中學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計內(nèi)容的問題與建議

曹廣福，張蜀青，羅荔齡

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中學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計內(nèi)容的問題與建議

曹廣福1，張蜀青2，羅荔齡1

（1．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006；2．廣州市執(zhí)信中學(xué)，廣東 廣州 510090）

1 引言

2 統(tǒng)計學(xué)簡史

統(tǒng)計學(xué)產(chǎn)生于17世紀(jì)的歐洲，最早用于國情調(diào)查，1662年，格朗特（John Graunt）發(fā)表了他第一本也是唯一一本手稿《基于死亡賬單的自然與政治觀察》（），分析了生男孩和女孩的比例．

19世紀(jì)中葉，統(tǒng)計學(xué)形成了兩個主要的學(xué)派，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)派與社會統(tǒng)計學(xué)派．隨著概率論的成熟，為統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．19世紀(jì)中葉，比利時的阿道夫·凱特勒（1796—1874）主張用自然科學(xué)的方法研究社會現(xiàn)象，把古典概率論引入了統(tǒng)計學(xué)，使得統(tǒng)計學(xué)進(jìn)入了一個新的發(fā)展階段．不過凱特勒將自然科學(xué)的觀點(diǎn)與方法機(jī)械套用到犯罪、道德等社會問題，混淆了自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象之間的本質(zhì)區(qū)別．盡管如此，凱特勒把概率論引入統(tǒng)計學(xué)至少使得統(tǒng)計學(xué)在“政治算術(shù)”的“算術(shù)”方法基礎(chǔ)上往準(zhǔn)確化道路邁進(jìn)了一大步，他為后期數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的形成與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)．

社會統(tǒng)計學(xué)派比數(shù)理統(tǒng)計學(xué)派的形成稍晚一些，19世紀(jì)后半葉，德國經(jīng)濟(jì)學(xué)家、統(tǒng)計學(xué)家克尼斯（1821—1889）以及恩格爾（1821—1896）、梅爾（1841—1925）等人沿著凱特勒的“基本統(tǒng)計理論”繼續(xù)向前發(fā)展，認(rèn)為統(tǒng)計學(xué)是一門社會科學(xué)，是研究社會現(xiàn)象變動原因和規(guī)律性的實質(zhì)性科學(xué)．從那時開始，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)與社會統(tǒng)計學(xué)便形成了兩個相互對立的陣營，社會統(tǒng)計學(xué)派認(rèn)為，由于社會現(xiàn)象的復(fù)雜性和整體性，需要進(jìn)行整體的大量觀察和分析，研究其內(nèi)在聯(lián)系，才能揭示現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，這就是該學(xué)派所謂“實質(zhì)性科學(xué)”的顯著特點(diǎn)．

社會統(tǒng)計學(xué)與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的根本區(qū)別在于前者在統(tǒng)計研究中以事物的質(zhì)為前提，強(qiáng)調(diào)認(rèn)識事物質(zhì)的重要性，后者則不關(guān)心事物的質(zhì)．

傳統(tǒng)的統(tǒng)計學(xué)（也稱為記述統(tǒng)計）通常是對所搜集的大量數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加工整理、綜合概括，通過圖示、列表和數(shù)字，如編制次數(shù)分布表、繪制直方圖、計算各種特征數(shù)等，對資料進(jìn)行分析和描述．

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，統(tǒng)計學(xué)的研究方法也有了很大的變化，到了20世紀(jì)，人們在搜集整理觀測的樣本數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上對有關(guān)總體做出推斷，這就是所謂的推斷統(tǒng)計．推斷統(tǒng)計的典型特征是根據(jù)隨機(jī)的樣本數(shù)據(jù)以及問題的調(diào)查和假定，以概率形式表述對未知事物作出的推斷，現(xiàn)在所謂的科學(xué)統(tǒng)計方法主要指推斷統(tǒng)計．

