多動(dòng)能攔截器協(xié)同制導(dǎo)規(guī)律的研究及仿真

王 飛,周愛美,王宇霄

(浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)大學(xué),浙江 東陽 322100)

0 引言

多攔截器協(xié)同作戰(zhàn)環(huán)境異常復(fù)雜,對制導(dǎo)規(guī)律提出了更高的要求。它要求攔截器不僅能攔截目標(biāo),還應(yīng)能配合其它攔截器,使攔截作戰(zhàn)效能最大化。到目前為止,國內(nèi)外對多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)環(huán)境中制導(dǎo)規(guī)律的研究,仍局限于固有的模式,即把導(dǎo)彈間的戰(zhàn)術(shù)級協(xié)同和單枚導(dǎo)彈的制導(dǎo)規(guī)律分開來研究。而對多導(dǎo)彈的協(xié)同制導(dǎo)規(guī)律的研究仍處于初步探索階段,目前尚未有相關(guān)研究報(bào)告公開發(fā)表。本文以多攔截器協(xié)同作戰(zhàn)為研究背景,將現(xiàn)代博弈理論與傳統(tǒng)導(dǎo)引規(guī)律相結(jié)合,主要開展多攔截器攔截彈道導(dǎo)彈目標(biāo)時(shí)的協(xié)同制導(dǎo)規(guī)律的研究。

1 模型研究

1.1 動(dòng)能攔截器作戰(zhàn)過程描述

典型的動(dòng)能攔截器攔截戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈(tactical ballistic missiles,TBM)主要采用直接碰撞動(dòng)能殺傷方式。即在地面制導(dǎo)控制系統(tǒng)導(dǎo)引下,攔截彈先到達(dá)較高的預(yù)定空域,并具有很大的速度；接著,位于攔截彈前端的動(dòng)能攔截器分離出來,由其頭部紅外成像導(dǎo)引頭實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的精確探測；最后,動(dòng)能攔截器利用姿控、軌控發(fā)動(dòng)機(jī)的直接側(cè)向力實(shí)現(xiàn)快速變軌和姿態(tài)調(diào)整,利用自身高速運(yùn)動(dòng)的巨大動(dòng)能直接碰撞摧毀目標(biāo)。圖1為動(dòng)能攔截器制導(dǎo)控制仿真結(jié)構(gòu)圖。

圖1 動(dòng)能攔截器制導(dǎo)控制仿真結(jié)構(gòu)圖

1.2 攔截問題的對策模型描述

在二維有界矩形環(huán)境(追蹤區(qū)域)中,假設(shè)有兩枚攔截器同時(shí)攔截目標(biāo),垂直平面內(nèi)交會(huì)情況如圖2所示。攔截器1 和攔截器2 分別記為M1和M2,目標(biāo)記為T,攔截器的速度分別為和,加速度分別為和,目標(biāo)的速度為,加速度為,攔截器到目標(biāo)的距離分別為和。

圖2 垂直平面內(nèi)交會(huì)示意圖

為了方便研究,對空間和時(shí)間進(jìn)行離散化。時(shí)間離散化后用1,2,…表示,并假定環(huán)境以及相互位置信息對于攔截器和目標(biāo)雙方均是已知的,在每個(gè)時(shí)刻由于目標(biāo)機(jī)動(dòng),攔截器也隨著同時(shí)機(jī)動(dòng),且只能執(zhí)行一次機(jī)動(dòng)。

由于攔截器的設(shè)計(jì)限制,加速度方向只能從垂直當(dāng)前速度的正負(fù)方向中選取,而且大小受限。即對于容許控制集,控制變量u 應(yīng)滿足

式中:為動(dòng)能攔截器的最大加速度。目標(biāo)被第枚攔截器攔截時(shí),應(yīng)滿足

式中:r ()為時(shí)刻第枚攔截器和目標(biāo)之間的距離；為脫靶量。即攔截器與目標(biāo)距離不大于指標(biāo)要求的脫靶量。

1.3 協(xié)同制導(dǎo)中博弈模型描述

將攔截器-目標(biāo)雙方的動(dòng)態(tài)攔截模型按時(shí)間離散化,轉(zhuǎn)化成具有兩個(gè)局中人(攔截器及目標(biāo))的離散動(dòng)態(tài)對策問題,每個(gè)時(shí)刻的動(dòng)作選擇問題轉(zhuǎn)化為矩陣對策的形式求解。因此,協(xié)同制導(dǎo)中博弈模型可以用3部分來描述:參與者集合,動(dòng)作集合,應(yīng)用性能評估函數(shù)。

