基于梯度下降法的離散概率空間區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)求解方法

賈正榮， 王航宇， 盧發(fā)興

(海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院， 湖北 武漢 430033)

0 引言

區(qū)域射擊方法能夠優(yōu)化求解多武器協(xié)同攻擊時(shí)的射擊方案[1]，該方法通過(guò)綜合考慮射擊時(shí)的目標(biāo)散布、武器射擊偏差、武器搜捕范圍(針對(duì)末制導(dǎo)搜索武器，如反艦導(dǎo)彈、巡飛彈、無(wú)人艇、無(wú)人機(jī)等無(wú)人作戰(zhàn)平臺(tái))，優(yōu)化求解射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置，以提高射擊方案的毀傷概率或捕獲概率。其中，射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)的求解對(duì)于區(qū)域射擊方案至關(guān)重要，更優(yōu)的射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置意味著達(dá)到預(yù)定毀傷概率或預(yù)定捕獲概率所需的武器數(shù)量更少。

目前，求解區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)的方法主要有兩種。第一種是幾何法：如文獻(xiàn)[2]研究了多枚反艦導(dǎo)彈打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的射擊方法，通過(guò)考慮目標(biāo)初始散布與機(jī)動(dòng)范圍，給出了使導(dǎo)彈捕獲概率大于一定值的射擊前置點(diǎn)區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)進(jìn)行了反艦導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置；文獻(xiàn)[3]研究了多枚導(dǎo)彈區(qū)域覆蓋平行搜索問(wèn)題，考慮了多種情況的目標(biāo)初始散布與機(jī)動(dòng)可能性，通過(guò)將目標(biāo)初始散布與目標(biāo)機(jī)動(dòng)合成，給出了綜合后的目標(biāo)散布區(qū)域，并根據(jù)該區(qū)域大小調(diào)整多枚導(dǎo)彈各自相對(duì)于目標(biāo)散布中心的偏移量，以提高捕獲概率，類似的研究還包括文獻(xiàn)[4-5]等。第二種是函數(shù)逼近法：如文獻(xiàn)[1]研究了末制導(dǎo)搜索武器對(duì)散布服從正態(tài)分布的目標(biāo)區(qū)域射擊問(wèn)題，通過(guò)變分方法求解得到了解析形式的最優(yōu)中間函數(shù)，最優(yōu)中間函數(shù)反映了瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置的理論最優(yōu)值，并以此為依據(jù)建立了實(shí)際瞄準(zhǔn)點(diǎn)的中間函數(shù)與最優(yōu)中間函數(shù)的差值范數(shù)指標(biāo)，通過(guò)數(shù)值逼近方法優(yōu)化該指標(biāo)，求解得到最優(yōu)瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置；文獻(xiàn)[6]采用與文獻(xiàn)[1]相似的思路，求解了目標(biāo)散布服從均勻分布的區(qū)域射擊問(wèn)題。在這兩種方法中，幾何法求解效率較高，但是優(yōu)化程度較低；函數(shù)逼近法優(yōu)化程度較高，但是計(jì)算量大，耗時(shí)較長(zhǎng)。

