關(guān)于輔助線添加的解題優(yōu)化探討

范紅

[摘? 要] 輔助線是打開幾何問題突破口的重要工具，合理地添加輔助線不僅可以改善圖形，深度認(rèn)識(shí)問題，還可以串聯(lián)條件鏈，為后續(xù)思路的展開打基礎(chǔ). 輔助線的添加具有一定的技巧，需要充分考慮題干條件，結(jié)合圖形結(jié)構(gòu). 文章結(jié)合實(shí)例詳細(xì)探討添加輔助線的解題效果，以及添加的思路，以期對(duì)師生的教學(xué)備考有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 輔助線;模型;數(shù)形;方程

添加輔助線是平面幾何問題求解的重要手段，合理添加輔助線往往可以有效降低思維難度，實(shí)現(xiàn)問題的簡(jiǎn)化求解. 而對(duì)于不同情形的幾何問題，通過添加輔助線可以達(dá)到不同的轉(zhuǎn)化效果，下面將深入探討輔助線添加的解題便利性.

添加輔助線，化“無形”為“有形”

輔助線是平面幾何問題的“生命線”，尤其是對(duì)于一些抽象的圖形，合理添加輔助線可以將圖形分解為簡(jiǎn)單常見的基本圖形，達(dá)到化“無形”為“有形”的解析效果. 常見的問題類型有扇形的陰影面積求解、函數(shù)問題中的一般三角形面積分析等.

例1（2018年十堰中考數(shù)學(xué)）如圖1所示，在扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中點(diǎn)，CD⊥OB，交于點(diǎn)D，以O(shè)C為半徑的交OA于點(diǎn)E，試求圖中陰影部分的面積.

難點(diǎn)分析? 陰影部分的圖形涉及圓弧，但屬于抽象圖形，難以利用基本圖形的面積公式來求解，最為有效的方式是通過添加輔助線，將圖形分割為幾個(gè)基本圖形的組合，則可以分別利用基本圖形的面積公式來解答.

添加探討? 對(duì)于該圖形的輔助線添加需要借助圓弧，盡量將其分解為與扇形相關(guān)的圖形，為后續(xù)利用扇形面積公式計(jì)算做鋪墊. 圓弧上的一點(diǎn)D可以作為關(guān)鍵的分割點(diǎn)，連接OD，設(shè)OD與相交于點(diǎn)F. 則左半部分陰影可以由兩扇形割補(bǔ)獲得，即S1=S扇形AOD-S扇形EOF;而右半部分陰影可以利用三角形與扇形的割補(bǔ)獲得，即S2=S△COD-S扇形COF，則總的陰影面積就為兩者之和，其中的圖形均為已知面積公式的基本圖形.

詳解? 如圖2所示，連接OD，設(shè)OD與相交于點(diǎn)F，再連接DB，已知點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，則OC=OB=6，又知AO=BO=OD，則Rt△ODC內(nèi)的∠DOC=60°，則△DOB為等邊三角形，推知DC=6. 陰影部分的面積可以表示為S陰影=S扇形AOD-S扇形EOF+S△COD-S扇形COF=S扇形AOD+S△COD-S扇形COE，其中S扇形AOD=，S扇形COE=，S△COD=×6×6，綜合可知S陰影=18+6，即陰影部分的面積為18+6.

添加輔助線，化“分散”為“集中”

添加輔助線也是條件轉(zhuǎn)化、調(diào)換的一種方式，即通過添加輔助線可以使一些看似沒有聯(lián)系、較為分散的條件集中起來，形成一個(gè)較為完整的條件鏈. 尤其是對(duì)于一些圖形復(fù)雜度高、條件眾多的綜合題，可以充分研究條件，利用條件之間隱含的關(guān)聯(lián)，通過合理的輔助線添加來完成條件鏈的構(gòu)建.