參與者集合,即攔截問題中的所有攔截器以及目標(biāo)。將兩枚攔截器看作是一個(gè)合作的團(tuán)隊(duì),并假定它們具有集體理性,即在對抗中各攔截器并不是根據(jù)個(gè)體利益最大化進(jìn)行行為決策,而是追求集體利益最大化,可以看作是一個(gè)參與者。

動(dòng)作集合,是參與者在時(shí)刻所能完成的容許控制集。

應(yīng)用性能評估函數(shù)作為參與者的代價(jià)函數(shù),用于計(jì)算局勢的評估值并以此作為參與者的支付值。應(yīng)用性能評估主要包括攔截器與目標(biāo)距離的評估和攔截器對目標(biāo)的包圍態(tài)勢的評估兩部分。

攔截器的目的是形成一定的決策,成功攔截目標(biāo),使其支付值最大。目標(biāo)的目的是盡量逃離攔截器。兩個(gè)局中人的目的互相沖突,構(gòu)成一個(gè)兩人的零和矩陣對策。

1.4 代價(jià)函數(shù)

在時(shí)刻攔截器-目標(biāo)雙方各自采取了某種制導(dǎo)策略后,就形成一個(gè)局勢。為了衡量所形成局勢的好壞,引入應(yīng)用性能評估函數(shù)評估當(dāng)前全局環(huán)境對攔截器-目標(biāo)雙方的目的完成的貢獻(xiàn)程度。攔截器的目的是盡量攔截到目標(biāo),目標(biāo)的目的是盡量逃脫攔截器的攔截,可見攔截器與目標(biāo)的支付值是沖突的,完全相反的。因此攔截器與目標(biāo)之間的博弈可以看作是一種零和博弈,即()()0,其中(),()分別為攔截器與目標(biāo)的代價(jià)函數(shù)。

為了描述某個(gè)局勢對支付值的貢獻(xiàn)大小,要考慮兩個(gè)因素:距離影響因子r 和有效包圍因子r。

則定義攔截器的代價(jià)函數(shù)

式中:k 和k為代價(jià)函數(shù)系數(shù),且k +k=1；k=,其中為初始代價(jià)函數(shù)系數(shù),為衰減因子。

在剛開始攔截的時(shí)候可以將k設(shè)得較大,而k 較小,使攔截器更重視對目標(biāo)的包圍。隨著時(shí)間的變化,有效包圍因子r的重要性越來越小,而距離影響因子r 的重要性相應(yīng)提高。在攔截器對目標(biāo)形成一定包圍態(tài)勢后,主要以與目標(biāo)之間的距離作為策略選擇的依據(jù)。

距離影響因子r 是指攔截器在距離上對支付值的貢獻(xiàn)程度,顯然距離越近,則離目的的完成越近。因此,定義距離影響因子

式中:為攔截器個(gè)數(shù)；為初始時(shí)刻攔截器與目標(biāo)之間的距離；r ()為時(shí)刻第枚攔截器與目標(biāo)之間的距離。距離影響因子使攔截器趨向于選擇使其與目標(biāo)之間距離縮短的策略,體現(xiàn)的是攔截器的個(gè)體行為。

有效包圍因子r是用來衡量攔截器在方位上對目標(biāo)的協(xié)同攔截程度。攔截器對目標(biāo)構(gòu)成某種包圍態(tài)勢時(shí),可將其近似等效為以目標(biāo)T 為中心的一段圓弧。第枚攔截器阻擋的方向的集合,稱為該攔截器的可攻擊區(qū)域,記為θ。第枚攔截器的可攻擊區(qū)域如圖3所示。

圖3 第i枚攔截器的可攻擊區(qū)域示意圖

θ是以目標(biāo)為圓心,以第枚攔截器為中點(diǎn)的一段弧長為2d 的范圍,為簡單起見,設(shè)θ=π/2。因此,定義有效包圍因子

式中:為常數(shù)；sum{·}為所有攔截器可攻擊區(qū)域范圍的并集的大小。有效包圍系數(shù)鼓勵(lì)攔截器之間進(jìn)行合作,包圍目標(biāo),體現(xiàn)了攔截器之間的協(xié)作行為。

