下.

[圖12]

評注? 這樣的探索型作業(yè)使得學生的探索活動由課內(nèi)延伸到了課外. 兩道探索題在難度上有梯度. 同時對每一題而言，不同的學生通過探索都會有不同的收獲，得出自己的結論. 這和課堂上的探索題遙相呼應，是整個探索活動的有機組成部分，給人一種知識無窮，探索不止的思考韻味.

教學反思

蘇科版教材中，很多章節(jié)中都安排了“讀一讀”“閱讀”和“數(shù)學活動”等內(nèi)容，這些內(nèi)容的安排一方面豐富了教材的文化內(nèi)涵，開闊了學生的視野，另一方面也為教師創(chuàng)造性使用教材提供了廣闊的空間. “折紙與證明”是蘇科版數(shù)學教材中的一個數(shù)學活動，這一活動給學生提供了探索的空間. 在對教材進行深入挖掘的基礎上，筆者改進和豐富了課本上的探究活動，使數(shù)學活動針對性更強，更容易展開，也更能激發(fā)學生興趣，從而為學生搭建了一個探索的平臺.

在整個課堂上，學生探索興趣濃厚，動手能力強，參與程度高. 從本節(jié)課可以看出學生有探索的能力，也有探索的欲望. 而反思以前的教學，我們對學生是真正了解了嗎？我們有多少教學是從學生的需要出發(fā)的？在組織教學時，我們給學生探索的空間了嗎？這些問題都值得教師去思考.

在本節(jié)課的教學過程中，學生的想法很多，而筆者僅僅從教學進度考慮沒有充分展示學生的想法，使得有些探索不夠深入. 而當難度加大的時候，也沒有留給學生充分的時間去探索，而是忙于啟發(fā)，擔心學生的探索能力，怕探索時間長會影響教學進度. 認真反思會發(fā)現(xiàn)，課堂上教師經(jīng)常會為了自己的教學時間、內(nèi)容等方面去控制學生的活動，不管效果如何，這都是教師為自己考慮，而不是發(fā)自內(nèi)心從學生的發(fā)展考慮. 這種教師頭腦中內(nèi)隱的觀念對學生的發(fā)展和對自身的提高都不利，教師應當在教學中多反思，不斷更新自己的觀念.

從課前的準備到課堂的教學實施，從教材的鉆研到學生學習情況的把握，一路反思，感受很多. 教師在備課鉆研教材時，不僅要研究本節(jié)課的內(nèi)容，更要對教材中的整章內(nèi)容有全局的認識，要善于對教材進行再加工，切實從學生的發(fā)展著想. 當然，創(chuàng)造性地處理和使用教材對教師提出了更高的要求，教師的工作難度也會加大，但是教師在教學中創(chuàng)造性地處理和使用教材更符合學生的發(fā)展需求，也更符合教材編寫者的編寫意圖，同時這對教師自身的發(fā)展也有很大的好處.