“思維表達型”數(shù)學課堂的構(gòu)建與實踐

林偉

[摘 要] “思維表達”型數(shù)學課堂基于學習過程中諸要素配置合理和諧的基礎(chǔ)，合理搭配各個學習過程中的要素，通過教師、學生、課堂之間的思維性對話產(chǎn)生互通，致力于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)，構(gòu)建高效課堂學習環(huán)境，實現(xiàn)從掌握與知識和能力到提升思維與智慧的轉(zhuǎn)向. 學生的學習從表層學習走向深度理解性高效學習，從而通過學習數(shù)學思維來改變生活行為，進而改變習慣，改變?nèi)烁?

[關(guān)鍵詞] 思維表達；課型；課堂；框架；實踐

“思維表達”型數(shù)學課堂的提出

課堂中的正式學習是培育和落實數(shù)學素養(yǎng)的主渠道，目前，課堂學習中存在著一些亟需面對和解決的問題.首先，學習過程中的師生關(guān)系及學習的內(nèi)容、學習方法，學習評價等諸要素之間搭配欠缺合理性，關(guān)系不融洽. 這主要體現(xiàn)在：學生的實際學習過程中，要么缺少或弱化了某一些要素；要么要素配置不適合學生的實際需要而生搬硬套. 其次，各要素之間的思維含量缺乏整體互通性，沒有形成良好的互為關(guān)照，學習者在學習后尚未形成既定達成的思維品質(zhì). 因此，基于學習和借鑒斯滕伯格思維教學理論、布魯姆掌握學習理論和建構(gòu)主義理論以及新課程理念，總結(jié)以往課堂教學改革實踐經(jīng)驗，筆者提出并探索了建設(shè)“思維表達”型數(shù)學課堂的構(gòu)想.

“思維表達”型數(shù)學課堂的內(nèi)涵

“思維表達”型課堂基于學習過程中諸要素配置合理和諧的基礎(chǔ)，合理搭配各個學習過程中的要素，通過教師、學生、課堂之間的思維性對話產(chǎn)生互通，致力于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)，構(gòu)建高效課堂學習環(huán)境，實現(xiàn)從掌握知識和能力到提升思維與智慧的轉(zhuǎn)向.

1. 概念闡述

“思維表達”型數(shù)學課堂是一種“師生共生”的課堂，教師精心設(shè)計貼近學生思維表達的問題情境，學生基于此情境展開學習和思考，其思維能力不斷地被提升，即思維的概括性、多維性、整體性、邏輯性、適應性和創(chuàng)新性等皆在此學習過程中被提升. 該課堂旨在為改變思維而教（學），學生的學習從表層學習走向深度理解性高效學習，從而通過學習數(shù)學思維來改變生活行為，進而改變習慣，改變?nèi)烁瘢m應復雜多變的未來時代.

2. 特征解讀

“思維表達”型數(shù)學課堂的基本特征體現(xiàn)為民主平等、現(xiàn)代開放、豐富多元、師生共學和卓越發(fā)展. 首先，“民主平等”指的是師生之間的關(guān)系是平等的，教師只是學生學習的引導者和參與者，通過與學生的交流互動來確立教學目標、選擇教學方式、采用教學評價、布置課堂作業(yè)等，學生在此過程中實現(xiàn)充分的參與感. 第二，“現(xiàn)代開放”即教學內(nèi)容、教學手段、教學環(huán)境等的開放. 教師需立足并超越教材，研究、挖掘教材，將教材內(nèi)容與現(xiàn)實生活相連接；根據(jù)“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的需要，教學內(nèi)容貼合學生實際，充分利用好教育信息技術(shù)；學生在課堂上進行正式學習，此外，需提供開放選擇的課下的拓展研究性課程. 第三，“豐富多元”即教學方式、學習方式和評價方式多元. 課堂形態(tài)多元化，采取多種方式來引導學生學、思、研、做和評，如：情境設(shè)計、問題牽引、活動體驗、交流展示、討論對話等；發(fā)展“自主、合作、探究”的學習方式，尊重學生的主體性地位，將 “學生自學、生生共學、師生共學和遠程共學”結(jié)合并統(tǒng)一；評價方式應重視過程性評價，方式多元化，堅持個體評價與小組評價相結(jié)合，定性評價與定量評價相結(jié)合. 第四，“師生共學”是指在課堂上教師作為“學習者”和學生一起學習，一起收獲并成長，以此實現(xiàn)師生共贏的課堂，挖掘課堂的最大價值. 最后，“卓越發(fā)展”是指“規(guī)范課堂—高效課堂—精品課堂”的發(fā)展過程，即要處理好傳承與發(fā)展、借鑒與創(chuàng)新、規(guī)范與自由的關(guān)系，在確保課堂全面轉(zhuǎn)型的基礎(chǔ)上，追求個性化的“卓越課堂”.

