基于連續(xù)2階滑模的帶碰撞角約束制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

張文廣， 易文俊， 管軍， 袁丹丹

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 南京 210094)

0 引言

在實(shí)施末端攔截時(shí)，不僅希望導(dǎo)彈能夠擊中目標(biāo)，而且要求能以一定的姿態(tài)與目標(biāo)碰撞，從而在對(duì)目標(biāo)實(shí)施攔截或打擊時(shí)發(fā)揮戰(zhàn)斗部的最佳效能，以達(dá)到最佳的毀傷效果。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)這一問(wèn)題提出了各種方法，包括自適應(yīng)控制方法、最優(yōu)控制方法、滑?？刂品椒ǖ萚1-6]，均取得了滿意的制導(dǎo)精度。其中，研究最廣泛的是最優(yōu)控制方法，其思想是將具有終端碰撞角約束的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問(wèn)題，經(jīng)過(guò)合理簡(jiǎn)化，從而得到一個(gè)顯式的制導(dǎo)方程。Dou等[7]針對(duì)時(shí)變系統(tǒng)提出了一種基于最優(yōu)控制和數(shù)值分解的制導(dǎo)律，該方法可以使落角和脫靶量達(dá)到最優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]提出使用拉格朗日乘子(LM)法將碰撞角約束與脫靶量約束組合起來(lái)，然后使用施瓦茨不等式的方法解決這一考慮碰撞角約束的最優(yōu)問(wèn)題，并且證明了通過(guò)選擇合適的LM，可以獲得不同的制導(dǎo)命令形式，繼而獲得不同的碰撞角。Liu等[9]提出了一種滿足碰撞角約束的軌跡生成制導(dǎo)律，該方法基于線性二次最優(yōu)控制理論，且使用統(tǒng)計(jì)線性化伴隨方法研究所提算法的特性，通過(guò)數(shù)值仿真結(jié)果證明了軌跡生成制導(dǎo)律的作用下脫靶量和碰撞角誤差是收斂的。以上最優(yōu)控制方法需要計(jì)算剩余飛行時(shí)間，在實(shí)際中是很難實(shí)現(xiàn)的，于是出現(xiàn)了基于飛行時(shí)間預(yù)測(cè)的方法[10-12]，但是會(huì)帶來(lái)因飛行時(shí)間估計(jì)靈敏度造成的制導(dǎo)律控制指標(biāo)下降，而且此類方法要求攔截器具有高度的機(jī)動(dòng)性能。

比例導(dǎo)引律是一種廣泛使用的制導(dǎo)方法，基于此類方法增加一個(gè)偏置項(xiàng)，可以設(shè)計(jì)出滿足脫靶量約束及碰撞角約束的制導(dǎo)律。Zhang等[13]提出了一種針對(duì)大碰撞角約束的制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律基于偏置比例導(dǎo)引方法，但是剩余飛行時(shí)間的估計(jì)仍然是此制導(dǎo)律的重要組成環(huán)節(jié)。為了解決這一問(wèn)題，Zhou等[14]提出一種自適應(yīng)偏置比例導(dǎo)引律，其增益以一定頻率進(jìn)行更新，以應(yīng)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)等帶來(lái)的擾動(dòng)。但是，該制導(dǎo)律僅適用于打擊靜止目標(biāo)。

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法由于在系統(tǒng)存在參數(shù)攝動(dòng)情況下表現(xiàn)出不變的特性，對(duì)外界擾動(dòng)具有足夠的魯棒性，而且能夠處理高度非線性的問(wèn)題，被廣泛用于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中。Wang等[15]提出基于滑模變結(jié)構(gòu)方法和最優(yōu)控制方法的制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律綜合了最優(yōu)控制下視線(LOS)角速率的收斂特性和滑模變結(jié)構(gòu)方法的魯棒特性。為了解決碰撞角誤差的收斂時(shí)間問(wèn)題，Zhao等[16]提出一種碰撞角有限時(shí)間收斂的制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律采用終端滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)到達(dá)律，系統(tǒng)軌跡可以很快地從初始位置收斂到滑模表面。但是，滑模法會(huì)帶來(lái)抖振的問(wèn)題[17-18]，通常采用邊界層的方法來(lái)解決這一問(wèn)題[19-21]，代價(jià)是犧牲一定的控制精度。

