國際視野下的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育——“第八屆數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”綜述

孫丹丹，岳增成，沈中宇，栗小妮

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國際視野下的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育——“第八屆數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”綜述

孫丹丹1，岳增成1，沈中宇1，栗小妮2

（1．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241；2．華東師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，上海 200062）

第八屆數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)于2018年7月20—24日在挪威奧斯陸城市大學(xué)舉行．此次會議共設(shè)6場大會報(bào)告，一場大會專題討論，20場工作坊，52場口頭報(bào)告，一場展覽會．報(bào)告的主題有：教育取向的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育史、HPM基礎(chǔ)理論探討、教學(xué)實(shí)踐與課例開發(fā)、HPM與教師專業(yè)發(fā)展、HPM與學(xué)生學(xué)習(xí)、HPM與教科書、HPM與跨學(xué)科視角等．從中可總結(jié)出此次國際HPM會議研究有如下特點(diǎn)：著力歷史研究，聚焦實(shí)踐應(yīng)用；立足本體知識，細(xì)化研究主題；重視信息技術(shù)，強(qiáng)調(diào)學(xué)科聯(lián)系；夯實(shí)理論基礎(chǔ)，拓展研究方法．這對今后可關(guān)注的HPM研究路徑，HPM研究主題，如何借力其它領(lǐng)域研究成果，如何更好地處理HPM實(shí)踐與研究的關(guān)系等問題有重要啟示．

ESU-8；HPM；特點(diǎn)；啟示

“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”（European Summer University on the History and Epistemology in Mathe- matics Education，簡稱 ESU）是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系（簡稱HPM）國際研究小組最重要的活動之一，每4年召開一次．第八屆“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)（簡稱ESU-8）于2018年7月20—24日在挪威奧斯陸城市大學(xué)舉行．曾任HPM國際研究小組主席的Constantinos Tzanakis、EvelyIle Barbin 及奧斯陸城市大學(xué)的Bj?rn Smestad等組織了此次會議．

在中國，自2005年第一屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研討會召開以來，越來越多的一線教師及研究者關(guān)注到了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的相關(guān)研究也日益增多[1]，但毫無疑問仍然存在很大的發(fā)展空間，國際HPM研究起步較早，至少可以追溯到20世紀(jì)70年代，很多研究可以給中國學(xué)者新的啟示，打開新的視野．鑒于此，國際重要HPM會議后一般都會有研究對其進(jìn)行分析闡述[2-3]，這里將對剛剛落幕的ESU-8的報(bào)告內(nèi)容進(jìn)行綜述和分析，試圖回答以下問題：ESU-8的報(bào)告涉及哪些研究內(nèi)容？有何特點(diǎn)？對中國HPM研究與HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐有何啟示？

1 ESU-8基本情況概述

1.1 ESU的歷史

早在20世紀(jì)80年代初，法國數(shù)學(xué)教育學(xué)會就發(fā)起并舉辦了“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論暑期大學(xué)”，幾次會議之后，法國舉辦的暑期大學(xué)的影響力逐漸擴(kuò)大到整個歐洲．1993年，在法國的蒙彼利埃舉辦了第一屆“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”，吸引了來自全球29個國家的學(xué)者積極參與，其中歐洲以外的國家有12個[4]．自此之后，“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”雖然名字中冠有“歐洲”，但已經(jīng)變?yōu)閲H性HPM大會，約每隔3年舉辦一次，前5次會議時(shí)間分別為1993、1996、1999、2004及2007年．由于HPM國際研究小組每4年舉行一次HPM衛(wèi)星會議，為了更合理地利用兩次國際HPM大會來促進(jìn)學(xué)術(shù)發(fā)展與交流，自2010年起，ESU改為每4年舉辦一次，與HPM衛(wèi)星會議交錯，使得每隔兩年至少有一次主要的HPM國際大會召開．

1.2 ESU中的認(rèn)識論

“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”這個名字起源于法國，自1975年法國數(shù)學(xué)教育學(xué)會成立以來，他們就把歷史和認(rèn)識論聯(lián)系在一起，并用于會議名稱、書籍名稱等．“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”中的“認(rèn)識論”含義為何呢？該詞約于19和20世紀(jì)之交引入，至少包含以下4層含義．

（1）20世紀(jì)初期，“認(rèn)識論”與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題相關(guān)，具體地，與集合理論的矛盾相關(guān)，可以稱之為一種“邏輯認(rèn)識論”，這個含義可以在今天的哲學(xué)著作中找到；（2）20世紀(jì)中期，以法國的加斯東·巴什拉（Gaston Bachelard，1884—1962）為代表的哲學(xué)家提出了“歷史認(rèn)識論”，也即從歷史的角度分析科學(xué)概念和理論的建構(gòu)；（3）同樣是在20世紀(jì)中期，心理學(xué)家皮亞杰（Jean Piaget，1896—1980）提出了“發(fā)生學(xué)認(rèn)識論”以研究兒童的數(shù)學(xué)建構(gòu)，其中用到了結(jié)構(gòu)主義的觀念；（4）荷蘭數(shù)學(xué)家漢斯·弗賴登塔爾（HansFreudenthal，1905—1990）還提出了一種“現(xiàn)象學(xué)認(rèn)識論”，也使用了歷史．