現(xiàn)有研究雖然在求解方法上有所不同，但是求解的核心思路都是一致的，即優(yōu)化過(guò)程與目標(biāo)分布情況強(qiáng)相關(guān)，且都采用等間隔的瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置方法，所有射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)關(guān)于目標(biāo)散布中心等間隔的配置。該方法的優(yōu)點(diǎn)是優(yōu)化參數(shù)少，便于求解。但是也存在一定的局限性：首先，現(xiàn)有研究主要針對(duì)目標(biāo)散布服從正態(tài)分布與均勻分布兩種情況給出了對(duì)應(yīng)的最優(yōu)中間函數(shù)，進(jìn)而給出瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置求解方法，其最優(yōu)中間函數(shù)與目標(biāo)分布的形式強(qiáng)相關(guān)，對(duì)于新的目標(biāo)分布情況，需要重新進(jìn)行理論推導(dǎo)，而實(shí)際作戰(zhàn)中，根據(jù)情報(bào)的完備程度，指揮員可能人為設(shè)定目標(biāo)的分布情況[7-8]，而人為設(shè)定的目標(biāo)分布可能難以通過(guò)解析函數(shù)表示，即使可以用解析函數(shù)表示，也難以直接通過(guò)變分分析優(yōu)化求解；其次，隨著武器的信息化、智能化水平提升[9]，在攻擊過(guò)程中后續(xù)武器能夠接收之前武器回傳的目標(biāo)信息，若目標(biāo)初始(先驗(yàn))分布為規(guī)則的正態(tài)分布或均勻分布，則考慮回傳信息的更新后(后驗(yàn))目標(biāo)分布也不可能是規(guī)則的分布[10-12]；最后，當(dāng)采用異類武器進(jìn)行區(qū)域射擊時(shí)，異類武器的搜捕范圍不同，此時(shí)若繼續(xù)采用等間隔的瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置，就會(huì)犧牲高性能武器的優(yōu)勢(shì)。簡(jiǎn)而言之，現(xiàn)有方法存在的主要問(wèn)題是由于優(yōu)化求解過(guò)程與目標(biāo)分布形式強(qiáng)相關(guān)，并采用了等間隔的瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置，從而無(wú)法應(yīng)對(duì)多變復(fù)雜的目標(biāo)散布情況，特別是目標(biāo)服從不規(guī)則概率分布的情況。

因此，為增強(qiáng)區(qū)域射擊方法的適用性，解決目標(biāo)分布不規(guī)則條件下的區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)求解問(wèn)題，本文提出基于梯度下降法的離散概率空間區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)求解方法。通過(guò)在離散空間內(nèi)描述目標(biāo)的分布概率，從而適應(yīng)不規(guī)則的目標(biāo)分布情況[13-14]，之后通過(guò)變分方法求解離散空間內(nèi)的最優(yōu)中間函數(shù)[15]，以實(shí)際中間函數(shù)與最優(yōu)中間函數(shù)的差值范數(shù)作為優(yōu)化指標(biāo)，給出解析形式的指標(biāo)梯度，并構(gòu)建基于梯度下降法的射擊點(diǎn)位置求解模型[16-18]，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)不規(guī)則分布的非等間隔瞄準(zhǔn)點(diǎn)求解。

1 離散空間區(qū)域射擊毀傷概率模型

設(shè)f(x)是連續(xù)空間內(nèi)目標(biāo)分布的概率密度函數(shù)，有

(1)

為精確反映目標(biāo)的概率分布，同時(shí)考慮計(jì)算的可行性，將坐標(biāo)空間等間隔離散化，間隔記為Δx，如圖1所示(圖1中F(x)為離散空間概率密度)。從而得到離散空間內(nèi)給出目標(biāo)的分布概率密度F(xj)，有

(2)

式中：xj為離散概率空間中第j個(gè)點(diǎn)的目標(biāo)位置；Φ為離散概率空間點(diǎn)的集合。

另外，由于連續(xù)空間內(nèi)的概率密度定義域可能為(-∞,∞)，而Φ只能取有限個(gè)點(diǎn)，為保證充分覆蓋目標(biāo)散布區(qū)域，設(shè)α為允許誤差，有

(3)

同時(shí)，記M(Φ)為離散空間Φ的范圍，即Φ內(nèi)坐標(biāo)最大值與坐標(biāo)最小值的差值，

M(Φ)=max{xj}-min{xj}.

(4)

與文獻(xiàn)[1]類似，可以得到離散空間內(nèi)的目標(biāo)毀傷概率為

(5)

式中：m為瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)量；ni為每個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)上分配的武器數(shù)量；Q為武器捕獲目標(biāo)后毀傷目標(biāo)的概率，與突防概率、毀傷能力有關(guān)，文中取定值；P(xj-xi)為目標(biāo)位置為xj、瞄準(zhǔn)點(diǎn)為xi時(shí)的條件捕獲概率函數(shù)，

(6)