隨著社會科學(xué)與自然科學(xué)的發(fā)展，統(tǒng)計學(xué)與各個學(xué)科相結(jié)合，產(chǎn)生了五花八門的分支．從大的方面看，統(tǒng)計主要有3個分支：數(shù)理統(tǒng)計、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計與應(yīng)用統(tǒng)計．美國大學(xué)的統(tǒng)計學(xué)設(shè)置則涵蓋4個方面：生物統(tǒng)計、金融統(tǒng)計、應(yīng)用統(tǒng)計和數(shù)理統(tǒng)計，有些學(xué)校下設(shè)統(tǒng)計系，有些學(xué)校在數(shù)學(xué)系下設(shè)統(tǒng)計學(xué)．中國大學(xué)統(tǒng)計學(xué)的設(shè)置情況與此類似，教育部在2011年的學(xué)科目錄調(diào)整中統(tǒng)一將統(tǒng)計學(xué)歸類到理科，但在授予學(xué)位時除了可以授予理學(xué)學(xué)位，依然可以授予經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)位．

統(tǒng)計學(xué)與數(shù)學(xué)一樣涉及幾乎所有的自然科學(xué)與社會科學(xué)，如果將統(tǒng)計學(xué)進(jìn)行細(xì)分，可以分出眾多的方向：

（1）數(shù)理統(tǒng)計學(xué)；（2）經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計學(xué)；（3）生物統(tǒng)計學(xué)；（4）商務(wù)統(tǒng)計學(xué)；（5）化學(xué)統(tǒng)計學(xué)；（6）數(shù)據(jù)挖掘（使用統(tǒng)計學(xué)和模型來發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的規(guī)律和知識）；（7）人口統(tǒng)計學(xué)；（8）數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)；（9）能源統(tǒng)計學(xué)；（10）金融統(tǒng)計學(xué)；（11）工程統(tǒng)計學(xué)；（12）衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)；（13）地理統(tǒng)計學(xué)；（14）圖像統(tǒng)計學(xué)；（15）心理統(tǒng)計學(xué)；（16）社會統(tǒng)計學(xué)；（17）農(nóng)業(yè)統(tǒng)計學(xué)；（18）風(fēng)險管理；（19）精算學(xué)；（20）保險學(xué)．

幾乎每一個科學(xué)分支都可以與統(tǒng)計學(xué)發(fā)生聯(lián)系，統(tǒng)計的范疇已覆蓋了社會生活的所有領(lǐng)域，幾乎無所不包，成了普適的方法，被廣泛應(yīng)用于社會科學(xué)和自然科學(xué)的各個方面．

隨著社會的發(fā)展，統(tǒng)計的意義已經(jīng)不僅局限于對已經(jīng)發(fā)生和正在發(fā)生的事物進(jìn)行統(tǒng)計，提供統(tǒng)計資料和數(shù)據(jù)，它還擔(dān)負(fù)著一個重要使命：統(tǒng)計預(yù)測與統(tǒng)計決策，統(tǒng)計學(xué)也吸收了信息論、控制論及系統(tǒng)論的思想方法，使得其內(nèi)容得到了極大的豐富．特別是計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展使得統(tǒng)計數(shù)據(jù)的搜集、處理、分析、存貯、傳遞等過程有了革命性的變化，計算機(jī)科學(xué)已經(jīng)成為統(tǒng)計學(xué)不可分割的組成部分．如今的統(tǒng)計學(xué)無論是理論還是實踐的深度與廣度都是過去所無可比擬的．統(tǒng)計學(xué)的重要性不言而喻，正如英國統(tǒng)計學(xué)家哈斯利特所說：“統(tǒng)計方法的應(yīng)用是這樣普遍，在我們的生活和習(xí)慣中，統(tǒng)計的影響是這樣巨大，以致統(tǒng)計的重要性無論怎樣強(qiáng)調(diào)也不過分．”