本文根據(jù)滑?？刂坪妥赃m應(yīng)控制設(shè)計(jì)了一種滿足碰撞角約束的制導(dǎo)律。采用連續(xù)2階滑模的方法，有效地解決了抖振問(wèn)題；基于超扭曲算法設(shè)計(jì)2階滑模干擾觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)的不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，提高了系統(tǒng)魯棒性。本文所提控制律實(shí)質(zhì)是基于加權(quán)比例導(dǎo)引法，因此避免了剩余飛行時(shí)間計(jì)算的問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，所提算法能有效地克服滑?？刂浦谐Ｒ?jiàn)的抖振現(xiàn)象，同時(shí)能保證控制精度，以指定碰撞角完成攔截目標(biāo)的任務(wù)。

1 預(yù)備概念

1.1 問(wèn)題描述

導(dǎo)彈制導(dǎo)是一個(gè)三自由度控制問(wèn)題，通過(guò)滾動(dòng)控制方式對(duì)橫向、側(cè)向和縱向機(jī)動(dòng)平面進(jìn)行解耦，就能把三自由度的制導(dǎo)問(wèn)題降階為二維平面問(wèn)題[22]。故假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)都為質(zhì)點(diǎn)，為簡(jiǎn)化制導(dǎo)問(wèn)題以便于應(yīng)用現(xiàn)有分析設(shè)計(jì)技術(shù)，假設(shè)移動(dòng)速度為常值且不考慮慣性因素，則二者之間可能的尋的接觸平面幾何可以用圖1描述。圖1中M和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)，γM和γT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度方位角，λ為L(zhǎng)OS角，r為導(dǎo)彈和目標(biāo)間的相對(duì)距離，vM和vT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度，aM和aT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度。假設(shè)aM和aT分別正交于vM和vT，則導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程在極坐標(biāo)系下可建立為

(1)

(2)

(3)

(4)

當(dāng)LOS角速率為0 rad/s時(shí)，可以取得成功的攔截[23]，此時(shí)可以得到

vTsin(γTf-λf)=vMsin(γMf-λf)，

(5)

式中：λf為碰撞時(shí)刻的LOS角；γTf與γMf分別為目標(biāo)速度方位角和導(dǎo)彈速度方位角在碰撞時(shí)刻的值。設(shè)θi為目標(biāo)速度矢量和導(dǎo)彈速度矢量在攔截時(shí)刻的夾角，λ*為期望的撞斷LOS角，根據(jù)θi、λ*及(5)式，可以得到以下引理。

引理1[24]對(duì)于一個(gè)帶碰撞角約束的指定目標(biāo)，總是存在一個(gè)獨(dú)一無(wú)二的終端LOS角。因此，碰撞角的控制可轉(zhuǎn)化為最終LOS角的控制。

1.2 LOS角誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

根據(jù)(1)式和(2)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

(6)

(7)

式中：aTraTsin(λ-γT)、aMraMsin(λ-γM)分別為目標(biāo)加速度和導(dǎo)彈加速度沿LOS的值；aTλaTcos(λ-λT)和aMλaMcos(λ-γM)分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈的加速度正交于LOS的值。

通常，沿著導(dǎo)彈速度方向的加速度在終端制導(dǎo)階段是不能被控制的，因此，輸入信號(hào)aM和LOS角λ之間的相對(duì)2階運(yùn)動(dòng)公式(見(jiàn)(7)式)可用于設(shè)計(jì)制導(dǎo)律。為了便于設(shè)計(jì)，可直接選擇αMλ作為虛擬控制輸入，則

aM=aMλ/cos(λ-γM).