同理,因?yàn)閿r截器與目標(biāo)的支付值相互沖突,構(gòu)成的是零和博弈,因此目標(biāo)的代價(jià)函數(shù)()()。

2 協(xié)同制導(dǎo)規(guī)律及其解法

2.1 協(xié)同制導(dǎo)規(guī)律算法求解

在時(shí)刻,對某種局勢,根據(jù)1.4節(jié)的代價(jià)函數(shù)(性能評估函數(shù))公式可以計(jì)算得到攔截器的支付值。因此可以根據(jù)時(shí)刻對抗雙方各種可能的走步策略構(gòu)造攔截器支付矩陣

式中:h ()表示時(shí)刻目標(biāo)采取第種機(jī)動(dòng)策略,攔截器選擇第種機(jī)動(dòng)策略時(shí)攔截器的支付函數(shù)。

在攔截過程中,攔截器和目標(biāo)知道雙方的機(jī)動(dòng)能力,但不知道對方會(huì)具體選擇哪個(gè)機(jī)動(dòng)策略,因此,雙方都以避開較大不利為決策依據(jù)。這種情況下,可運(yùn)用“排除法”求出無鞍點(diǎn)矩陣對策的純策略解,這只是對策的滿意純策略解,但可直接指導(dǎo)策略的選取?！芭懦ā钡木唧w求解步驟為:

a)寫出攔截器的支付矩陣(),每行代表攔截器的一個(gè)策略,而每列代表目標(biāo)的一個(gè)策略；

b)在矩陣()中尋找最小的元素,將該元素所在的行劃去,然后在剩下的各行中尋找最小的元素,再將該元素所在的行劃去,依次進(jìn)行,直到剩下唯一的一行,即為攔截器將選擇的策略；

c)同理,在支付矩陣()中尋找最大的元素,將該元素所在的列劃去,然后在剩下的各列中尋找最大的元素,再將該元素所在的列劃去,依次進(jìn)行,直到剩下唯一的一列,即為目標(biāo)將選擇的最優(yōu)策略；

d)如果最小(最大)的元素,在若干行(列)中同時(shí)出現(xiàn),則比較這幾行(列)中次小(大)的元素,若還相等,則比較再次之的元素,直到能比出大小為止,再按步驟b)和步驟c)的標(biāo)記方法執(zhí)行；

e)最后必有一個(gè)元素沒有被劃去,則此元素的值便是對策的值,此元素對應(yīng)的局中人雙方的純策略便是對策的解；

f)對于某些特殊的支付矩陣,通過上述步驟可能找不到最小(大)值,就意味著對于局中人雙方來說,按照“排除法”的原則,每個(gè)純策略的不利程度是相同的,即取任意一行(列)都是可行的。

根據(jù)前面的分析,可以得到對策論框架下多枚攔截器攻擊問題的實(shí)時(shí)策略選擇算法。其形式化描述為:

a)初始化處理,給定各枚攔截器及目標(biāo)的初始位置；

b)結(jié)束條件判斷,根據(jù)前面的攔截定義判斷是否攔截到目標(biāo),如果是,則算法終止,否則繼續(xù)下一步；

c)策略生成,根據(jù)-1時(shí)刻攔截器和目標(biāo)的位置,生成時(shí)刻雙方的可行機(jī)動(dòng)策略；

d)策略評價(jià),根據(jù)步驟c)生成的各種機(jī)動(dòng)策略,分別計(jì)算相應(yīng)的支付值,得到攔截器的支付矩陣；

e)策略選擇,用“排除法”求解支付矩陣,得到雙方在時(shí)刻的最優(yōu)機(jī)動(dòng)策略；

f)策略執(zhí)行,執(zhí)行該機(jī)動(dòng)策略,并返回步驟b)。

2.2 攔截器飛行彈道的平滑處理

由于將時(shí)間進(jìn)行了離散化,使得直接得到的攔截器飛行軌跡是由一系列線段首尾相連而成的?？紤]到攔截器的轉(zhuǎn)彎半徑,這樣的彈道并不滿足攔截器的飛行條件,因此還需要對彈道進(jìn)行進(jìn)一步的平滑。