其中Ex1為武器的自控終點(diǎn)散布誤差，ρ為常數(shù)0.476 936，B為武器搜索半寬。

由于在離散空間內(nèi)通過(guò)F(xj)描述目標(biāo)分布情況，從而可以靈活地表示目標(biāo)的各種分布。

2 最優(yōu)中間函數(shù)求解

文獻(xiàn)[1，6]分別在目標(biāo)正態(tài)分布與均勻分布的條件下引入中間函數(shù)，并通過(guò)變分法求解得到最優(yōu)中間函數(shù)，為區(qū)域射擊的瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置求解提供了極大的便利。然而，現(xiàn)有研究的最優(yōu)中間函數(shù)與目標(biāo)分布情況強(qiáng)相關(guān)，對(duì)于新的目標(biāo)分布情況(即不是正態(tài)分布或均勻分布的情況)，則需要重新進(jìn)行理論推導(dǎo)。因此，這里基于文獻(xiàn)[1，6]的方法，給出適用于離散目標(biāo)分布的最優(yōu)中間函數(shù)求解方法，方法流程固定，結(jié)果僅與離散目標(biāo)分布的具體取值有關(guān)，從而可以適用于不規(guī)則的目標(biāo)離散概率分布情況。

最優(yōu)中間函數(shù)Uo(x)是中間函數(shù)U(x,xi)在給定目標(biāo)分布條件下的理論最優(yōu)函數(shù)，與具體的瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置xi無(wú)關(guān)，并且有較好的解析形式。雖然Uo(x)無(wú)法通過(guò)有限個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置達(dá)到，但是可以將最優(yōu)中間函數(shù)與實(shí)際中間函數(shù)的差值范數(shù)作為指標(biāo)，使實(shí)際中間函數(shù)逼近最優(yōu)中間函數(shù)，從而優(yōu)化求解瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置。

實(shí)際中間函數(shù)U(x)(這里省略了參數(shù)xi)可描述為

(7)

U(x)具有兩個(gè)性質(zhì)

U(x)≥0，

(8)

(9)

在離散空間內(nèi)，(9)式可變?yōu)?/p>

(10)

文獻(xiàn)[1，6]分別在連續(xù)空間內(nèi)求解了目標(biāo)正態(tài)分布與均勻分布情況下的最優(yōu)中間函數(shù)。連續(xù)空間內(nèi)的Uo(x)與f(x)強(qiáng)相關(guān)，因此當(dāng)f(x)形式復(fù)雜時(shí)，求解Uo(x)將十分困難。

這里通過(guò)變分方法求解離散空間內(nèi)的最優(yōu)中間函數(shù)。

考慮到x?Φ時(shí)有F(x)=0，因此在(5)式中代入U(xiǎn)(x)后，PK可以寫為

(11)

結(jié)合(9)式，可以得到基于變分法構(gòu)建指標(biāo)函數(shù)為

H=F(x)exp[-U(x)]+λU(x),

(12)

式中：λ為變分求解條件極值過(guò)程中的拉格朗日乘子。

H的極值滿足(13)式，即歐拉方程，此時(shí)中間函數(shù)取最優(yōu)值Uo(x)，即

(13)

式中：Ux為中間函數(shù)U(x)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。從而解得

Uo(x)=lnF(x)-lnλ.

(14)

Uo(x)同時(shí)應(yīng)當(dāng)滿足(8)式與(9)式。為方便分析，引入有效區(qū)間Ω，在有效空間內(nèi)最優(yōu)中間函數(shù)取值有效，即

Ω={x|Uo(x)>0}.

(15)

令最優(yōu)中間函數(shù)在Ω外取0，即

Uo(x)=0,x?Ω，

(16)

從而可以通過(guò)(10)式與(14)式解出Uo(x)，有

(17)

滿足(17)式的Uo(x)有無(wú)限多個(gè)，然而，根據(jù)區(qū)域射擊問(wèn)題的具體情況，區(qū)間Ω的范圍‖Ω‖應(yīng)當(dāng)盡可能大，這樣在Ω內(nèi)Uo(x)的極值Uo(x)就會(huì)盡可能小，從而利于實(shí)際瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置。

因此，求解最優(yōu)中間函數(shù)Uo(x)的問(wèn)題變?yōu)榍蠼庾畲蟆浮膯?wèn)題，這里引入概率閾值Fp進(jìn)行求解。

取Fp定義域?yàn)?/p>

(18)

以Fp為閾值對(duì)F(xj)進(jìn)行劃分，取Ω為

Ω={x|F(xj)≥Fp}.

(19)

對(duì)于任意Fp，可以根據(jù)(19)式得到有效區(qū)間Ω，之后根據(jù)(17)式解得λ. 得到λ后，還需要判斷是否有

Uo(x)=lnF(x)-lnλ≥0.