“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”中的“認(rèn)識論”主要是指（2）中的“歷史認(rèn)識論”，尤其強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識建構(gòu)中的問題、錯誤、猜想及“認(rèn)識論斷裂”這個概念的作用．

1.3 ESU-8的目標(biāo)及理念

ESU主要致力于：（1）為基于歷史、認(rèn)識論和文化視角進(jìn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)研究提供展示平臺，尤其在課堂實(shí)踐方面；（2）給數(shù)學(xué)教師、教育工作者、研究者提供機(jī)會來分享與此視角有關(guān)的教學(xué)思想和課堂實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)；（3）增進(jìn)全世界數(shù)學(xué)教師與HPM研究者之間的合作．

ESU嘗試揭示數(shù)學(xué)的以下面向：（1）除了被打磨好的數(shù)學(xué)知識外，“做數(shù)學(xué)的過程”同等重要，尤其從教學(xué)的視角來看；（2）數(shù)學(xué)知識的意義的確定，不僅與那些使知識成為演繹系統(tǒng)的理論相關(guān)，而且與促使或可能促使知識產(chǎn)生的過程相關(guān)，后者對數(shù)學(xué)知識的理解不可或缺；（3）學(xué)數(shù)學(xué)包括對潛在動機(jī)、意義建構(gòu)及反思過程的理解，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該給學(xué)習(xí)者“做數(shù)學(xué)”的機(jī)會；（4）將數(shù)學(xué)視為智力產(chǎn)物的邏輯建構(gòu)及將數(shù)學(xué)視為知識生產(chǎn)的過程都應(yīng)該是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心．

基于此，強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中整合歷史及認(rèn)識論便是展現(xiàn)“生成中的數(shù)學(xué)”的一種自然方式，這會促進(jìn)學(xué)生更好地理解某些數(shù)學(xué)知識以及作為一門學(xué)科，數(shù)學(xué)到底是什么．

1.4 ESU-8的主題

縱向來看，ESU-8涉及各個階段的教育，從小學(xué)到大學(xué)，包括在職教師培訓(xùn)．橫向來說，此次會議主要圍繞以下6個主題展開：（1）在數(shù)學(xué)教育中整合數(shù)學(xué)史及認(rèn)識論的理論及概念框架；（2）學(xué)生及教師數(shù)學(xué)教育中的歷史及認(rèn)識論：課程、科目、教科書及各種教學(xué)材料——它們的設(shè)計(jì)、實(shí)施及評價(jià)；（3）數(shù)學(xué)教學(xué)中的原始素材；（4）數(shù)學(xué)及其與科學(xué)、技術(shù)和藝術(shù)的關(guān)系：與跨學(xué)科教學(xué)有關(guān)的歷史問題及社會文化面向；（5）數(shù)學(xué)教育史；（6）北歐國家的數(shù)學(xué)史．

2 ESU-8會議內(nèi)容

該屆會議參會代表包括來自法國、意大利、美國、中國等28個國家和地區(qū)的112位數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育專家、學(xué)者，以及中小學(xué)數(shù)學(xué)教師，具體國家和地區(qū)分布如圖1所示．會議共設(shè)大會報(bào)告6場，大會專題討論一場，兩小時(shí)工作坊8場，1.5小時(shí)工作坊12場，30分鐘口頭報(bào)告50場，15分鐘簡短口頭報(bào)告兩場及展覽會一場．

圖1 參會人員國家和地區(qū)分布

2.1 大會報(bào)告

ESU-8共安排了6場一小時(shí)大會報(bào)告，分屬6個主題．

來自德國的Hans Niels Jahnke做了第一場大會報(bào)告，題為“詮釋學(xué)與‘科學(xué)為什么可能’的問題”，分屬主題1．匯報(bào)圍繞問題“閱讀如何改變文本及讀者？”展開，Jahnke首先介紹并分析了漢斯-格奧爾格·加達(dá)默爾（Hans-Georg Gadamer，1900—2002）的詮釋學(xué)理論；然后以此為支撐將對問題的關(guān)注點(diǎn)放在了文本閱讀中的“偏見”，也可以理解為“知識背景”，主要包括兩個論點(diǎn)：（1）讀者對文本的理解依賴其知識背景，（2）一份文本的讀者所做的新解釋可以加深人們對于文本的理解，對于文本的理解是所有現(xiàn)存解釋之“和”；最后Jahnke以學(xué)生及其他兩位讀者對于希臘天文學(xué)著作的閱讀為例，分析了他們對閱讀材料的不同興趣所在及共同點(diǎn)．