例2如圖3所示，△ABC是以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的等腰三角形，其中AC=BC，∠C=100°，作∠A的角平分線，交BC于點(diǎn)D，試證明：AD+CD=AB.

[圖3]

難點(diǎn)分析? 題干給出的條件有兩個(gè)：一是AC=BC，二是線段AD為∠CAB的平分線，求證AD+CD=AB就是分析AD，CD與AB的線段長關(guān)系. 考慮到三條線段不位于同一直線上，因此很難通過線段運(yùn)算的方式獲得三者的長度關(guān)系，因此需要將“分散”的線段“集中”在一起，可以考慮通過添加輔助線的方式將線段進(jìn)行長度轉(zhuǎn)移.

添加探討? 實(shí)現(xiàn)不共線線段的轉(zhuǎn)移有多種方式，最為有效的方式為構(gòu)建全等三角形，利用三角形全等的性質(zhì)來轉(zhuǎn)移集中. 對(duì)于本題目，從結(jié)論出發(fā)，可以考慮以線段AD所在直線為基準(zhǔn)，構(gòu)建一含有30°角的直角三角形，借助三角形全等性質(zhì)將線段CD轉(zhuǎn)移到線段AD所在直線上，然后借助角平分線性質(zhì)完成等長證明.

[圖4]

詳解? 延長線段AD至點(diǎn)F，使得FD=CD，再連接FC，過點(diǎn)A作FC的垂線，垂足為點(diǎn)G，連接AG，CG，如圖4所示. ∠C=100°，△ABC為等腰三角形，則∠DAB=20°，∠ADB=120°，由對(duì)頂角相等可得∠CDF=120°，結(jié)合CD=FD可推知∠F=30°，因此在Rt△AFG中，2AG=AF. 另外結(jié)合條件可以確定△ACG≌△ACE，則AG=AE，所以AB=2AG=AF=AD+CD，即AD+CD=AB，得證.

添加輔助線，化“隱”為“顯”

平面幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)常見的題型之一，對(duì)于一些條件隱藏較深的題目，由于平面幾何的公式定理眾多，有時(shí)很難直接調(diào)用定理獲得條件，此時(shí)就可以采用添加輔助線的方式來挖掘條件，調(diào)用定理，從而達(dá)到化“隱”為“顯”的目的.

例3圖5所示為以點(diǎn)O為圓心的半圓，已知半圓的直徑為10 cm，弦長AC為6 cm，線段AD為∠CAB的平分線，試求線段AD的長.

[圖5]

難點(diǎn)分析? 本題目為以圓為背景的弦線段長分析題，題干描述較為簡(jiǎn)潔，圖形結(jié)構(gòu)清晰明了，初步來看僅給出了半圓的直徑長和角平分線關(guān)系. 一般求解圓內(nèi)的線段長需要利用圓的相關(guān)定理，如圓周角定理、垂徑定理，但題干給出的條件不涉及圓周角和直角，因此可以考慮通過添加輔助線來挖掘隱含條件.

添加探討? 求解以圓為背景的線段關(guān)系，需要利用圓的相關(guān)定理.? 題干表明線段AB為半圓的直徑，則可以構(gòu)建90°的圓周角，AD為∠CAB的角平分線，可推知點(diǎn)D為的中點(diǎn)，可以通過添加輔助線構(gòu)建等角. 因此對(duì)于本題目，可通過添加輔助線來挖掘其中的隱含條件.

[圖6]

詳解? 連接BC，OD，DB，設(shè)線段BC與OD相交于點(diǎn)E，如圖6所示，根據(jù)條件可知點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∠C=90°，∠ADB=90°，根據(jù)垂徑定理可知點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，OD⊥BC. 在Rt△ABC中利用勾股定理可得BC=8，則BE=4;在Rt△OEB中利用勾股定理可得OE=3，則DE=2;Rt△ADB中，DB=2，AB=10，由勾股定理可得AD=4，即線段AD的長為4.