(20)

因此，需要優(yōu)化求解Fp，使Fp盡可能小，并且滿足(20)式，從而增大Ω的范圍。求解可以采用二分法、線性搜索方法、黃金分割搜索方法等。求解得到Fp后，就可以解出Ω、λ，進(jìn)而根據(jù)(14)式得到離散形式的最優(yōu)中間函數(shù)Uo(x).

3 射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值求解

采用梯度下降法進(jìn)行瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置的求解，首先需要給定瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值。然而，目標(biāo)概率密度函數(shù)可能在某些位置是間斷的，或者在某些位置取值明顯較低，如圖2所示。

對(duì)于這種情況，最終求解得到的有效區(qū)間由多個(gè)間斷的區(qū)間組成(見(jiàn)圖3)；同時(shí)需要按照一定的原則將武器分配到各個(gè)子區(qū)間內(nèi)，在每個(gè)連通的子區(qū)間內(nèi)根據(jù)分配的武器數(shù)量分別求解瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值。

3.1 間斷區(qū)間的瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)量分配

設(shè)有效區(qū)間Ω由k個(gè)互不相交且內(nèi)部連通的子區(qū)間Ωk組成，即

(21)

將m個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)分配至每個(gè)子區(qū)間，對(duì)應(yīng)第k個(gè)有效子區(qū)間的瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)量為mk. 進(jìn)行瞄準(zhǔn)點(diǎn)求解可以類比為用mk個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)“填補(bǔ)”子區(qū)間Ωk內(nèi)的函數(shù)包絡(luò)，每個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的中間函數(shù)值具有一定的寬度及面積，為了充分“填補(bǔ)”，需要將總數(shù)為m的瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)量根據(jù)每個(gè)子區(qū)間Ωk的寬度和面積分配至對(duì)應(yīng)區(qū)間。因此，可以從兩種角度出發(fā)進(jìn)行瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)量分配；一是基于Ωk內(nèi)最優(yōu)中間函數(shù)積分(面積)的瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)量分配；二是基于區(qū)間測(cè)度(寬度)的瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)量分配。

3.1.1 基于最優(yōu)中間函數(shù)積分的瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)量分配

求取每個(gè)子區(qū)間Ωk內(nèi)的最優(yōu)中間函數(shù)積分，記為Gk，有

(22)

(23)

3.1.2 基于區(qū)間測(cè)度的瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)量分配

求取每個(gè)子區(qū)間Ωk的測(cè)度，即長(zhǎng)度，記為Mk，有

(24)

(25)

在實(shí)際求解過(guò)程中，可以同時(shí)采用兩種方法求解間斷區(qū)間內(nèi)的瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)量，然后求解瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置，選取理論毀傷概率高的瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置作為結(jié)果。

3.2 連通區(qū)間內(nèi)的瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值求解

根據(jù)有效子區(qū)間Ωk的性質(zhì)，以及單個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)的實(shí)際中間函數(shù)關(guān)于瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置的對(duì)稱性，當(dāng)瞄準(zhǔn)點(diǎn)均位于Ωk內(nèi)時(shí)，可以采用梯度下降法逐漸逼近瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置的最優(yōu)值。當(dāng)瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值位于Ωk外并遠(yuǎn)離Ωk時(shí)，指標(biāo)范數(shù)對(duì)于該瞄準(zhǔn)點(diǎn)的梯度將趨近于0，從而無(wú)法通過(guò)梯度下降法求解最優(yōu)瞄準(zhǔn)點(diǎn)。因此，瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值應(yīng)當(dāng)全部位于Ωk內(nèi)。

以Ωk的中點(diǎn)xm,k為中心，以Ωk的h倍長(zhǎng)hMk為總長(zhǎng)度(其中h為初值參數(shù))，等間隔分配瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置，作為瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值，則有效子區(qū)間Ωk內(nèi)的瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值xk,i,0為

(26)

式中：i表示第k個(gè)有效子區(qū)間內(nèi)的第i個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)；xm,k為

(27)

4 基于梯度下降法的射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置求解模型

求解瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置的思路是使瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置對(duì)應(yīng)的U(x)盡可能地接近Uo(x)，首先給出描述二者接近程度的指標(biāo)，之后求解指標(biāo)梯度，最后構(gòu)建瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置的迭代求解模型。