德國學(xué)者Ingo Witzke做了題為“關(guān)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識論信念——對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的挑戰(zhàn)和機(jī)遇：從歷史到未來”的大會報(bào)告，分屬主題2．Witzke首先指出了一個數(shù)學(xué)教育中所面臨的挑戰(zhàn)：中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的巨大差距；然后提出了信念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的決定性作用，并提出了一個包括兩種不同數(shù)學(xué)信念的分析框架——經(jīng)驗(yàn)具體的數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)、正式抽象的數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)；最后指出在認(rèn)識論信念方面，回顧數(shù)學(xué)史可以為中學(xué)教育和職前教師教育中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程提供支持．

來自法國的Frédéric Métin所做大會報(bào)告題為“在數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用歷史，從幼兒園至教師培訓(xùn)：文字及人工制品”，分屬主題3．Métin首先介紹了背景，多年來，法國數(shù)學(xué)教育研究團(tuán)隊(duì)就嘗試在數(shù)學(xué)課堂中使用原始素材，一般而言，對原始素材的使用都集中于文本上，接著提出疑問，對于小學(xué)怎么辦？在小學(xué)，很多學(xué)生并不會閱讀；然后引出主題，探究在課堂中實(shí)施歷史素材的若干方法，包括各種圖片及實(shí)物，比如拼圖、用實(shí)物輔助計(jì)算等，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行具體闡述．

英國學(xué)者Snezana Lawrence做了題為“數(shù)學(xué)教育的藝術(shù)與建筑——一項(xiàng)關(guān)于隱喻的研究”的大會報(bào)告，分屬主題4．報(bào)告指出數(shù)學(xué)常被主流媒體描述為“詩意的”，但一項(xiàng)調(diào)查表明最常被英國青少年用來描繪數(shù)學(xué)的兩個詞卻是“枯燥的”和“不相關(guān)的”．Lawrence通過將對數(shù)學(xué)的隱喻置于歷史背景中進(jìn)行分析來探討這兩種相反的觀點(diǎn)，他還通過歷史中的跨學(xué)科的例子來闡述這些隱喻，以描繪出一幅數(shù)學(xué)的畫卷．最后作者提出疑問：我們能否設(shè)計(jì)出連結(jié)這兩種截然不同的觀點(diǎn)的橋梁？如果可以，這對數(shù)學(xué)教育有何啟示？

來自意大利的Marta Menghini所做大會報(bào)告題為“幾何教學(xué)中平面幾何與立體幾何的融合：教科書、目標(biāo)及討論”，分屬主題5．報(bào)告介紹了平面幾何與立體幾何融合的歷史淵源及這種融合對學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的好處，并從多本教科書中取例來討論平面幾何與立體幾何融合的方法論問題．

分屬主題6“北歐國家數(shù)學(xué)史”的大會報(bào)告是西挪威大學(xué)Andreas Christiansen的“第一批挪威數(shù)學(xué)教科書——一個獨(dú)立和爭議的故事”．他介紹了第一批挪威數(shù)學(xué)教科書的作者伯恩特·邁克爾·霍姆伯（Bernt Michael Holmboe，1795—1850）及成書背景，這些教科書在當(dāng)時(shí)受到了很大爭議．Christiansen試著從成書的歷史時(shí)期及政治和社會背景去理解這些教科書，同時(shí)闡述了諸如教科書的靈感從何而來、今天又能從這些教科書中學(xué)到什么等問題．

2.2 專題討論

大會設(shè)有一場專題討論，參與討論的主要有4位學(xué)者，分別來自意大利、法國、美國和比利時(shí)．4位學(xué)者分別闡述觀點(diǎn)，并與與會者進(jìn)行討論和互動，引發(fā)與會者極大的關(guān)注和思考．此專題分屬主題2，主要圍繞“歷史、認(rèn)識論和數(shù)學(xué)教學(xué)：一種充滿挑戰(zhàn)的關(guān)系”展開．4位學(xué)者具體聚焦于以下幾個關(guān)注點(diǎn)：教師可能缺乏的知識以及由此造成的意識的缺乏；學(xué)校中接受創(chuàng)新型實(shí)踐存在的挑戰(zhàn)；教學(xué)安排中教師感覺到的時(shí)間不足；尋找足夠而適當(dāng)?shù)牟牧系睦щy性．討論中，4位學(xué)者分別向參會者介紹了圍繞以上幾個問題在自己國家展開的相關(guān)調(diào)查，使得與會者對國際數(shù)學(xué)教師接受過的數(shù)學(xué)史培訓(xùn)課程，對認(rèn)識論的了解，對數(shù)學(xué)史的掌握，在課堂中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的情況有宏觀的了解．值得一提的是中國大陸研究者岳增成在專題討論會上向國際學(xué)者介紹了中國的有關(guān)調(diào)查結(jié)果，使專題討論具有了東方的視角，增加了專題討論的多樣性．

2.3 工作坊

歷時(shí)5天的大會共開設(shè)了20場不同規(guī)格的工作坊，其中，兩小時(shí)工作坊8場，1.5小時(shí)工作坊12場，兩小時(shí)的工作坊圍繞歷史或認(rèn)識論材料展開，1.5小時(shí)的工作坊圍繞融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)材料展開．工作坊主要圍繞主題1—4展開，在相同時(shí)間多場不同主題的工作坊會同時(shí)進(jìn)行，與會者可以自由選擇自己感興趣的主題．