(8)

(9)

(10)

式中：v(x0)為v(x)的初始值。

性質(zhì)1[26-27]對(duì)于任意的x∈R和0<ρ<1，|x|ρsgn(x)為非平滑但連續(xù)的函數(shù)。其中，sgn(·)為sign函數(shù)。

2 滿足碰撞角約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

aTλ≤ε，

(11)

(12)

式中：ε和L為已知常數(shù)。

(13)

為估計(jì)aTλ，設(shè)計(jì)輔助滑模變量

s=ζ-z，

(14)

(15)

式中：u為輔助變量z的控制輸入。

滑模變量s對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并將(14)式代入(15)式，得

(16)

引理3[29]考慮如下受控系統(tǒng)：

(17)

(18)

(19)

此時(shí)有

(20)

對(duì)于 (16) 式描述的不確定系統(tǒng)，基于引理3構(gòu)造如下控制器：

(21)

然而，現(xiàn)有的各類方法大都基于白天的視頻檢測(cè)，對(duì)于夜間視頻檢測(cè)的適用性并不高。對(duì)于粒子濾波算法而言，該算法對(duì)目標(biāo)的識(shí)別依賴于視頻圖像中的色彩直方圖信息，當(dāng)視頻中光線不足、被識(shí)別目標(biāo)和背景區(qū)分度不高時(shí)，粒子濾波方法的可靠性并不高。另外，人類視覺(jué)系統(tǒng)使用的HSI 色彩空間與視頻色彩直方圖所使用的RGB 空間不同，需要進(jìn)行有效地統(tǒng)一。

(22)

且收斂時(shí)間滿足

(23)

式中：s(0)為滑模變量s的初始值。為使s盡快收斂，可使z的初始值滿足z(0)=s(0).

2.2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

相比于線性超平面滑?？刂疲诜瞧娈惤K端滑模(NTSM)的制導(dǎo)律可以獲得更加優(yōu)越的控制性能，如更高的精度、更快的收斂速度等[30]，故本文采用NTSM設(shè)計(jì)滿足碰撞角約束的制導(dǎo)律，設(shè)計(jì)

(24)

式中：β、α為待設(shè)計(jì)參數(shù)，β>0，1<α<2.

(25)式對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，得

(25)

超扭曲算法是一種2階滑模算法，因其優(yōu)越特性在控制中被廣泛使用[31]。針對(duì)(25)式構(gòu)造超扭曲算法，進(jìn)而導(dǎo)出一種具有連續(xù)特性的制導(dǎo)律。

引理4[31]考慮如下超扭曲算法：

(26)

式中：x1、x2為狀態(tài)變量；k1、k2為待設(shè)計(jì)參數(shù)。則該算法是有限時(shí)間收斂的。

引理4的證明可參考文獻(xiàn)[32]。

令x1=s1，為構(gòu)造如 (26) 式所示的超扭曲算法，設(shè)計(jì)制導(dǎo)律[5]為

(27)

(28)

式中：設(shè)計(jì)參數(shù)滿足k3>0，k4>0，γ>2；u是(22)式對(duì)不確定項(xiàng)aTλ的估計(jì)。

將(27)式代入(25)式，得到

(29)

則

(30)

注意1由于(27)式的前兩項(xiàng)可以被重寫(xiě)為

(31)

注意2根據(jù)性質(zhì)1，本文所提出的制導(dǎo)律(27)式是連續(xù)的，因此能有效地避免抖振問(wèn)題。

3 穩(wěn)定性分析

由(23)式可知，(17)式將會(huì)在有限時(shí)間tr1時(shí)刻收斂，且 (17) 式在ttr1時(shí)(29)式可轉(zhuǎn)化為

(32)

引入一個(gè)新的狀態(tài)矢量[31]，

(33)

ξ對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

(34)

(35)

由于k3>0，k4>0，β>0，1<α<2，γ>2，容易證明A是赫爾維茲矩陣，故存在唯一的矩陣P=PT， 且P為下列代數(shù)李雅普諾夫方程的解

ATP+PA=-Q,

(36)

式中：Q=QT>0.