4.1 中間函數(shù)差值指標(biāo)梯度求解

設(shè)U(x)與Uo(x)的差值范數(shù)為I，有

(28)

I的形式較為復(fù)雜，取

(29)

由于I*與I單調(diào)性相同，為簡(jiǎn)化計(jì)算，以I*作為指數(shù)函數(shù)，求解I*對(duì)瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置的梯度。

對(duì)于每個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置xi，求解?I*/?xi，有

(30)

4.2 射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置迭代求解模型

根據(jù)梯度(30)式，可以構(gòu)建求解射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置的迭代模型，設(shè)定速率因子為η(一般取η∈(0,1])，則有

(31)

式中：xi,q為第i個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)上第q次迭代的值。記所有瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置向量為X，

X=(x1,…,xi,…,xm)T.

(32)

給定迭代允許誤差δ>0，則迭代終止條件為

|Xq-Xq-1|<δ.

(33)

5 仿真分析

目前，求解區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)的方法主要有幾何法與函數(shù)逼近法。由于這兩種方法只適用于目標(biāo)分布服從正態(tài)分布與均勻分布的情況，首先在目標(biāo)分布服從正態(tài)分布、均勻分布情況下，對(duì)比幾何法、函數(shù)逼近法與本文梯度下降法。之后，在離散空間中給出不規(guī)則的目標(biāo)分布情況，通過(guò)梯度下降法求解射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)，驗(yàn)證梯度下降法的有效性。

5.1 與現(xiàn)有方法對(duì)比

對(duì)于不同的目標(biāo)分布情況，改變目標(biāo)散布區(qū)域大小，通過(guò)不同方法求解射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)，對(duì)比不同方法的毀傷概率與計(jì)算時(shí)間。在對(duì)比毀傷概率時(shí)，同時(shí)通過(guò)最優(yōu)中間函數(shù)給出當(dāng)前誤差條件下的最優(yōu)毀傷概率。

設(shè)進(jìn)行區(qū)域射擊的末制導(dǎo)搜索武器搜索半寬B為1 000 m，自控終點(diǎn)誤差Ex1為100 m，捕獲后毀傷目標(biāo)的概率Q為0.7. 計(jì)算過(guò)程中，梯度下降法速率因子η取0.5，初值參數(shù)h取0.5.

5.1.1 目標(biāo)分布服從正態(tài)分布

設(shè)目標(biāo)分布服從正態(tài)分布，期望值取0，目標(biāo)散布誤差Ex2取3 000～15 000 m，使用10個(gè)末制導(dǎo)搜索武器進(jìn)行區(qū)域射擊，共設(shè)定10個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)。采用幾何法、函數(shù)逼近法與梯度下降法計(jì)算射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的毀傷概率如圖4所示，計(jì)算所需時(shí)間如圖5所示。

5.1.2 目標(biāo)分布服從均勻分布

設(shè)目標(biāo)分布服從均勻分布，分布區(qū)域長(zhǎng)度Lx取6 000～30 000 m，中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，使用8個(gè)末制導(dǎo)搜索武器進(jìn)行區(qū)域射擊，共設(shè)定8個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)。采用幾何法、函數(shù)逼近法與梯度下降法計(jì)算射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的毀傷概率如圖6所示，計(jì)算所需時(shí)間如圖7所示。

5.2 目標(biāo)分布不規(guī)則情況

在兩種目標(biāo)分布情況下通過(guò)梯度下降法求解區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)。其中：目標(biāo)分布情況A為初始正態(tài)分布經(jīng)過(guò)探測(cè)、概率更新后的分布；目標(biāo)分布情況B為人為設(shè)定的正態(tài)分布與均勻分布合成分布。首先通過(guò)梯度下降法求解不同分布情況的瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置，之后采用統(tǒng)計(jì)模擬法計(jì)算毀傷概率，驗(yàn)證該方法的有效性。

在仿真計(jì)算中，使用8個(gè)末制導(dǎo)搜索武器進(jìn)行區(qū)域射擊，共設(shè)定8個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)，進(jìn)行區(qū)域射擊的末制導(dǎo)搜索武器搜索半寬B為500 m，自控終點(diǎn)誤差Ex1為100 m，捕獲后毀傷目標(biāo)的概率Q為0.7. 計(jì)算過(guò)程中，梯度下降法速率因子η取0.5.