不失一般性,設(shè)根據(jù)制導(dǎo)規(guī)律得到的攔截器彈道的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)由3點(diǎn)構(gòu)成。ω,ω,ω分別為3點(diǎn)的位置向量,并定義相鄰兩點(diǎn)的單位向量d ,d 的公式為

式中:‖·‖表示范數(shù)運(yùn)算。

則兩向量d ,d 間的夾角

在的角平分線上以攔截器的最小轉(zhuǎn)彎半徑為半徑作圓,圓與ω-ω和ω-ω相切,有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)靠近ω的交點(diǎn)為。令

根據(jù)幾何關(guān)系可求得點(diǎn)的位置矢量

用()表示參數(shù)化后的點(diǎn)矢量

顯然(0)=ω,(1)=。這樣,根據(jù)需要選擇不同的,就能夠得到不同的平滑結(jié)果。攔截器彈道平滑示意圖如圖4所示。

圖4 攔截器彈道平滑示意圖

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 順軌攔截

(1)仿真想定1

假設(shè)有兩枚攔截器攔截彈道導(dǎo)彈目標(biāo),攔截器和目標(biāo)在水平面內(nèi)同向運(yùn)動(dòng),且只在水平面內(nèi)機(jī)動(dòng),攔截器機(jī)動(dòng)飛行到目標(biāo)軌道前,實(shí)現(xiàn)順軌攔截。目標(biāo)初始位置為(0,10 000)(單位為m,下同),沿著軸作勻速運(yùn)動(dòng),速度為1 000 m/s。攔截器1和攔截器2由同一載體發(fā)射,初始位置為(0,0),速度均為1 500 m/s。仿真時(shí)間固定步長Δ=0.1 s。分別對攔截器在不同衰減因子、不同初始代價(jià)函數(shù)系數(shù)情況下的順軌攔截軌跡進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 想定1不同衰減因子的攔截器順軌攔截軌跡(k0=0.6)

圖6 想定1不同初始代價(jià)函數(shù)系數(shù)的攔截器順軌攔截軌跡(u=0.7)

從圖5和圖6的仿真結(jié)果來看,在不同衰減因子、不同初始代價(jià)函數(shù)系數(shù)情況下,攔截器順軌攔截軌跡明顯不同。衰減因子和初始代價(jià)函數(shù)系數(shù)共同決定了攔截器對目標(biāo)的包圍程度,其取值越大,攔截器對目標(biāo)的包圍程度就完成得越好,而且彈道相對平滑,同時(shí)攔截時(shí)間隨之增大。

(2)仿真想定2

假設(shè)有兩枚攔截器攔截彈道導(dǎo)彈目標(biāo),攔截器和目標(biāo)在水平面內(nèi)同向運(yùn)動(dòng),且只在水平面內(nèi)機(jī)動(dòng),攔截器機(jī)動(dòng)飛行到目標(biāo)軌道前,實(shí)現(xiàn)順軌攔截。目標(biāo)初始位置為(0,10 000),沿著軸作勻速運(yùn)動(dòng),速度為1 000 m/s。攔截器1和攔截器2由不同載體發(fā)射,初始位置分別為(0,1 000)和(0,-1 000),速度均為1 500 m/s。仿真時(shí)間固定步長Δ=0.1 s。對攔截器在不同衰減因子、相同初始代價(jià)函數(shù)系數(shù)情況下的順軌攔截軌跡進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖7所示。

圖7 想定2不同衰減因子下攔截器的順軌攔截軌跡(k0=0.6)

仿真想定2的仿真環(huán)境與仿真想定1的區(qū)別在于,兩枚攔截器的發(fā)射初始位置不同,但是從圖7所示的仿真結(jié)果來看,只要兩枚攔截器能夠同時(shí)發(fā)射,依然可以進(jìn)行協(xié)同制導(dǎo)。在相同初始代價(jià)函數(shù)系數(shù)情況下,衰減因子越大,其包圍態(tài)勢越明顯。