工作坊的組織者會提前準(zhǔn)備好歷史、認(rèn)識論以及教學(xué)法的相關(guān)素材，并設(shè)計(jì)好與工作坊參與者的互動活動．工作坊中報(bào)告人一般會首先介紹一下研究背景，然后帶領(lǐng)參與者一起閱讀原始文獻(xiàn)、研究文獻(xiàn)、課堂講義等．參與者自行分組，針對相關(guān)主題進(jìn)行討論和思考．有些研究已經(jīng)有一些實(shí)證反饋數(shù)據(jù)，報(bào)告人會對自己研究的實(shí)證數(shù)據(jù)進(jìn)行介紹，并邀請工作坊參與者對研究展開深入思考．這樣的學(xué)習(xí)交流形式使得參會者可以深度參與，最大程度地了解報(bào)告人在相關(guān)主題的實(shí)踐和研究．表1是每場工作坊的具體討論主題．

表1 工作坊統(tǒng)計(jì)

注：工作坊的實(shí)際組織者可能不止一人，由于篇幅所限，此處僅列第一組織者．

工作坊1以20世紀(jì)法國著名哲學(xué)家伊曼努爾·列維納斯（Emmanuel Levinas，1906—1995）的思想為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究提供理論支持．工作坊3嘗試以話劇的形式將圍繞歷史人物發(fā)生的精彩事件帶入課堂．工作坊4是唯一一個中國學(xué)者組織的工作坊，向世界HPM研究者展示了在中國獨(dú)特的教研系統(tǒng)背景中，如何通過HPM課例的開發(fā)促進(jìn)中小學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展．工作坊5和10同屬一個大的研究項(xiàng)目，該項(xiàng)目基于以下假設(shè)：從經(jīng)驗(yàn)—具體的到正式—抽象的數(shù)學(xué)信念系統(tǒng)的改變是中學(xué)到大學(xué)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵障礙，數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以支持學(xué)生更好地處理這種轉(zhuǎn)變過程．基于這種假設(shè)，兩個工作坊分別以概率和幾何為主題，讓學(xué)生學(xué)習(xí)兩個主題的相關(guān)歷史，以支持其數(shù)學(xué)信念的轉(zhuǎn)化．工作坊6、7、9及11與數(shù)學(xué)史融入教學(xué)實(shí)踐緊密相關(guān)，其中，工作坊6探究如何讓牟合方蓋在15~18歲學(xué)生的課堂中發(fā)揮積極作用實(shí)現(xiàn)多元目標(biāo)，工作坊7和9分別嘗試在小學(xué)教學(xué)中運(yùn)用算板、算籌和算盤進(jìn)行十進(jìn)制計(jì)數(shù)及加減運(yùn)算技巧，工作坊11則借鑒了歐拉（Leonhard Euler，1707—1783）對于微分的研究視角進(jìn)行導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)．工作坊12介紹了法國數(shù)學(xué)教育及數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的相關(guān)網(wǎng)站及檢索方法．工作坊14對有序域及其歷史進(jìn)行了考察，分析了幾何原本及歐拉的相關(guān)原始素材，特別關(guān)注了數(shù)學(xué)中定義的作用．工作坊16對學(xué)生如何處理原始素材進(jìn)行研究，呈現(xiàn)了蘇格拉底（Socrates，469 BC—399 BC）通過問題引導(dǎo)一個小男孩建構(gòu)出等于給定正方形兩倍面積的正方形的對話，考察學(xué)生在理解這樣的素材時(shí)經(jīng)歷了怎樣的過程．工作坊17和20分別探究了防御堡壘設(shè)計(jì)和二戰(zhàn)期間一次軍事襲擊中的數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)建模的融合．工作坊19利用一種北美當(dāng)?shù)氐奈幕閬韺W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心．工作坊18鼓勵參與者積極建構(gòu)對于數(shù)學(xué)實(shí)際的或虛擬的描述，以隱喻的方式闡明數(shù)學(xué)家做了什么．此次會議的官方語言為英語和法語，報(bào)告2、8和13是用法語報(bào)告的，大概研究了微積分及負(fù)數(shù)的歷史對教學(xué)的啟示及通過幾何方法、工具使用和技術(shù)整合來促進(jìn)對分析的理解．

2.4 口頭報(bào)告與展覽

口頭報(bào)告分為兩種，一種時(shí)長為半小時(shí)，一種時(shí)長為10分鐘．10分鐘的口頭報(bào)告僅有兩場，題目分別為：“高中生解九連環(huán)的策略研究”及“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)中的潛力”．半小時(shí)的口頭報(bào)告是主體，共50場，在半小時(shí)內(nèi)，匯報(bào)人要完成自己的口頭報(bào)告并留出時(shí)間對參會人員的疑問進(jìn)行解答．像工作坊一樣，不同主題的口頭報(bào)告會在4個分會場同時(shí)進(jìn)行，為了讓讀者對報(bào)告內(nèi)容有具體的感知，50場報(bào)告的題目將在后面列出．