“思維表達”型數(shù)學課堂的實踐路徑

基于“思維表達”型數(shù)學課堂的基本內(nèi)涵特征，筆者探索并構(gòu)建出“思維表達”型數(shù)學課堂的實踐路徑，如圖1所示，該課堂實踐路徑主要有以下九個環(huán)節(jié)：第一，學生思維可視化有理有據(jù)表達；第二，呈現(xiàn)思維過程；第三，呈現(xiàn)思維方法；第四，換位思維，推測別人觀點的思維過程方法；第五，引導質(zhì)疑思維；第六，引爆創(chuàng)新思維；第七，闡述教師思維觀點；第八，形成優(yōu)化團體思維；最后，達成思維成果. 表達重心旨在培養(yǎng)學生有理有據(jù)、說有觀點的話；表達僅僅是思維暴露，觀點的質(zhì)疑補充、方法的創(chuàng)新、思維的優(yōu)化與提升等爭辯反饋才是思維課堂需要放大的地方. 其教育意義在于：通過改變思維來改變生活行為，進而改變習慣，改變?nèi)烁?

“思維表達”型數(shù)學課堂上學生具有充分的學習時間，明確的學習目標，主動學習狀態(tài)，集中的學習注意力，自覺的學習策略，自由選擇的學習內(nèi)容，高效的學習效果，愉悅的學習體驗. 與此同時，想要讓學生達到這樣的適切的體驗，對教師而言，在“思維表達”型數(shù)學課堂教師是學生的引導者、輔助者、共同參與學習的學習者.當學習時間不充分，教師提高教學效率，為學生提供更多的學習時間；目標不明晰時，教師及時指明方向，引導學生朝著既定目標邁進；狀態(tài)不主動時，教師開導激活學習動機，激發(fā)學生的學習參與熱情；氛圍不專注時，教師倡導營造課境，讓學生更加關(guān)注學習和思考；策略不自覺時，教師適當指導滲透學法，給學生提供思路參考；內(nèi)容不開放時，教師誘導鼓勵探究，開發(fā)更多潛在資源；效果不理想時，教師疏導開掘潛能，挖掘?qū)W生的多種可能性；體驗不愉悅時，教師化導賞識人格，以情動學.

“思維表達”型數(shù)學課堂教學的實踐探索

思維表達型數(shù)學課基于現(xiàn)代教學發(fā)展的方向和中學生認知心理特點，探索學生如何在教師的引導下通過自主或合作探究的方式了解公式的生成過程， 對于相關(guān)知識和概念的掌握也更為牢固，對如何使更多的學生積極參與探究、形成對數(shù)學學習的興趣以及如何進一步提高教學針對性等問題給予關(guān)注. 筆者以“三角函數(shù)的誘導公式”作為切入點，旨在探索“思維表達”型數(shù)學課堂模式在課堂教學中的實際運用.

學習“三角函數(shù)的誘導公式”之前，學生已經(jīng)學習過的三角函數(shù)定義、單位圓中的三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)關(guān)系式等知識，本節(jié)課是對這些知識的延伸和拓展，同時也是推導誘導公式的基礎(chǔ)，在三角函數(shù)這一章中發(fā)揮著承上啟下的重要作用. 因此，本節(jié)課的教學目標共有五個. 第一，幫助學生理解相關(guān)知識，并在此基礎(chǔ)上將誘導公式記熟；第二，能夠獨立運用誘導公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，同時具備簡單的三角變換能力；第三，在教學過程中，使學生經(jīng)歷從幾何特征（即終邊的對稱）到發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系（即誘導公式）的探索過程；第四，使學生在推導和運用公式的過程中體會到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法；第五，使學生形成對三角函數(shù)和周期性變化間內(nèi)在聯(lián)系的初步體會.