3.2 逆軌攔截

(1)仿真想定1

假設(shè)有兩枚攔截器攔截彈道導(dǎo)彈目標(biāo),攔截器和目標(biāo)在水平面內(nèi)反向運(yùn)動(dòng),且只在水平面內(nèi)機(jī)動(dòng),攔截器機(jī)動(dòng)飛行到目標(biāo)軌道前,實(shí)現(xiàn)逆軌攔截。目標(biāo)初始位置為(0,10 000),沿著軸作勻速運(yùn)動(dòng),速度為1 000 m/s。攔截器1和攔截器2由同一載體發(fā)射,初始位置為(0,0),速度均為800 m/s。仿真時(shí)間固定步長Δ=0.1 s。對攔截器在不同衰減因子、相同初始代價(jià)函數(shù)系數(shù)情況下的逆軌攔截軌跡進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖8所示。

圖8 想定1不同衰減因子下攔截器的逆軌攔截軌跡(k0=0.6)

從仿真結(jié)果來看,在逆軌攔截的情況下,也可以進(jìn)行協(xié)同制導(dǎo)。在相同初始支付函數(shù)系數(shù)、不同衰減因子情況下,衰減因子越小,其包圍態(tài)勢越明顯。這一結(jié)論和順軌攔截正好相反。

(2)仿真想定2

假設(shè)有兩枚攔截器攔截彈道導(dǎo)彈目標(biāo),攔截器和目標(biāo)在水平面內(nèi)反向運(yùn)動(dòng),且只在水平面內(nèi)機(jī)動(dòng),攔截器機(jī)動(dòng)飛行到目標(biāo)軌道前,實(shí)現(xiàn)逆軌攔截。目標(biāo)初始位置為(0,10 000),沿著軸作勻速運(yùn)動(dòng),速度為1 000 m/s。攔截器1和攔截器2由不同載體發(fā)射,初始位置分別為(0,1 000)和(0,-1 000),速度均為800 m/s。仿真時(shí)間固定步長Δ=0.1 s。對攔截器在不同衰減因子、相同初始代價(jià)函數(shù)系數(shù)情況下的逆軌攔截軌跡進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖9所示。

圖9 想定2不同衰減因子下的攔截器逆軌攔截軌跡(k0=0.6)

仿真想定2的仿真環(huán)境與仿真想定1的區(qū)別在于,兩枚攔截器的發(fā)射初始位置不同,但是從圖9所示的仿真結(jié)果來看,只要兩枚攔截器能夠同時(shí)發(fā)射,依然可以進(jìn)行協(xié)同制導(dǎo)。在相同初始代價(jià)函數(shù)系數(shù)情況下,衰減因子越小,其包圍態(tài)勢越明顯。

從圖5～圖9的仿真結(jié)果來看,攔截器在飛行的初始階段更重視對目標(biāo)的包圍,隨著時(shí)間的變化,逐漸轉(zhuǎn)為以與目標(biāo)之間的距離作為制導(dǎo)策略選擇的主要依據(jù)。這是因?yàn)殡S著時(shí)間的變化,有效包圍系數(shù)越來越小,而距離影響系數(shù)則越來越大。

另外協(xié)同制導(dǎo)規(guī)律是在協(xié)同反導(dǎo)作戰(zhàn)體系作戰(zhàn)條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的,因?yàn)楦髅稊r截器需要指揮控制中心提供彼此的相互位置信息,衰減因子和初始代價(jià)函數(shù)系數(shù)的取值應(yīng)考慮攔截器之間通信距離的上限。

4 結(jié)論

本文以多攔截器協(xié)同反導(dǎo)作戰(zhàn)為研究背景,將現(xiàn)代博弈理論與傳統(tǒng)導(dǎo)引規(guī)律相結(jié)合,主要研究多枚攔截器攔截彈道導(dǎo)彈目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)規(guī)律。該制導(dǎo)規(guī)律有效結(jié)合了對策論的思想,在協(xié)同制導(dǎo)領(lǐng)域進(jìn)行了積極探索,但是它只適用于攔截器攔截勻速目標(biāo)或機(jī)動(dòng)能力較小的目標(biāo)的情況,且多以攔截器同時(shí)到達(dá)目標(biāo)位置為前提,若攔截器不能同時(shí)到達(dá)目標(biāo)位置,對目標(biāo)的包圍也就沒有意義了。因此,下一步要研究的問題是如何將本文的協(xié)同制導(dǎo)規(guī)律與攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)規(guī)律有效結(jié)合。