對于報(bào)告內(nèi)容的分析，參考已有文獻(xiàn)中的框架[5-6]，采用自下而上的內(nèi)容分析法逐級編碼，50場報(bào)告可歸為以下幾個主題：教育取向的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育史、HPM基礎(chǔ)理論探討、教學(xué)實(shí)踐與課例開發(fā)、HPM與教師專業(yè)發(fā)展、HPM與學(xué)生學(xué)習(xí)、HPM與教科書、HPM與跨學(xué)科視角．對50場報(bào)告進(jìn)行編碼的過程中每個報(bào)告都對應(yīng)一個序號，下面打亂序號順序按主題分類，對50場口頭報(bào)告與上述研究主題的關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)說明．

教育取向的數(shù)學(xué)史研究（報(bào)告題目見表2）可以分為幾種不同的類別．第一類是對書籍文本的研究，例如報(bào)告38是對《數(shù)書九章》與《九章算術(shù)》中方程術(shù)的比較，報(bào)告47是對13世紀(jì)4本挪威著作的比較，報(bào)告49是對1866年一本幾何著作的研究．第二類是對古代人物及思想的研究，例如報(bào)告35波雷爾（émile Borel，1871—1956）的思想對概率教學(xué)的啟示，報(bào)告39、40、48、50也都是研究人物的思想或教學(xué)實(shí)踐及對現(xiàn)代教學(xué)的啟示．第三類是以一個具體數(shù)學(xué)主題為線索進(jìn)行的歷史研究，如報(bào)告31是對群同構(gòu)的歷史研究，這類研究最可能是實(shí)際教學(xué)驅(qū)動的歷史研究，與HPM中小學(xué)或大學(xué)課堂實(shí)踐的關(guān)系最為直接．

表2 教育取向的數(shù)學(xué)史研究

不同于教育取向的數(shù)學(xué)史研究，數(shù)學(xué)教育史研究的主要關(guān)注點(diǎn)不是數(shù)學(xué)的發(fā)展而是數(shù)學(xué)教育活動的發(fā)展及規(guī)律．例如，報(bào)告41“19世紀(jì)之前波蘭數(shù)學(xué)發(fā)展的主要里程碑——數(shù)學(xué)教育的視角”描述了從數(shù)學(xué)教育視角看，波蘭15、16和18世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，報(bào)告43“新數(shù)學(xué)，一項(xiàng)國際運(yùn)動？”比較了20世紀(jì)50年代同時(shí)發(fā)生在歐洲和美國的教改運(yùn)動，報(bào)告46則比較了波蘭被侵占及恢復(fù)獨(dú)立兩個不同時(shí)期的課程與教學(xué)．

關(guān)于為何和如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的HPM基礎(chǔ)理論探討有兩場報(bào)告．報(bào)告10“有關(guān)如何在數(shù)學(xué)教育中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的分類框架：一項(xiàng)實(shí)證研究”在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合20個中學(xué)HPM課例，建構(gòu)了將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式的分類框架，報(bào)告2“以巴赫金的對話視角置身及研究歷史和數(shù)學(xué)教育”是一種對數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的元分析，用巴赫金（Mikhail Bakhtin，1895—1975）的論點(diǎn)支持對數(shù)學(xué)教育研究的反思，從對話的視角來思考研究者、參與者及數(shù)學(xué)史之間的對話互動．

HPM教學(xué)實(shí)踐與課例開發(fā)（報(bào)告題目見表3）是ESU會議特別強(qiáng)調(diào)的主題，占所有口頭報(bào)告最大比重，此主題可分為3個層次．第一層，也是最上位的一層，是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的宏觀項(xiàng)目．例如報(bào)告9探討了HPM課例研究流程，報(bào)告16介紹了法國數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的項(xiàng)目，報(bào)告24介紹了圖書館與大學(xué)合作的科普項(xiàng)目研討會．第二層，論述為將數(shù)學(xué)史更好地融入數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐可以嘗試的各種方式．例如，報(bào)告1數(shù)學(xué)史與信息技術(shù)的結(jié)合，報(bào)告3以巴什拉的思想為指導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)歷史中數(shù)學(xué)儀器的運(yùn)用，報(bào)告4強(qiáng)調(diào)人工制品與虛擬軟件的結(jié)合運(yùn)用，報(bào)告26則提出了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)話劇的融合．第三層，也是最具體的一層，主要指結(jié)合具體主題進(jìn)行的數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入．例如，報(bào)告8、11、15、17、21、28分別借助數(shù)學(xué)史進(jìn)行分?jǐn)?shù)、對數(shù)、三角形中位線、比例、復(fù)數(shù)、線性方程組的教學(xué)，報(bào)告23、27和30都選擇了歷史中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行教學(xué)，報(bào)告29選擇了兩個主題的原始素材取代教科書進(jìn)行利用原始素材教學(xué)的嘗試，報(bào)告25讓大學(xué)生自主探究一本原始素材著作，報(bào)告32模擬歷史上的意大利學(xué)院進(jìn)行綜合幾何的學(xué)習(xí)．

