規(guī)律探究題的類型剖析與策略總結(jié)

王律奇

[摘? 要] 探究數(shù)學(xué)規(guī)律是發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，對(duì)于思維的提升極為有利. 而近幾年的中考中出現(xiàn)了眾多的規(guī)律探究題，且題型靈活多樣，對(duì)學(xué)生的問題分析、知識(shí)總結(jié)能力要求較高，文章將剖析規(guī)律探究題的類型，探究問題的解法策略，以供讀者學(xué)習(xí)參考.

[關(guān)鍵詞] 規(guī)律探究題;解法策略

問題起源

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)是指導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的知識(shí)，獲得解題的方法，另一個(gè)教學(xué)目標(biāo)是拓展學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，而后者應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心. 其中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維尤為重要，而學(xué)習(xí)規(guī)律探究型問題是提升學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要方式之一，學(xué)生在規(guī)律發(fā)現(xiàn)的過程中需要充分觀察、推理、歸納、猜想，因此對(duì)學(xué)生的思維有著極大的鍛煉. 同時(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)推行以來，規(guī)律探究題也逐步成為中考的熱點(diǎn)問題，因此深入探究規(guī)律探究題的問題類型和解法策略有著深遠(yuǎn)的意義.

類型分析

初中數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容大致可以分為代數(shù)和幾何兩類，這個(gè)分類對(duì)于規(guī)律探究題同樣適用，中考在考查時(shí)只是做了進(jìn)一步的細(xì)化，例如以數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)一步衍生出數(shù)式類規(guī)律題、函數(shù)類規(guī)律題，以幾何為基礎(chǔ)衍生出圖形變換規(guī)律題、坐標(biāo)變換規(guī)律題等，且每一類規(guī)律探究題均有其對(duì)應(yīng)的特點(diǎn).

1. 數(shù)式類

該類規(guī)律題一般以數(shù)的變化為重點(diǎn)，常見的呈現(xiàn)方式有兩種：一種是直接給出具有特定規(guī)律的數(shù)或算式，另一種是給出具有規(guī)律變化的代表個(gè)數(shù)的原點(diǎn)，均需要學(xué)生完善或進(jìn)一步推演規(guī)律.

2. 函數(shù)類

函數(shù)類規(guī)律題則是以初中常見的函數(shù)知識(shí)為基礎(chǔ)，題干一般給出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系或者關(guān)系式，需要學(xué)生結(jié)合自身對(duì)函數(shù)的理解對(duì)其加以完善，或推理出后續(xù)的函數(shù)關(guān)系式.

3. 圖形變換類

該類型是幾何綜合的代表，題干一般給出一系列具有關(guān)聯(lián)性的圖形，以及圖形生成的具體操作，需要學(xué)生結(jié)合幾何性質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)衍生規(guī)律.

4. 坐標(biāo)變換類

該類規(guī)律題最為特殊，一般是幾何與函數(shù)知識(shí)的綜合，以點(diǎn)坐標(biāo)和線段長的變換作為圖形衍生遞推的基礎(chǔ)，以幾何性質(zhì)和數(shù)式變化作為規(guī)律生成的媒介，且在直角坐標(biāo)系中構(gòu)建了相應(yīng)的數(shù)形規(guī)律，因此規(guī)律的探究需要調(diào)用幾何與代數(shù)兩大知識(shí)模塊.

策略探究

規(guī)律探究題實(shí)際上就是初中數(shù)學(xué)代數(shù)與幾何的排列組合，其中必然隱含著數(shù)學(xué)規(guī)律，因此解題分析過程實(shí)際上就是使用合理的策略找到問題的突破口. 而對(duì)于不同類型的規(guī)律探究題，其解法策略也有所不同，下面結(jié)合考題對(duì)其加以深入解讀.

1. 策略一：舉例歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

對(duì)于一些以數(shù)值或算式為主體的規(guī)律探究題，最為快捷的方法是舉例驗(yàn)證，即首先按順序列舉出數(shù)的運(yùn)算過程和結(jié)果，然后歸納出規(guī)律，并對(duì)其加以驗(yàn)證. 有時(shí)由于列舉的數(shù)值量不夠容易造成規(guī)律得出的錯(cuò)誤，因此在列舉時(shí)應(yīng)適當(dāng)多舉例.

