局部有限圖上非線性方程解的存在性

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

令V為頂點(diǎn)集,E為邊集。若對任意一個(gè)點(diǎn)x∈V只有有限個(gè)點(diǎn)與x相鄰,即每個(gè)頂點(diǎn)的度deg(x)=#{y∈V|x～y}<,其中x～y表示xy∈E,則稱G=(V,E)為局部有限圖。

我們假定權(quán)wxy>0且有wxy=wyx。令μ:V→R+是一個(gè)有限測度。對任意的函數(shù)u:V→R,拉普拉斯算子定義為

梯度定義為

記Γ(u)=Γ(u,u)。定義梯度的長度為

-Δu+h(x)u=f(x,u),x∈V

(P)

解的存在性。

文[2]證明了在局部有限圖上方程(P)有嚴(yán)格正解。文[3]考慮了有限圖上的Yamabe型方程解的存在性。文[4]作者利用變分法和上下解方法證明了有限圖上的Kazdan-Warner型方程

Δu=c-heu

有正解。上述方程的求解方法,可以歸結(jié)為求能量泛函的非零臨界點(diǎn)。尋找方程的臨界點(diǎn)最常用的方法就是山路引理。在文[2]中利用了一個(gè)關(guān)鍵性的條件,即存在某個(gè)常數(shù)θ>2 和M>0使得下面不等式成立

上述條件稱為(AR)條件。

給出定理之前我們先定義極小化問題

(1)

本文主要結(jié)果如下：

定理1若函數(shù)h(x)和f:V×R→R滿足以下條件:

(H1) 存在常數(shù)h0>0,對?x∈V,使得h(x)≥h0;

(H2) 假設(shè)1/h∈L1(V);

(F1)f(x,s)關(guān)于s連續(xù),f(x,0)≡0及s≤0時(shí),f(x,s)≡0;

(F2) 對于幾乎處處的x∈V,f(x,t)/t關(guān)于t≥0單調(diào)不減;

則有以下結(jié)論：當(dāng)Λ<1時(shí),方程(P)總有正解。

1 一些引理

令Cc(V)表示V上具有緊支集的連續(xù)函數(shù)空間,W1,2(V)是Cc(V)在范數(shù)

下的完備化。W1,2(V)是一個(gè)Hilbert空間,其內(nèi)積為

令h(x)≥h0>0,對?x∈V。我們定義函數(shù)空間

其范數(shù)定義為

顯然H是一個(gè) Hilbert 空間,其內(nèi)積為

引理 1若μ(x)≥μmin>0,h滿足(H1)和(H2),則H緊嵌入到Lq(V)中,其中1≤q≤+,也就是說,如果uk在H中有界,那么存在u∈H,使得在H中有uk弱收斂到u,在Lq(V)中有uk→u,其中1≤q≤+。

證明詳見文[2]引理 2.1。

在空間H上定義以下能量泛函

(2)

引理2存在非負(fù)函數(shù)u∈H,使得J(tu)→-,當(dāng)t→+時(shí)。

證明：我們知道-Δu+hu=λ1e,e為特征向量,那么

即

有

由引理2可得,存在t0>0,使得J(t0u)<0。記u*=t0u。

引理3存在大于零的常數(shù)δ,r使得泛函J(u)≥δ,對所有的u有‖u‖H=r。

證明：這里證明與文[2]中引理3.3的證明完全一樣。

2 定理證明

定理1的證明。為了證明定理我們需要先證明以下引理。

引理4若h滿足(H1),(H2),f滿足(F1),(F2)和(F3),那么對?c∈R,泛函J(u)滿足(PS)c條件。也就是說,若有{un}∈H,使得J(un)→c,J′(un)→0,那么存在u∈H,使得序列在空間H中有un→u成立。

證明：首先要證明序列{un}∈H在空間H中有界。為此我們采用反證法,假設(shè)序列un在H中無界,即有‖un‖H→+,且令

(3)

顯然有wn在H中有界,那么通過適當(dāng)選取子列,假設(shè)存在w∈H,使得

wn→w在H中弱收斂,

wn(x)→w(x)在V中幾乎處處收斂,

wn→w在L2(V)中強(qiáng)收斂。

我們斷言：w≡0

下面證明w≡0。由條件(F1)和(F3)可得存在常數(shù)M>0,使得對?x∈V,t≥0有

(4)

從而由(3)和(4)可得

上式與c>0矛盾,故有w≡0。

現(xiàn)在來證明w(≡0)滿足下面的等式

令

由條件(F1)和(F3)可得存在常數(shù)M>0,使得對?x∈V,有0≤pn(x)≤M,通過選取適當(dāng)?shù)淖恿?假設(shè)存在某個(gè)函數(shù)g(x)∈H,使得pn在L2(V)中弱收斂到g,且在V中幾乎處處有0≤g(x)≤M。對?φ∈L2(V),由wn在L2(V)中強(qiáng)收斂w得到

因?yàn)閜nwn在L2(V) 中有界,所以有

pnwn→gw+在L2(V)上弱收斂

(5)

由〈J′(un),un〉→0可得‖J′(un)‖H′→0 (n→),且‖un‖H→(n→) ,則對任意的φ∈H,有

再由(5)式和wn在H中弱收斂到w,得到

(6)

在上式中令φ=w-,易得‖w-‖=0,從而在V中有w≡w+≥0,由強(qiáng)極大值原理可得

w(x)>0在V中幾乎處處成立。 由于‖un‖→+且在V中幾乎處處有wn(x)→w(x)。 當(dāng)n→+時(shí),由(3)式可知,如果在V中幾乎處處有w(x)>0,那么在H中有un→+。從而由條件(F3)可得當(dāng)w(x)>0時(shí),必有g(shù)(x)≡q(x),所以(6)式變?yōu)?/p>

將φ用w替換之后,可以得到Λ=1，這與Λ<1矛盾。證得序列{un}在H中有界。下面來證明存在{un}使得un在H中強(qiáng)收斂到u。此處與文[2]中引理3.4中的證明一樣。

通過引理2、3、4,泛函J滿足山路引理所有的條件,由山路引理可以得到

是J的臨界點(diǎn),其中

Γ={γ∈C( [0,1],H):γ(0)=0 ,γ(1)=u*}

即存在u∈H使得J(u)=c等價(jià)于u是方程的弱解。又因?yàn)?/p>

J(u)=c≥δ>0

所以得到u≡0,由文[2]引理3.2可得,若u是非平凡解,那么u是嚴(yán)格正解。即u是方程的正解。證畢。