表3 HPM教學(xué)實(shí)踐與課例開發(fā)

毫無疑問，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐會對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，此方面的研究大都依托于具體的教學(xué)主題，通常附屬于HPM教學(xué)實(shí)踐，在數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐后對融入效果進(jìn)行測評，以此看對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響．例如報(bào)告11在數(shù)學(xué)史融入對數(shù)教學(xué)實(shí)踐后，研究者用學(xué)生課上對工作單的作答、小組及全體討論的錄音及課后兩份匿名的問卷來評估學(xué)生知識的獲得及學(xué)生對使用數(shù)學(xué)史的意見等．報(bào)告17中，研究者用前后測、田野觀察及最后的問卷來評估實(shí)踐效果．

除學(xué)生外，數(shù)學(xué)史融入教學(xué)實(shí)踐過程的重要參與者之一是教師，HPM與教師專業(yè)發(fā)展的研究（報(bào)告題目見表4）可分為幾類．第一，教師培訓(xùn)史．例如，報(bào)告14回顧了法國早期在職教師培訓(xùn)中的數(shù)學(xué)史，報(bào)告44介紹了葡萄牙新數(shù)運(yùn)動時(shí)期的教師教育．第二，調(diào)查教師與數(shù)學(xué)史有關(guān)的知識和信念現(xiàn)狀及HPM實(shí)踐對其影響．例如報(bào)告7對職前教師的數(shù)學(xué)史信念進(jìn)行了調(diào)查，報(bào)告22對在職教師的基于數(shù)學(xué)史的專門內(nèi)容知識進(jìn)行了調(diào)查，報(bào)告37研究了歷史教師與數(shù)學(xué)教師合作將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的嘗試對他們的影響．第三，探究影響教師HPM實(shí)踐的因素，例如報(bào)告20．

表4 HPM與教師專業(yè)發(fā)展

從教育活動三要素可知除了教師和學(xué)生，HPM與教科書（報(bào)告題目見表5）也是重要研究主題，如報(bào)告45對20世紀(jì)初4本尼泊爾數(shù)學(xué)教科書的分析比較，報(bào)告13對最近三版瑞典課程中代數(shù)內(nèi)容的比較，報(bào)告12對中國臺灣、中國大陸和美國高中教材中數(shù)學(xué)文化的分析，報(bào)告18對教科書中閱讀材料的研究及報(bào)告19對1~12年級21本土耳其教科書中數(shù)學(xué)和科技史的分析．

表5 HPM與教科書

此外，跨學(xué)科（報(bào)告題目見表6）是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)可以考慮的一個視角，有3場報(bào)告是與此相關(guān)的，報(bào)告33借助繪畫來闡述抽象的幾何理論，報(bào)告34從建筑中欣賞數(shù)學(xué)美及跨學(xué)科元素，報(bào)告36研究了一個跨學(xué)科的主題——時(shí)間測量．此次會議中唯一的一場展覽即與報(bào)告34有關(guān)，詳細(xì)展示了建筑中的數(shù)學(xué)美．

表6 HPM與跨學(xué)科

3 ESU-8會議內(nèi)容特點(diǎn)

3.1 著力歷史研究 聚焦實(shí)踐應(yīng)用

僅類屬歷史研究與HPM實(shí)踐兩個主題的報(bào)告就占到了所有口頭報(bào)告的64%．歷史研究廣泛，既有初等教育取向，也有高等教育取向；既有對于歷史人物的研究，也有對于歷史文本的研究；既有對數(shù)學(xué)史的研究，也有對數(shù)學(xué)教育史的研究．HPM實(shí)踐兼顧宏觀與微觀不同層面，既有闡述將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的新方法及新技術(shù)，也有融入數(shù)學(xué)史的具體課例在課堂的實(shí)際實(shí)施．HPM實(shí)踐是HPM研究的基礎(chǔ)，史料挖掘又是HPM實(shí)踐的基礎(chǔ)，此次會議保持了歷屆ESU的一貫特色．

3.2 立足本體知識 細(xì)化研究主題

此次會議中絕大部分報(bào)告的研究切入點(diǎn)都選取地較小，研究較為具體深入，約85%的報(bào)告都與數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密相關(guān)，數(shù)學(xué)特色明顯，即便是對上位的教育方法的論述也大都以具體知識的教學(xué)為載體落實(shí)說明．例如對薩拉戈薩（Joseph Zaragoza，1627—1679）的介紹聚焦到了其如何接受韋達(dá)（Fran?ois Viète，1540—1603）的思想，重新組織廣義算術(shù)中代數(shù)的教學(xué)；對《數(shù)書九章》的研究具體到其中解聯(lián)立線性方程的方法與《九章算術(shù)》的不同；教學(xué)實(shí)踐涉及具體知識點(diǎn)分?jǐn)?shù)、對數(shù)、比例、復(fù)數(shù)等教學(xué)，教師教育與教材研究也都較為聚焦．

