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    動中求靜,靜中求解

    2019-01-03 06:59鄒麗虹
    數(shù)學教學通訊·初中版 2019年11期
    關鍵詞:反比例動點矩形

    鄒麗虹

    [摘? 要] 動點問題一直以來都被中學生視為“攔路虎”,無論是在日常學習中,還是中考時,動點問題都是讓學生頭痛的知識點. 文章以動點問題的特點為切入點,結合實踐探索如何于動中求靜,靜中求解,幫助中學生突破動點問題的重點與難點.

    [關鍵詞] 初中數(shù)學;動點問題

    動點問題為什么常常讓中學生談之色變?首先在于它在中考中的“出鏡率”相當高;其次在于它具有較強的綜合性,解題方法靈活,題型變化多端,對學生數(shù)學知識運用能力是一個很大的考驗,學生們常常因為各種失誤而導致解題失敗.

    動點問題主要考查學生的直覺能力,以及能夠從諸多變化中準確找到數(shù)學實質的洞察力. 動點問題可以讓學生們在猜想、歸納和探究中實現(xiàn)數(shù)學思維能力的提升. 但不可否認的是,很多學生也會在動點問題上遇到無法跨越的障礙和瓶頸. 筆者通過多年教學實踐,了解到學生面對動點問題無法進行準確解答的主要原因在于,他們不會“動中求靜”,不能從題目中找到準確的關系式、條件等信息,造成解題困擾. 我們經常用“籮筐”來形容動點問題,因為任何知識都可以裝在里面,結合幾何內容就會變成幾何動點問題,結合二次函數(shù)就會成為函數(shù)動點問題. 在這些問題中以函數(shù)動點問題最為難解,因此本文結合教學實例,重點對函數(shù)動點問題進行了詳解,以期讓中學生在面對動點問題時,學會如何于動中求靜,靜中求解.

    “一次函數(shù)”動點問題

    例題設計:如圖1所示,四邊形OABC為矩形,其中點A坐標是(-3,0),點C坐標是(0,1),線段BC上有一與端點B和C均不重合的動點D,過動點D作直線y=+b與折線OAB相交于點E.

    [圖1]

    (1)如果△ODE面積是S,列出S和b的函數(shù)關系式;

    (2)當點E在線段OA上,且tan∠DEC=,如果矩形OABC關于直線DE的對稱圖形是OABC,請大家思考兩個圖形重疊部分面積會不會發(fā)生變化,如果沒有發(fā)生變化那么重疊部分面積是多少?如果發(fā)生變化,講一講發(fā)生變化的原因.

    該類題型是關于動態(tài)圖形面積變化的動點問題,解這類題的關鍵在于要先看一看對“面積”變化起決定性作用的幾個量是不是發(fā)生了變化. 這類動點問題難度相對較大,區(qū)分度比較明顯,對于學生數(shù)學思維能力的鍛煉和提升十分有益. 而面對這類動點問題,要教會學生們先對題目進行分析:首先,如果想將△ODE的面積表示出來,那么應該從兩個方面進行討論,一方面點E如果在邊OA上,只要將△ODE底邊OE的長與對應的高,即E點的橫坐標和D點的縱坐標求出,再代入三角形面積公式就可以了;另一方面,點E如果在邊AB上,那么用長方形OABC面積直接減去△BDE、△OCD和△OAE三個三角形的面積就會得到△ODE面積. 接下來對“重疊部分”進行分析,可以確定的是這部分是平行四邊形,這個圖形不變的是上下邊上的高,所以對重疊部分面積會不會發(fā)生改變起決定因素的是邊OA上重疊部分的線段長度有沒有發(fā)生改變. 分析至此,學生們再回過頭解題,解題過程就會自然流暢.