為便于表示概率密度，設(shè)正態(tài)分布概率密度f(wàn)N(x|μ,σ)為

(34)

式中：μ為正態(tài)分布的期望；σ為正態(tài)分布的均方差。

均勻分布概率密度f(wàn)U(x|xmin,xmax)為

(35)

式中：[xmin,xmax]為均勻分布范圍。

5.2.1 目標(biāo)分布情況A

(36)

探測(cè)概率PC(x)為(37)式，如圖9所示。

(37)

則經(jīng)過(guò)探測(cè)、更新后的目標(biāo)分布概率密度f(wàn)A(x)為

(38)

取h為0.5，采用梯度下降法求解區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)，得到更新后的概率密度與射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置如圖10所示，最優(yōu)中間函數(shù)與射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置如圖11所示。

同時(shí)，為分析初值對(duì)于方法求解瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置的影響，選取不同的初值參數(shù)h，使初值間距不同，并對(duì)比結(jié)果的毀傷概率與求解時(shí)間，如圖12所示。

5.2.2 目標(biāo)分布情況B

人為設(shè)定目標(biāo)分布概率密度f(wàn)B(x)，為正態(tài)分布fN(x|-25Ex1,12Ex1)與均勻分布fU(x|4,30Ex1)之和。采用梯度下降法求解區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)，得到目標(biāo)分布概率密度與射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置如圖13所示，最優(yōu)中間函數(shù)與射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置如圖14所示。

(39)

同樣，為分析初值對(duì)于方法求解瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置的影響，選取不同的初值參數(shù)h，使初值間距不同，并對(duì)比結(jié)果的毀傷概率與求解時(shí)間，如圖15所示。

5.2.3 毀傷概率對(duì)比

為驗(yàn)證方法有效性，對(duì)于梯度下降法求解得到的瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置，通過(guò)統(tǒng)計(jì)模擬法計(jì)算毀傷概率，并與(5)式計(jì)算得到的理論毀傷概率與最優(yōu)中間函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)毀傷概率進(jìn)行對(duì)比。

對(duì)于每一種目標(biāo)分布，按照其概率密度隨機(jī)生成目標(biāo)位置，之后按照射擊方案中的武器瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置與武器自控終點(diǎn)誤差計(jì)算毀傷概率。設(shè)目標(biāo)位置為Xt，第r次試驗(yàn)中，第i個(gè)武器位置為ξi，武器捕獲到目標(biāo)的事件為Gc(i,r)，

(40)

統(tǒng)計(jì)第r次事件中，捕獲到目標(biāo)的武器數(shù)量nc,r，計(jì)算第r次事件統(tǒng)計(jì)模擬毀傷概率PK,S,r為

PK,S,r=1-(1-Q)nc,r.

(41)

設(shè)共進(jìn)行nS次試驗(yàn)，則采用統(tǒng)計(jì)模擬法計(jì)算每種目標(biāo)分布條件下的實(shí)際毀傷概率PK,S為

(42)

取試驗(yàn)次數(shù)nS為10 000，置信度95%. 計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)模擬法毀傷概率、理論毀傷概率與最優(yōu)毀傷概率如表1所示。

表1 毀傷概率對(duì)比

5.3 結(jié)果分析

5.3.1 梯度下降法特性分析

在初值對(duì)于方法的影響方面。根據(jù)圖12與圖15，當(dāng)初值參數(shù)h在(0,1)內(nèi)取值時(shí)，瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值位于有效區(qū)間內(nèi)，瞄準(zhǔn)點(diǎn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的毀傷概率沒(méi)有差別，而計(jì)算時(shí)間隨h的變化而改變，并且改變趨勢(shì)在不同目標(biāo)分布情況下不一致；而當(dāng)初值參數(shù)h取1以上數(shù)值時(shí)，瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值位于有效區(qū)間外，瞄準(zhǔn)點(diǎn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的毀傷概率開始下降，這是因?yàn)閭€(gè)別瞄準(zhǔn)點(diǎn)已經(jīng)離開有效區(qū)間(即最優(yōu)中間函數(shù)取值不為0的區(qū)間)，這些瞄準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)中間函數(shù)差值范數(shù)的導(dǎo)數(shù)趨近于0，無(wú)法通過(guò)梯度下降法使這些瞄準(zhǔn)點(diǎn)逐漸逼近最優(yōu)值。因此，采用梯度下降法求解瞄準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)，需要確保瞄準(zhǔn)點(diǎn)初值位于有效區(qū)間內(nèi)。