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引導學生思維

1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學生思維可視化

第一個環(huán)節(jié)，即創(chuàng)設(shè)問題情境環(huán)節(jié)，筆者將三角函數(shù)誘導公式的學習放在了“建構(gòu)和研究刻畫周期性的數(shù)學模型”這個情境問題下進行，以此向?qū)W生展現(xiàn)三角函數(shù)的本質(zhì)——周期性函數(shù).創(chuàng)設(shè)問題情境的設(shè)計如下所示：

同學們，在之前的學習中， 我們已經(jīng)了解了任意角三角函數(shù)的相關(guān)概念.簡單地講，三角函數(shù)，就是以圓周運動為原型、以刻畫周期性運動為目標而構(gòu)建的數(shù)學模型. 那么，周期性是如何體現(xiàn)在三角函數(shù)概念之中的呢？下面就讓我們帶著這樣的疑問開始本節(jié)課的學習.

第二個環(huán)節(jié)，本環(huán)節(jié)分為三個知識點學習，遵循“提出問題—解決問題—小結(jié)—應用”這樣的邏輯展開學習.

2. 闡述教師思維觀點，引導學生質(zhì)疑思維

第一個知識點是引導學生探究新知識，新課標強調(diào)，數(shù)學教育應重視知識的發(fā)生和發(fā)展，考慮到三角函數(shù)值取決于角的終邊位置，在課堂教學中從終邊位置的關(guān)系提出問題，讓學生在思考和解決問題的過程中能夠通過幾何來更加直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，獲得將角的終邊所具有的特定位置轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的學習體驗， 最終將三角函數(shù)的周期性牢牢記在心中. 第二個知識點是由終邊重合開始，逐步向終邊關(guān)于原點對稱進行過渡，這種做法與學生的認知規(guī)律相符，能夠幫助他們對正切函數(shù)的周期性形成更好的體會. 第三個知識點，重點突出“以問題為中心”，學生對公式進行自主探究，教師巡視指導，最后展示學生的思路和成果. 這種做法可以幫助培養(yǎng)學生勇于探索的精神及自主學習的能力，在突出學生主體地位的同時讓他們體會轉(zhuǎn)化這一數(shù)學思想，加深對公式間聯(lián)系的印象. 最后，揭示課題，筆者將這幾組公式稱為誘導公式，它們可以揭示出終邊存在某種對稱關(guān)系的兩個角在三角函數(shù)值方面的關(guān)系.

（二）問題牽引，讓學生展示思維

1. 終邊相同角的三角函數(shù)

（1）活動體驗，呈現(xiàn)學生思維過程

向?qū)W生展示課件，已知任意角α，觀察角α的終邊繞原點做逆時針旋轉(zhuǎn)的全過程.

問題1：在這個過程中，有哪些東西會周而復始地反復出現(xiàn)呢？

（2）活動體驗，呈現(xiàn)學生思維方法

視學生的實際回答提出以下提示性問題.

問題1-1：角的終邊位置會不會重復出現(xiàn)？三角函數(shù)值會不會重復出現(xiàn)？

問題1-2：角的終邊位置會在什么時候重復出現(xiàn)？三角函數(shù)值會在什么時候重復出現(xiàn)？

要求學生通過數(shù)學等式將分析所得結(jié)論表示出來：

讓學生回到定義來解決問題.

（3）討論對話，達成學生思維成果

通過對問題解決思路的分析與回顧，我們可以得到下面的框圖：

（4）應用訓練，引爆學生創(chuàng)新思維

在出示習題的同時，應向?qū)W生指出：通過公式，可以將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)非常熟悉的0～2π角三角函數(shù)值.