對(duì)于(34)式的穩(wěn)定性分析，考慮如下候選Lyapunuov函數(shù)：

V2=ξTPξ.

(37)

對(duì)(37)式進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)，并把(33)式、(34)式及(35)式代入，得到

(38)

(39)

(40)

(41)

一旦到達(dá)滑模面，從(24)式得出

(42)

可以容易證得系統(tǒng)(42)式是有限時(shí)間穩(wěn)定的[30]。

綜上所述，系統(tǒng)(33)式是穩(wěn)定的。

4 仿真研究

為驗(yàn)證所提算法的有效性，以實(shí)際的地對(duì)空導(dǎo)彈為研究對(duì)象[33]，進(jìn)行數(shù)值仿真。因?yàn)樗崴惴ㄡ槍?duì)二維攔截幾何設(shè)計(jì)，所以在此考慮縱向攔截平面的情況。

假設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從平臺(tái)上飛過(guò)，不考慮地球的旋轉(zhuǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式為

(43)

(44)

式中：T和D為作用在質(zhì)點(diǎn)(攔截器)上的推力和阻力；g為重力加速度；xM和yM為攔截器位置。氣動(dòng)阻力D可以建模為

(45)

(46)

式中：D0和Di分別為零升阻力和誘導(dǎo)阻力；CD0、K、Ar、e1、ρ、S和Q1分別為零升阻力系數(shù)、誘導(dǎo)阻力系數(shù)、展弦比、效率因數(shù)、大氣密度、特征面積、動(dòng)壓；m為攔截器質(zhì)量。零升阻力系數(shù)和誘導(dǎo)阻力系數(shù)可以定義為

(47)

(48)

式中：Ma為馬赫數(shù)，

(49)

RC為干空氣氣體常數(shù)，Tp表示海拔高度yM處的氣溫，

(50)

推力T隨時(shí)間變化的取值范圍為

(51)

攔截器質(zhì)量隨時(shí)間的變化情況為

(52)

式中：t為飛行時(shí)間(s)。

大氣密度ρ為海拔高度yM的函數(shù)，

(53)

特征面積S假設(shè)為1 m2.

考慮攔截器帶有1階加速度滯后時(shí)間τ：

(54)

式中：aC為側(cè)向加速度控制輸入信號(hào)，假設(shè)滯后時(shí)間τ為0.1 s.

為便于研究攔截器的飛行彈道和主要飛行特性，假設(shè)攔截器在整個(gè)飛行期間的任一瞬時(shí)都處于平衡狀態(tài)，則“瞬時(shí)平衡”下的攻角可定義為

(55)

cyαi為升力系數(shù)對(duì)攻角的導(dǎo)數(shù)。

末制導(dǎo)的初始條件為r=14 142，λ=45°，γM=45°，γT=180°，vM=500 m/s，vT=200 m/s，并設(shè)置如下4種情況對(duì)所提制導(dǎo)律進(jìn)行驗(yàn)證。

1) 目標(biāo)以圖2的加速度形式進(jìn)行機(jī)動(dòng)，期望的終端LOS角λ*分別為0°、40°、80°、100°.

2) 目標(biāo)以周期波形機(jī)動(dòng)，即aT=60sin(0.3t)m/s2，期望的終端LOS角λ*分別為0°、40°、80°、100°.

3) 為了驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性，設(shè)置對(duì)比試驗(yàn)，即與標(biāo)準(zhǔn)NTSM進(jìn)行對(duì)比。標(biāo)準(zhǔn)NTSM的制導(dǎo)律可以設(shè)計(jì)為

式中：參數(shù)α、β的設(shè)置同前；k5可設(shè)置為500. 數(shù)值仿真的初始條件不變，目標(biāo)作圓形機(jī)動(dòng)，即aT=20 m/s2，λ*=80.