例1古希臘數(shù)學(xué)史上將1，3，6，10，15，21…叫三角形數(shù)，其中含有一定的規(guī)律，例如將第一個(gè)三角形數(shù)記作是a1，第二個(gè)三角形數(shù)記作a2，……，將第n個(gè)三角形數(shù)記作an，然后依次計(jì)算a2-a1，a3-a2，a4-a3…由此推算，試求a100-a99和a100的數(shù)值.

解析? 上述題目給出了相應(yīng)的算式排列，解題的關(guān)鍵是分別計(jì)算出a2-a1，a3-a2，a4-a3的數(shù)值，并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，然后推導(dǎo)出a100-a99和a100的數(shù)值，顯然使用列舉法更為高效. 觀察三角形數(shù)可確定a2-a1=3-1=2，a3-a2=6-3=3，a4-a3=10-6=4，類推a5-a4=15-10=5，從而可推得a100-a99=100. 而a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+a100-a99=，即a100-a1=5049，已知a1=1，所以a100=5050.

2. 策略二：排列類比，遞推規(guī)律

探究算式規(guī)律是代數(shù)類規(guī)律探究題的重要類型，題干一般會(huì)給出一系列的算式，因此在解析時(shí)可以按照一些順序?qū)ζ浼右耘帕?，通過數(shù)列推導(dǎo)、類比參照的方式總結(jié)其中的通式，從而獲得最終答案.

例2? （2018年臨安中考）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…. 若10+=102×符合前面式子的規(guī)律，試求a+b的值.

解析? 題干給出了一些具有排列規(guī)律的數(shù)式，并對(duì)a和b進(jìn)行了設(shè)定，求a+b的值可以采用排列類比的方式，分別獲得a和b所代表的通式，然后確定最終答案. 觀察題目給出了四個(gè)等式，類比總結(jié)可知對(duì)于，其中的b=n+1，而a=（n+1）2+1（其中的n表示對(duì)應(yīng)的第n項(xiàng)式），因此對(duì)于第10項(xiàng)可知b=10，a=99，所以a+b=109.

3. 策略三：關(guān)注特征，循序歸納

幾何類規(guī)律題必然涉及幾何特征或?qū)?yīng)性質(zhì)，因此在分析該類問題時(shí)需要充分把握圖形的特征結(jié)構(gòu)，適當(dāng)結(jié)合幾何性質(zhì)，根據(jù)圖形的變化特點(diǎn)來逐步發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律，并對(duì)其加以總結(jié).

例3如圖1所示，△ABC的面積為1，現(xiàn)對(duì)其逐次進(jìn)行如下操作變形：

第一次，將AB，BC和CA分別延長至點(diǎn)A1，B1，C1，并使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，然后順次將點(diǎn)A1，B1，C1連接起來，從而得到了△A1B1C1，并記△A1B1C1的面積為S1;第二次進(jìn)行同樣的操作，將A1B1，B1C1和C1A1分別延長至點(diǎn)A2，B2，C2，并使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，然后順次將點(diǎn)A2，B2，C2連接起來，從而得到了△A2B2C2，并記△A2B2C2的面積為S2……之后一直按照上述規(guī)律進(jìn)行操作，可以得到△A5B5C5，試求△A5B5C5的面積S5的值.

解析? 本題目屬于幾何變化規(guī)律探究題，首先需要理解作圖的具體操作，關(guān)注圖形的特征及關(guān)聯(lián)，然后利用相應(yīng)的幾何知識(shí)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律. 第一步中表明A1B=2AB，而△A1BC與△ABC可以視為是以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，底邊共線的關(guān)聯(lián)三角形，因此兩三角形底邊上的高相等，其面積大小只與底邊長有關(guān)，即S△A1BC=2S△ABC，同理可確定S△A1B1C=2S△A1BC，可得S△A1B1B=6S△ABC，以此類推，可確定S△C1B1C=6S△ABC，S△A1C1A=6S△ABC，所以S△A1B1C1=19S△ABC . 最后按照這樣的推理可計(jì)算出S5=195=2476099.