    解:(1)從題中可知四邊形OABC為矩形,點A的坐標是(-3,0),點C的坐標是(0,1),所以點B的坐標是(-3,1). 如果直線經過點A,那么b=,如果經過點B,b=,如果經過點C,b=1. 那么,當折線OAB與直線交點在OA邊時,1

    -b+×3

    b-]=b-b2. 所以當1

    [圖2]

    (2)如圖3所示,假如CB和OA相交于M點,OA與CB相交于N點,那么說明矩形OABC和矩形OABC兩個圖形重疊部分面積就是DNEM這個四邊形的面積,從題中可知DM與NE平行,DN和ME平行,所以可以判定四邊形DNEM是平行四邊形. 結合軸對稱知識就能夠得出∠MED和∠NED相等,又因為∠MDE與∠NED相等,所以∠MED與∠MDE相等,所以MD和ME相等,故DNEM這個平行四邊形是菱形. 過D點作DH垂直于OA,H點為垂足. 根據(jù)題意可知=,DH=1,所以HE=2. 假設a是菱形DNEM的邊長,那么在Rt△DHN里,通過勾股定理可以得出a2=(2-a)2+12,所以a=,S=NE·DH=. 故兩個矩形OABC和OABC重疊部分面積不會有變化,面積一直是.

    [圖3]

    “反比例函數(shù)”動點問題

    例題設計:如圖4所示,一次函數(shù)y=kx+b的圖像經過兩點A,B,坐標分別是(0,-2)和(1,0),它和反比例函數(shù)y=的圖像于第一象限內相交于M點,如果△OBM面積是2.

    (1)列出反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達式;

    (2)P點是否存在于x軸上,且能夠使AM與MP垂直?如果存在請求出P點坐標,如果不存在請說明原因.

    [?圖4]

    該例題主要是對一次函數(shù)和反比例函數(shù)交點問題的考查,其中涉及求解析式所用的“待定系數(shù)法”、銳角三角函數(shù)定義等知識點,只要讓學生對這些知識進行鞏固并熟練掌握,解答這類動點問題就會水到渠成. 因此在引導學生進行分析時,對于問題(1)可以讓他們先根據(jù)題中所列出的已知條件,即一次函數(shù)圖像經過兩點坐標中可以得出與k,b相關的方程組,然后可以進一步得到一次函數(shù)的解析式,再設點M的坐標為(m,n),作垂直于x軸的MD,從“△OBM面積是2”的已知條件中將n值求出,再將M點坐標代入“y=2x-2”中將m值求出,再由M點在雙曲線y=上就能夠將k的值求出,最后將反比例函數(shù)解析式求出. 這時再來分析問題(2)就變得簡單了:過M點作與AM垂直并與x軸相交于點P的MP,從MD與BP垂直的條件中可得出∠ABO,∠MBD,∠PMD三個角相等,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出OP的值,得到結論即可.

    解:(1)因為y=kx+b經過坐標分別為(0,-2)和(1,0)的A,B兩點,所以b=-2,

    k+b=0,解得b=-2,

    k=2, 因此一次函數(shù)表達式為y=2x-2. 假設過M點(m,n)作垂直于x軸的MD,交點為D點. 因為△OBM的面積是2,所以OB·MD=2,n=2,n=4. 所以將M(m,4)代入函數(shù)表達式y(tǒng)=2x-2中就會得到4=2m-2. 所以m=3. 因為M(3,4)在y=雙曲線的圖像上,所以4=. 故k=12. 因此反比例函數(shù)的表達式是y=.

    (2)如圖5,過點M(3,4)作垂直于AM的MP,并與x軸相交于P點,因為MD與BP垂直,所以得出∠ABO=∠MBD=∠PMD,所以tan∠ABO=tan∠MBD=tan∠PMD===2,所以在Rt△PDM中,=2,由此得出PD=2MD=8,OP=OD+PD=11,點P在x軸上,PM與AM垂直,故P點坐標是(11,0).

    [圖5]

    從教學實踐中筆者得到這樣的體會,如何幫助中學生克服對動點問題的恐懼,首先要做好學生的心理建設. 其實動點問題中包含著學習和生活的很多哲理,如通過一個數(shù)軸示意圖就可以引申到人生維度上,單維度上比長度,雙維度上比面積,三個維度就比體積. 而在現(xiàn)實生活中如果想做好一件事,就要從多個維度來思考,也許在某個維度上你不存在優(yōu)勢,但如果每個維度都可以提升一點點,那么綜合起來的實力也會擊敗他人. 從這個切入點先給學生們進行心理引導,幫助他們建立起學習的信心. 然后再通過有效的問題分析幫助學生找準解題思路,熟練解題方法,他們就會明白應如何于動中求靜,于靜中求解. 一旦掌握了這個方法,無論是動點問題還是其他數(shù)學問題,都能輕松應對.

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