在方法有效性，即毀傷概率優(yōu)化程度方面。根據(jù)圖4、圖6可知，梯度下降法在目標(biāo)服從規(guī)則分布條件下，其結(jié)果毀傷概率與現(xiàn)有最優(yōu)方法相當(dāng)；而根據(jù)表1，在目標(biāo)不規(guī)則分布情況下，梯度下降法求解得到的瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置對(duì)應(yīng)毀傷概率與最優(yōu)毀傷概率接近。綜上所述，梯度下降法能夠有效地求解區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)，使毀傷概率接近理論最優(yōu)值。

5.3.2 方法對(duì)比

通過(guò)綜合圖4～圖11和圖13、圖14的仿真結(jié)果，總結(jié)對(duì)比幾何法、函數(shù)逼近法、梯度下降法的特點(diǎn)如表2所示。

表2 方法特點(diǎn)對(duì)比

由表2可知：

在優(yōu)化程度方面，幾何法僅考慮了目標(biāo)散布區(qū)域大小，沒(méi)有考慮目標(biāo)在散布區(qū)域內(nèi)的概率密度，因此僅在目標(biāo)均勻分布條件下與其他兩種方法的優(yōu)化程度相當(dāng)，而在目標(biāo)分布不均勻條件下毀傷概率較低，綜合來(lái)看優(yōu)化程度最低；函數(shù)逼近法與梯度下降法都采用了變分方法求解最優(yōu)中間函數(shù)，在求解過(guò)程中以理論最優(yōu)值作為參考逐漸逼近求解，因此優(yōu)化程度較高。

在求解速度方面，幾何法直接將武器等間隔分配到目標(biāo)散布區(qū)域內(nèi)，因此求解速度最快，顯著高于其他兩種方法；函數(shù)逼近法雖然建立了實(shí)際中間函數(shù)與最優(yōu)中間函數(shù)的差值范數(shù)指標(biāo)，但是采用無(wú)導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法[19]，求解速度最慢；梯度下降法利用解析形式的導(dǎo)數(shù)，求解速度明顯快于函數(shù)逼近法，但是慢于幾何法。另外，梯度下降法采用迭代求解，可以根據(jù)任務(wù)時(shí)間要求隨時(shí)停止到一個(gè)次優(yōu)值。

在適用性方面，幾何法基于目標(biāo)散布區(qū)域大小，只要能夠得到目標(biāo)散布范圍，就可以通過(guò)結(jié)合法求解區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)，但是如何確定目標(biāo)散布范圍仍然是一個(gè)問(wèn)題，因此適用性中等；函數(shù)逼近法需要解析形式的最優(yōu)中間函數(shù)，適用性較弱；梯度下降法利用離散形式的最優(yōu)中間函數(shù)，可以在離散空間內(nèi)求解目標(biāo)不規(guī)則分布情況的區(qū)域射擊方法，適用性最強(qiáng)。

6 結(jié)論

本文提出基于梯度下降法的離散概率空間區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)求解方法。該方法通過(guò)在離散空間內(nèi)描述目標(biāo)的分布概率，并通過(guò)變分方法給出了適用于離散形式目標(biāo)分布的最優(yōu)中間函數(shù)求解方法，從而可以適用于不規(guī)則的目標(biāo)分布情況；最后給出了解析形式的梯度求解瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置模型，以迭代求解瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置。結(jié)果表明：該方法能夠在離散空間內(nèi)求解目標(biāo)不規(guī)則分布情況下的區(qū)域射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)配置，適用性強(qiáng)、求解速度較快、優(yōu)化程度高；由于避免了以解析形式描述目標(biāo)分布概率密度，能夠用于現(xiàn)有方法難以求解的情況，如人為指定目標(biāo)分布的情況，或多批次攻擊中目標(biāo)概率密度不斷更新條件下的情況，提升了區(qū)域射擊方法的適用性。