4. 策略四：數(shù)形結(jié)合，衍生規(guī)律

而對(duì)于以直角坐標(biāo)系為基礎(chǔ)構(gòu)建的圖形變化規(guī)律，考慮到其中涉及幾何變化和點(diǎn)坐標(biāo)、線段長的遞變，因此采用數(shù)形結(jié)合的解題策略更為有效. 即首先從“形”的角度理解圖形變化，提取其中的幾何特征，然后從“數(shù)”的角度，借助直角坐標(biāo)系將點(diǎn)和線的變化數(shù)量化，并構(gòu)建相應(yīng)的規(guī)律模型，最終實(shí)現(xiàn)求解.

例4（2018年廣西貴港中考）如圖2所示，直線l為y=x，過點(diǎn)A1（1，0）作A1B1⊥x軸，與直線l交于點(diǎn)B1，以原點(diǎn)O為圓心，OB1長為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)A2;再作A2B2⊥x軸，交直線l于點(diǎn)B2，以原點(diǎn)O為圓心，OB2長為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)A3;……，按此作法進(jìn)行下去，試求點(diǎn)An的坐標(biāo).

[圖2][O][x][y][A1][A2][A3][A4][B3][B2][B1][l]

解析? 本題目是以直角坐標(biāo)系為背景展開的幾何衍生，需要確定A系列點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，實(shí)際上屬于線段的長度規(guī)律題. 考慮到A系列點(diǎn)均位于x軸上，因此只需要?dú)w納出OAn的長度通式即可. 首先閱讀題干操作，可知線段AnBn均垂直于x軸，B系列點(diǎn)均位于直線l上，而△OAnBn均屬于直角三角形，且∠O=60°，因此可利用直線l的解析式確定B系列點(diǎn)的坐標(biāo). 如對(duì)于點(diǎn)B1，由點(diǎn)A1（1，0）可得點(diǎn)B1（1，）. 在Rt△A1OB1中使用三角函數(shù)，可知OB1==2，即OB1=2OA1=2，而根據(jù)扇形的性質(zhì)可得OB1=OA2，即點(diǎn)A2（2，0），依次遞推可得A2（4，0），A3（8，0）A4（12，0），顯然A系列點(diǎn)的橫坐標(biāo)值符合常見的數(shù)列規(guī)律，即xAn=2n-1，所以點(diǎn)An的坐標(biāo)為（2n-1，0）.

解后思考

規(guī)律探究題的類型很多，涉及的知識(shí)點(diǎn)眾多，因此掌握合理的解題策略，利用合適的分析方法開展規(guī)律探尋是解題的關(guān)鍵所在. 上述只是其中較為常用的幾種解法策略，而在實(shí)際教學(xué)中需要教師逐步引導(dǎo)，幫助學(xué)生建立相應(yīng)的解題思路，主要有以下幾點(diǎn).

1. 重視讀題，提取信息

一般規(guī)律探究題會(huì)給出大量的圖文信息，因此理解所給信息的含義是后續(xù)推理的基礎(chǔ)，例如理解數(shù)據(jù)變化、圖形衍生的過程、直角坐標(biāo)系中線段繪制的操作等，然后從圖形和文字兩方面來提取信息. 因此在實(shí)際教學(xué)中需要教師強(qiáng)調(diào)讀題重點(diǎn)，指導(dǎo)讀題、信息提取的技巧，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的讀題習(xí)慣.

2. 重視歸納，知識(shí)調(diào)用

規(guī)律探究題的第二個(gè)階段是對(duì)所提取的信息進(jìn)行歸納，然后利用自身所學(xué)知識(shí)來分析其中的規(guī)律. 例如對(duì)于直角坐標(biāo)系中的數(shù)形變化規(guī)律題，從中可以提煉出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)、線段長、幾何面積等信息，而這些信息鏈之間存在著一定的關(guān)聯(lián)性，因此需要學(xué)生對(duì)其加以歸納，并利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析. 而在教學(xué)中教師應(yīng)從基礎(chǔ)知識(shí)入手，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系，建立相應(yīng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

3. 重視提煉，總結(jié)規(guī)律

規(guī)律題探究最為重要的階段是對(duì)歸納的規(guī)律進(jìn)行提煉生成，例如總結(jié)出相應(yīng)的數(shù)式通式，點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算通式，將其上升到一般適用的規(guī)律層面. 這個(gè)階段需要利用一定的提煉技巧，例如類比法，函數(shù)衍生法等. 而在教學(xué)中需要教師呈現(xiàn)規(guī)律提煉的具體過程. 讓學(xué)生掌握提煉的技巧，提升學(xué)生的知識(shí)總結(jié)能力.