直觀想象在2018年高考理科數(shù)學(xué)試卷中的體現(xiàn)

戴 有 剛

(東北師范大學(xué)附屬中學(xué)，吉林 長春 130021)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)把“立德樹人”作為教育的根本任務(wù)，在教育本質(zhì)上回答了“培養(yǎng)什么樣的人”的問題。《標(biāo)準(zhǔn)》中把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)列為課程目標(biāo)，提出六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析[1]，有效地從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)上回答了“培養(yǎng)什么樣的中學(xué)生”的問題。

直觀想象不但是“四能”(發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力)的基礎(chǔ)，它也是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)。本文擬通過對直觀想象的內(nèi)涵、表現(xiàn)和水平的論述，對2018年全國高考理科數(shù)學(xué)試卷中直觀想象素養(yǎng)水平的體現(xiàn)進(jìn)行分析研究，目的是了解命題人意圖，掌握直觀想象核心素養(yǎng)知識點分布，進(jìn)而指導(dǎo)我們的教育教學(xué)。

一、直觀想象的內(nèi)涵

直觀，是指通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識；想象，是一種特殊的思維形式，是人在頭腦里對已儲存的表象進(jìn)行加工改造形成新形象的心理過程。數(shù)學(xué)想象是對數(shù)學(xué)形象的特征推理，它是數(shù)學(xué)表象與數(shù)學(xué)直感在主體頭腦中的有機(jī)聯(lián)合和組合，是合情推理的基本成分。想象，具有創(chuàng)造和創(chuàng)新性，是思維的翅膀。

直觀與想象是不同的思維方法或形式，想象可以是建立在直觀的基礎(chǔ)上，是直觀的延伸，直觀想象使二者合二為一，是一個有機(jī)的思維整體，也是一個連續(xù)的思維過程[2]。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

二、直觀想象素養(yǎng)的水平劃分

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的產(chǎn)生源于對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，它表現(xiàn)為知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新等三種形態(tài)[3]，據(jù)此，核心素養(yǎng)分為三種不同的水平。直觀想象素養(yǎng)水平的描述是通過情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思四個方面展開的，分為三個水平：水平一是高中畢業(yè)應(yīng)當(dāng)達(dá)到的要求，也是高中畢業(yè)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的命題依據(jù)；水平二是高考的要求，也是數(shù)學(xué)高考的命題依據(jù)；水平三是基于必修、選擇性必修和選修課程的某些內(nèi)容對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成提出的要求，可以作為大學(xué)自主招生的參考。其中，直觀想象水平二(高考)的要求為：一是能夠在關(guān)聯(lián)情境中，想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形，并借助圖形提出數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，探索圖形的運動規(guī)律；二是能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法，能夠借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，解決實際問題或數(shù)學(xué)問題；三是能夠通過直觀想象提出數(shù)學(xué)問題，能夠用圖形探索解決問題的思路，能夠形成數(shù)形結(jié)合的思想，體會幾何直觀的作用和意義；四是在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討數(shù)學(xué)問題[4]。

三、2018年全國高考理科數(shù)學(xué)試卷部分試題分析

2018年全國高考理科數(shù)學(xué)試卷按照“保持整體穩(wěn)定，推進(jìn)改革創(chuàng)新，立足基礎(chǔ)考查，突出能力立意”的命題指導(dǎo)思想，題目以常規(guī)為主，問題情境設(shè)置合理自然，有利于學(xué)生思考。以知識為載體，注重數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。淡化解題技巧，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)，考查數(shù)學(xué)思想方法的活學(xué)活用，體現(xiàn)“四基”(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗)。增設(shè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體現(xiàn)“四能”?？疾閷W(xué)生的交流與表達(dá)能力，能用數(shù)學(xué)的語言正確表述問題，體現(xiàn)“三會”(會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界；會用數(shù)學(xué)的思維思考世界)[5]。試題越來越多地考查直觀想象素養(yǎng)，先看后證，由直觀到抽象，數(shù)形結(jié)合，考查學(xué)生用直觀想象思考和解決問題的能力。

1.利用圖形描述理解數(shù)學(xué)問題

借助見到的或想象到的幾何圖形產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直觀感知，或稱“幾何直觀”，是培養(yǎng)直觀想象的起點和基礎(chǔ)。培養(yǎng)學(xué)生直觀感知，學(xué)會“看”，養(yǎng)成“學(xué)函數(shù)、用圖像”來解決函數(shù)問題的習(xí)慣；使用圖像，架起方程(不等式)通往函數(shù)的橋梁；構(gòu)建函數(shù)模型使抽象函數(shù)不抽象，從“形”的角度刻畫函數(shù)的概念和性質(zhì)。

本題屬于數(shù)學(xué)情境問題，目的是建立直觀圖形與函數(shù)之間的聯(lián)系，可以考查學(xué)生掌握函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。通過直觀感知，形成函數(shù)是奇函數(shù)與直觀模型相互對應(yīng)的關(guān)系，運用計算x=1處的函數(shù)值確定感知程度，通過推理論證求導(dǎo)評價直觀感知單調(diào)性是否嚴(yán)密。

(2)(原題號10)若f(x)=cosx-sinx在[-a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是________。

(3)(原題號11)已知f(x)是定義域為(-∞，+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=________。

A.-50 B.0 C.2 D.50

本題屬于數(shù)學(xué)問題情境，通過直觀感知，得到函數(shù)的對稱軸為x=1，函數(shù)f(x)是定義域為(-∞，+∞)的奇函數(shù)，為此函數(shù)圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，在直觀想象和推理得到函數(shù)的周期為4，在一個周期內(nèi)x=1，x=2，x=3，x=4所對應(yīng)的函數(shù)值，計算出12個周期內(nèi)函數(shù)值的和為0，最后結(jié)果為f(1)+f(2)的值。

(4)(原題號21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax。

(Ⅰ)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時，f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0，+∞)只有一個零點，求a.