3.3 重視信息技術(shù) 強(qiáng)調(diào)學(xué)科聯(lián)系

此次會議中一些最近發(fā)展起來的新的研究主題值得關(guān)注．例如HPM與信息技術(shù)，上一屆ESU對數(shù)學(xué)教育和信息技術(shù)進(jìn)行了大會討論，此次會議中已經(jīng)有多個報(bào)告實(shí)踐了HPM與信息技術(shù)相結(jié)合的理念．再比如HPM與數(shù)學(xué)建模和跨學(xué)科視角，有多個報(bào)告講述了戰(zhàn)爭中的數(shù)學(xué)，也有報(bào)告以時(shí)間測量為主題，探究其跨學(xué)科意義．

3.4 夯實(shí)理論基礎(chǔ) 拓展研究方法

以哲學(xué)、教育學(xué)或心理學(xué)中的論點(diǎn)支撐數(shù)學(xué)史與融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐及理論研究，例如和列維納斯一起思考數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育，以巴什拉的現(xiàn)象技術(shù)為指導(dǎo)在幾何教學(xué)中使用古老工具，借鑒人類學(xué)家對于文化的定義來定義數(shù)學(xué)文化并編制教科書中的數(shù)學(xué)文化的分析框架．

除了研究主題，研究方法對于規(guī)范的研究來說也是非常重要的．此次會議中，除了課堂觀察、訪談、問卷等數(shù)據(jù)收集方法以外，在利用數(shù)學(xué)史促進(jìn)職前教師數(shù)學(xué)信念轉(zhuǎn)化的研究中用到了“反思學(xué)習(xí)日記”的方式，這不失是一種追蹤教師或?qū)W生觀念變化的好方法．除了質(zhì)性研究方法外，此次會議還出現(xiàn)了量化的研究方法，用因子分析、結(jié)構(gòu)方程等統(tǒng)計(jì)方法來分析職前教師的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史等信念，研究職前教師信念的不同面向．

4 若干啟示

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究主要有3方面：一是教育取向的歷史研究，這是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的基礎(chǔ)；二是HPM實(shí)踐，這是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的主體；三是HPM實(shí)踐的影響，這是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的動力源，主要包括教師、學(xué)生兩大主體．一方面可以由數(shù)學(xué)史研究出發(fā)，進(jìn)行數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐，評估實(shí)踐效果．另一方面，可以反過來，關(guān)注那些數(shù)學(xué)教育中存在而HPM實(shí)踐可能對其解決有積極作用的問題，調(diào)查問題的現(xiàn)狀，然后據(jù)此進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐，評估實(shí)踐效果．兩者看似類似，但出發(fā)點(diǎn)不同，后者更可能建立起HPM與一般數(shù)學(xué)教育的聯(lián)系，更容易評估效果，是今后可以嘗試的路徑．

HPM研究需要實(shí)踐與研究并行，數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的影響往往需要長期的高質(zhì)量的HPM實(shí)踐，非單單一節(jié)課就可以見效的，而HPM實(shí)踐是比較花費(fèi)精力和時(shí)間的，需要充分的史料挖掘與精心融入，因此HPM研究最好整合團(tuán)隊(duì)力量，確定HPM領(lǐng)域的重點(diǎn)研究項(xiàng)目，團(tuán)隊(duì)齊心協(xié)力去提高數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，然后充分利用基于項(xiàng)目的HPM實(shí)踐，在大項(xiàng)目下開展一系列橫向和縱向的小課題．例如，此次會議中有一場大會報(bào)告，兩場工作坊同屬一個研究團(tuán)隊(duì)，此團(tuán)隊(duì)的研究項(xiàng)目為數(shù)學(xué)史與中學(xué)生到大學(xué)生的數(shù)學(xué)信念轉(zhuǎn)化，團(tuán)隊(duì)的HPM實(shí)踐為連續(xù)幾年開設(shè)基于數(shù)學(xué)史的研討課，團(tuán)隊(duì)成員可以在此過程中選擇不同主題研究，可以調(diào)查分析學(xué)生在剛?cè)氪髮W(xué)時(shí)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，也可以分析學(xué)生在不同數(shù)學(xué)分支上信念發(fā)生何種轉(zhuǎn)變及數(shù)學(xué)史在其中扮演的角色等．

研究理論與框架上，要善于借鑒上位或平行研究領(lǐng)域，如哲學(xué)、教育學(xué)、數(shù)學(xué)教育學(xué)、數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的研究結(jié)果來支撐或推動數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究．例如哲學(xué)中與認(rèn)識論有關(guān)的巴什拉的認(rèn)識論理論、加達(dá)默爾的詮釋學(xué)理論等．每個領(lǐng)域都有一批高質(zhì)量的研究成果，要想讓數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的生命之樹保持旺盛持久的生命力，不僅要扎根數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的一畝三分地，也要扎根其它研究領(lǐng)域，汲取其精髓．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育也屬于數(shù)學(xué)教育的子范疇，不能將自己孤立起來，要在保持自己研究領(lǐng)域特色的同時(shí)左通右達(dá)，才會使HPM的路越走越寬闊．