（1）活動體驗，呈現(xiàn)學生思維過程

問題2：如果角α終邊繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)半周，那么它的三角函數(shù)值是否會重復出現(xiàn)？

（2）活動體驗，呈現(xiàn)學生思維方法

問題2-1：角α與角β的終邊有怎樣的位置關(guān)系？

問題2-2：角α與角β終邊上點的坐標有怎樣的關(guān)系？

經(jīng)過討論可以得出：

（3）討論對話，達成學生思維成果

通過回顧問題的解決思路，我們可以得到下面的框圖：

（4）應用訓練，引爆學生創(chuàng)新思維

在出示習題的同時，應向?qū)W生指出：通過公式，我們掌握了角α與角π+α的關(guān)系，由此我們可以將π～2π角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0～π的三角函數(shù).

設(shè)計意圖：由終邊重合開始，逐步向終邊關(guān)于原點對稱進行過渡，這種做法與學生的認知規(guī)律相符，能夠幫助他們對正切函數(shù)的周期性形成更好的體會.

3. 角α與-α的三角函數(shù)關(guān)系

（1）活動體驗，呈現(xiàn)學生思維過程

學生探究活動：值得我們研究的終邊特殊位置關(guān)系還有哪些？

問題3：角α與角β的終邊關(guān)于x軸對稱，則它們的三角函數(shù)有怎樣的關(guān)系？如果關(guān)于y軸對稱，它們的三角函數(shù)又有怎樣的關(guān)系？

（2）活動體驗，呈現(xiàn)學生思維方法

學生以小組為單位，在預先準備好的單位圓中進行研究和交流.

（四）回顧反思，達成思維成果

本環(huán)節(jié)設(shè)計課堂回顧部分的目的是引導學生對本節(jié)課進行歸納和總結(jié)，形成對誘導公式本質(zhì)和作用的進一步認識，以此幫助學生形成知識、方法網(wǎng)絡(luò)，從而幫助學生鞏固在本節(jié)課所學知識，訓練基本方法和技能，使學生形成良好的學習習慣. 習題采用由淺入深的梯度布置，目的是讓不同能力的學生都有所發(fā)展，這也是因材施教原則的體現(xiàn).

1. 課堂回顧

問題：從思想方法、知識點的層面對本節(jié)課做一個回顧.

三角函數(shù)誘導公式的推導：從本質(zhì)上來看，公式就是將終邊對稱的圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的代數(shù)關(guān)系，其思路可簡化為：角的數(shù)量關(guān)系→終邊位置的對稱關(guān)系→終邊上點的坐標關(guān)系→三角函數(shù)的關(guān)系.

三角函數(shù)誘導公式的運用：包括求值、化簡等.

數(shù)學思想方法：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸.

2. 作業(yè)布置

本節(jié)課的探究活動是從學生最近所學知識出發(fā)，通過“思維表達”型數(shù)學課堂的教學模式的具現(xiàn)化，即創(chuàng)設(shè)問題情境→引導學生自主探究→構(gòu)建數(shù)學知識理論→實際運用→回顧反思，幫助學生自主開展探究活動，教師在其中發(fā)揮引導和輔助的作用，與學生共同實現(xiàn)教學目標，實現(xiàn)“師生共學”的和諧學習氛圍. 在學生原有認知結(jié)構(gòu)的視角提出全新的問題，即在建構(gòu)和研究刻畫周期性數(shù)學模型這個大背景下進行誘導公式的學習，不僅符合學生的認知規(guī)律，而且也充分尊重學生的主體地位. 在教師的幫助和引導下，學生以小組形式開展探究活動，在輕松愉悅的良好氛圍下，類比聯(lián)想、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法在小組內(nèi)部得到充分交流，既有利于彌補學生知識或理念的局限性，又能幫助他們更好地掌握三角函數(shù)誘導公式，體現(xiàn)了對知識生成的重視，提高了學生的數(shù)學素養(yǎng).

結(jié)速語

筆者經(jīng)過多年的探索和實踐，探索出“思維表達”型課堂，即由教師主導的“先教后學”思維轉(zhuǎn)向師生合學的“先學后導”思維；由單一的新授課轉(zhuǎn)向多元的課型體系；由傳遞知識為主的教學轉(zhuǎn)向問題導學為主的學習. 通過學習中的數(shù)學思維的培養(yǎng)，引導學生養(yǎng)成基本的數(shù)學素養(yǎng)和感知數(shù)學文化，享受數(shù)學魅力，實現(xiàn)學生的數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)和形成，從思維上逐漸養(yǎng)成良好習慣和人格.