2.利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題

“數(shù)形結(jié)合”是直觀想象最集中的體現(xiàn)，華羅庚精辟地概括了數(shù)形結(jié)合方法的內(nèi)涵：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合萬般好，割舍分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！在解決解析幾何的問題中，要養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，不僅僅從代數(shù)上做量的計算和分析，還要分析量的幾何意義，不要把解析幾何單純看成代數(shù)的變形，忽視量的幾何意義?！皥D”可以幫助思考，把抽象的問題變得直觀具體，更加明了地理解概念，尋找解決問題的思路和捷徑；“數(shù)”從邏輯上使“形”更加嚴(yán)密[6]。

本題屬于數(shù)學(xué)情境問題，通過三條直線圍成的區(qū)域，經(jīng)過目標(biāo)函數(shù)圖像(直線)的平移變化，直觀想象感知直線的位置，得到最優(yōu)解，并計算出目標(biāo)函數(shù)的最大值。

(3)(原題號19)設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8。

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程。

本題屬于數(shù)學(xué)情境問題，目的是通過幾何直觀將幾何問題運用代數(shù)方法，即運用解析法解決問題。通過直觀感知，過焦點F(1，0)的弦長是8，其中斜率確定，由斜長公式得到斜率k的方程，經(jīng)過計算，得到k值；再通過感知經(jīng)過兩點與準(zhǔn)線相切的圓可以確定，但不唯一，有兩個圓，列出三個方程，解出圓心(a，b)和半徑r，進(jìn)而得到兩個圓的方程。

3.利用空間想象解決數(shù)學(xué)問題

空間想象是指人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析、抽象思考和構(gòu)造創(chuàng)新的能力。高中數(shù)學(xué)空間想象能力主要指對物體的形狀、結(jié)構(gòu)、大小、位置關(guān)系的想象能力，主要包括：畫圖、識圖、用圖。通過給出直觀圖，想象實際圖形(從下至上)，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形(從底面到側(cè)面)，構(gòu)建幾何模型(比如長方體)解決問題，將幾何圖形(位置、角度和距離)問題轉(zhuǎn)化空間向量的數(shù)量問題，再由向量的數(shù)量結(jié)果回答實際幾何圖形問題。

圖1

(Ⅰ)證明：PO⊥平面ABC；

(Ⅱ)若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.

本題屬于數(shù)學(xué)情境問題，目的是建立立體直觀圖形與空間點、線、面之間的聯(lián)系，可以運用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算等方法認(rèn)知這個三棱錐。首先感知直線PO與底面ABC垂直關(guān)系，并根據(jù)線面垂直的判定定理給予證明；其次通過二面角M-PA-C的大小為30°，經(jīng)計算確定點M在棱BC上的位置；建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面PAM的法向量，感知PC與平面PAM所成角的正弦值是平面PAM的法向量和向量PC夾角余弦值的絕對值，經(jīng)計算得到答案。

通過以上試題分析得知，直觀想象素養(yǎng)水平的高低與試題的難度之間沒有必然的聯(lián)系，一道傳統(tǒng)意義上的難題也許是因為在邏輯推理或計算上很復(fù)雜，但在直觀想象水平或是數(shù)學(xué)抽象上只是最低要求。以上10道高考試題都含有直觀想象素養(yǎng)考查，它們絕大多數(shù)都達(dá)到學(xué)科素養(yǎng)水平二的要求，個別達(dá)到水平三的程度，而且它們往往不是單一出現(xiàn)，總是伴隨邏輯推理和數(shù)學(xué)計算的嚴(yán)密推斷，達(dá)到數(shù)學(xué)的“嚴(yán)密性”特征，再通過數(shù)學(xué)抽象得出一般規(guī)律，達(dá)到數(shù)學(xué)的“一般性”特征。因此，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的命題本質(zhì)上屬于對專項能力特征的考查。通過試卷分析，也讓我們數(shù)學(xué)教育工作者深思，反思我們的教學(xué)，是否按《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求進(jìn)行教學(xué)，核心素養(yǎng)的教學(xué)在課堂上是否落實。核心素養(yǎng)的基本目標(biāo)是使學(xué)生夯實“四基”，達(dá)到“三會”和“四能”，它是教學(xué)和命題考試的終極目標(biāo)。為此，我們在平時的教學(xué)和命題中，應(yīng)適當(dāng)創(chuàng)設(shè)有關(guān)直觀想象的問題情境，精心設(shè)計問題串，培養(yǎng)學(xué)生運用直觀和想象觀察和思考，積累直觀想象的活動經(jīng)驗，感悟出直觀想象的內(nèi)涵。建立數(shù)形聯(lián)系、運用圖形描述問題即把研究問題圖形化、直觀(圖形)理解使問題簡明形象，運用空間想象認(rèn)識事物，形成數(shù)形結(jié)合的思想，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的養(yǎng)成目標(biāo)。

我們應(yīng)不負(fù)時代使命，積極開展核心“素養(yǎng)”教育教學(xué)改革。只有教師認(rèn)真學(xué)習(xí)，全面領(lǐng)會，不斷實驗與實踐，才能全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。