總覽此次會議的研究主題，還可以注意到以下幾個與HPM實(shí)踐有關(guān)的今后值得關(guān)注的領(lǐng)域．第一，數(shù)學(xué)史與信息技術(shù)．在教育信息技術(shù)如此發(fā)達(dá)的今天，如何將網(wǎng)站、GeoGebra、微視頻等信息技術(shù)與歷史素材結(jié)合起來，從而使數(shù)學(xué)史更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)教育是值得關(guān)注的主題．第二，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)史與跨學(xué)科教學(xué)和STEM．在數(shù)學(xué)和科學(xué)遠(yuǎn)沒有今天這么發(fā)達(dá)的古代，許多現(xiàn)實(shí)問題的解決往往與數(shù)學(xué)，尤其是初等數(shù)學(xué)有更加顯然的聯(lián)系，而且現(xiàn)實(shí)問題的解決往往會涉及多個學(xué)科的知識，因此，從數(shù)學(xué)史中選擇數(shù)學(xué)建模的主題、跨學(xué)科教學(xué)的主題是非常恰當(dāng)而有趣的．第三，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)話劇．將數(shù)學(xué)史中閃光的歷史人物、歷史事件以學(xué)生們喜聞樂見的話劇形式展現(xiàn)出來，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，塑造良好的道德品質(zhì)都有著重要意義，已經(jīng)有學(xué)校將此作為校園活動特色，兩者的融合一定是有趣而有意義的．

歷史研究與HPM實(shí)踐是后續(xù)HPM研究的基礎(chǔ)，在將HPM實(shí)踐作為一種干預(yù)來研究其對教師和學(xué)生的影響時(shí)，應(yīng)該注意保障HPM實(shí)踐的質(zhì)量，這會直接影響后續(xù)HPM研究的結(jié)果．?dāng)?shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、發(fā)發(fā)和思想的起源于發(fā)展，這決定了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的一大特色是從數(shù)學(xué)本身的視角來研究數(shù)學(xué)教育，HPM研究應(yīng)該牢牢抓住自己的數(shù)學(xué)特色，注意史料的深度挖掘，從小處入手，將HPM課例做扎實(shí)．另一方面，要想評估數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的價(jià)值，還需要掌握教育研究的一般方法，這也是不能忽視的．兩方面的研究需張弛有度、不可偏廢，尤其HPM實(shí)踐，仍然需要研究者堅(jiān)守，這給HPM研究者帶來了更大的挑戰(zhàn)，但也暗含著HPM領(lǐng)域的獨(dú)特價(jià)值和魅力，上通理論，下達(dá)實(shí)踐，必是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域一道雋麗風(fēng)景．

致謝：感謝EvelyIle Barbin、Bj?rn Smestad及Hans Niels Jahnke在此文撰寫過程中給予的指導(dǎo)和幫助．

[1] WANG X Q, QI C, WANG K. A categorization model for educational values of the history of mathematics: an empirical study [J]. Science & Education, 2017, 26 (7-9): 1?029-1?052.

[2] 朱琳．第七屆“數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”綜述[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（6）：86-89．

[3] 沈中宇．ICME-13之HPM專題研究綜述[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（5）：71-76．

[4] BARBIN E, STEHLIKOVA N, TZANAKIS C. European summer universities on the history and epistemology in mathematics education [C] // FURINGHETTI F, KAISJER S, TZANAKIS C. Proceedings of HPM 2004 & ESU 4: ICME 10 Satellite Meeting of the HPM Group & Fourth European Summer University on the History and Epistemology in Mathematics Education. Iraklion: University of Crete, 2006: xxix.

History and Pedagogy of Mathematics from an International Perspective——A Review of the 8th European Summer University on the History and Epistemology in Mathematics Education

SUN Dan-dan1, YUE Zeng-cheng1, SHEN Zhong-yu1, LI Xiao-ni2

(1. College of Mathematics Science, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

The 8th European Summer University on the History and Epistemology in Mathematics Education was held in Oslo Metropolitan University during 20-24 July 2018. The conference included 6 plenary lectures, 1 plenary panel discussion, 20 workshops, 52 oral presentations, 1 exhibition, which could be reorganized into eight themes. It could be concluded that this conference on HPM research had the following characteristics: focusing on the historical research and practical application; based on ontological knowledge, elaborating research subject; emphasizing technology and cross-discipline; strengthening theoretical foundation and expanding research methods, which could provide important inspiration in some issues: HPM researchapproach and topics that could be paid attention to in the future, how to leverage research achievements in other fields, and how to better handle the relationship between HPM practice and research etc.

ESU-8; HPM; features; enlightenment

G40-05

A

1004–9894（2018）06–0092–06

孫丹丹，岳增成，沈中宇，等．國際視野下的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育——“第八屆數(shù)學(xué)教育中的歷史與認(rèn)識論歐洲暑期大學(xué)”綜述[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（6）：92-97．

2018–09–28

上海市教育科學(xué)研究重大項(xiàng)目——中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的有效設(shè)計(jì)（D1508）；上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的研究（A8）

孫丹丹（1991—），女，山東萊蕪人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]