4) 為驗(yàn)證滑模觀測(cè)器對(duì)噪聲的適應(yīng)能力，考慮LOS角存在測(cè)量噪聲的情形，且目標(biāo)以周期波形機(jī)動(dòng)。

制導(dǎo)律參數(shù)設(shè)置為β=1，α=1.1，k1=600，k2=500，γ=2.1. 情況1下仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3可見(jiàn)：情況1下導(dǎo)彈均能以指定LOS角完成攔截任務(wù)(見(jiàn)圖3(a)、圖3(d))，能較好地估計(jì)不確定項(xiàng)(見(jiàn)圖3(g))，僅在不確定項(xiàng)發(fā)生突變時(shí)有較大估計(jì)誤差，但能很快地收斂；根據(jù)圖3(b)可知，導(dǎo)彈加速度指令較為平滑，且滑模變量s1也沒(méi)有發(fā)生抖振現(xiàn)象。攻角在-10°～17°內(nèi)平滑變化如圖3(h)所示。由表1可知，不同碰撞角約束下LOS角誤差均能收斂到很小的數(shù)值，且脫靶量較小。同樣地，情況2條件下，導(dǎo)彈均能以指定LOS角完成攔截任務(wù)(見(jiàn)圖4(a)、圖4(d))，能很好地估計(jì)不確定項(xiàng)(見(jiàn)圖4(g))，導(dǎo)彈加速度指令平滑，滑模變量無(wú)抖振。由圖4(h)可知，攻角在-5°～15°內(nèi)平滑變化。由表2可知，目標(biāo)做波形機(jī)動(dòng)下本文所提算法依然能保證較小的脫靶量和LOS角誤差。情況3下仿真結(jié)果如圖5所示，雖然NTSM能以完成目標(biāo)攔截(見(jiàn)圖5(a))，但從圖5(b)可以看出，NTSM下導(dǎo)彈加速度指令在制導(dǎo)末時(shí)刻發(fā)生劇烈的震蕩現(xiàn)象，這對(duì)控制是不利的，因?yàn)閷?shí)際中的強(qiáng)抖振能激發(fā)其他未建模的非線性特性，會(huì)導(dǎo)致誤差無(wú)法收斂，且存在相當(dāng)大的LOS角誤差；由于側(cè)向加速度存在強(qiáng)烈抖振，這也在攻角上表現(xiàn)出來(lái)(見(jiàn)圖5(e))，顯然這對(duì)導(dǎo)彈的控制系統(tǒng)是不利的；而本文所提控制律能夠以平滑的加速度指令完成帶終端碰撞角約束的攔截任務(wù)。情況4仿真結(jié)果如圖6所示，當(dāng)LOS角存在高斯白噪聲(見(jiàn)圖6(c))時(shí)，2階滑模干擾觀測(cè)器仍能較好地估計(jì)目標(biāo)加速度(見(jiàn)圖6(d))。由于LOS角測(cè)量噪聲的影響，會(huì)在估計(jì)值上產(chǎn)生毛刺現(xiàn)象，但根據(jù)圖6(b)可知，導(dǎo)彈加速度指令依然較為平滑，且仍可完成攔截任務(wù)(見(jiàn)圖6(a))。由此可知，本文設(shè)計(jì)的2階滑模干擾觀測(cè)器對(duì)LOS角的測(cè)量噪聲有一定的適應(yīng)能力。

表1 情況1下制導(dǎo)仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)

表2 情況2下制導(dǎo)仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)

5 結(jié)論

本文基于2階連續(xù)滑模法設(shè)計(jì)了一種滿足終端碰撞角約束的制導(dǎo)律，并采用基于超扭曲算法的2階滑模干擾觀測(cè)器對(duì)不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。仿真結(jié)果表明，所提算法能有效地克服滑?？刂浦谐Ｒ?jiàn)的抖振現(xiàn)象，同時(shí)能保證控制精度，以指定碰撞角完成攔截目標(biāo)的任務(wù)。