3 概率為先還是統(tǒng)計為先

3.1 概率與統(tǒng)計的邏輯梳理

中學(xué)階段的統(tǒng)計該側(cè)重于什么方面？是數(shù)理統(tǒng)計還是社會統(tǒng)計？兩者無論是方法還是思想都是不同的，不把這個問題弄清楚，統(tǒng)計學(xué)的教學(xué)就可能不著要點(diǎn)，甚至帶來邏輯上的混亂．一線教師不僅應(yīng)該了解中學(xué)教材，更應(yīng)該讀一讀大學(xué)教材中的相關(guān)內(nèi)容，例如，可以讀一讀大學(xué)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的相關(guān)內(nèi)容（參見文[2]）．

既然中學(xué)的統(tǒng)計作為數(shù)學(xué)課程的一部分，而且與概率放在一起，說明是以概率作為基礎(chǔ)的，所以應(yīng)該屬于數(shù)理統(tǒng)計的范疇．比較好的方案是將選修2-3中的概率調(diào)整到必修3中，將必修3的統(tǒng)計內(nèi)容調(diào)整到選修2-3，這樣的調(diào)整有利于內(nèi)容的連貫性與邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性．但有意思的是，中學(xué)數(shù)學(xué)必修3將統(tǒng)計放在了概率之前，而在選修2-3中又將統(tǒng)計放在了概率之后．也難怪在概率章節(jié)不介紹樣本空間，在統(tǒng)計學(xué)中卻講到了抽樣統(tǒng)計與樣本概念，是不希望概念混淆？概率中的樣本點(diǎn)與樣本空間與統(tǒng)計中的樣本值的確有所不同，也正是因為概念上有所差別，更應(yīng)該加以辨別．簡單地說，統(tǒng)計上一個容量為的簡單隨機(jī)樣本來自某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)，即：

定義1：設(shè)是具有分布函數(shù)的隨機(jī)變量，若1，2，…，X是具有同一分布函數(shù)的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱1，2，…，X為來自分布函數(shù)（稱為總體或稱為總體）得到的容量為的簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本．它們的觀察值1，2，…，x稱為樣本值，又稱為總體的個獨(dú)立的觀察值．

從上述定義可以看出，這里的樣本值與隨機(jī)試驗的樣本點(diǎn)有關(guān)但又有所不同，從隨機(jī)試驗的角度看，所謂總體實際上是隨機(jī)試驗所有可能的結(jié)果，也就是樣本空間，由于隨機(jī)變量是樣本空間到實數(shù)域的映射，所以也把隨機(jī)變量稱為總體．這里的隨機(jī)樣本指的是個隨機(jī)變量的笛卡爾積，所以也可以說隨機(jī)樣本是一個隨機(jī)向量(1,2, …,X)，且每一個隨機(jī)分量都有相同的分布函數(shù)．這樣說可能會讓人難以理解，通俗地說，所謂隨機(jī)樣本就是從總體中隨機(jī)抽取個樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合．

傳統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容包括哪些呢？雖然不同的教科書在編排上有所不同，但大同小異，主要包括：樣本及抽樣分布（隨機(jī)樣本、直方圖、統(tǒng)計量、抽樣分布）、參數(shù)估計（參數(shù)的點(diǎn)估計、估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)、參數(shù)的區(qū)間估計、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計、置信區(qū)間）、假設(shè)檢驗（正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗、分布擬合檢驗）、方差分析和回歸分析（單因素試驗的方差分析、一元回歸分析）．

3.2 線性回歸分析

研究者不主張在中學(xué)階段介紹回歸分析．事實上，線性回歸方程的系數(shù)需要最小二乘法進(jìn)行估計，由于涉及兩個參數(shù)的估計，通常需要多元微積分的偏導(dǎo)數(shù)才能計算其估計公式，也就是教材中系數(shù)與的估計．某個教材是這樣闡述這部分內(nèi)容的．

在實際問題中，變量之間的常見關(guān)系有如下兩類：

一類是確定性函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示．例如，圓的面積與半徑之間就是確定性函數(shù)關(guān)系，可以用=π2表示．

一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的關(guān)系，但不能完全用函數(shù)來表達(dá)．例如人的體重與身高有關(guān)．一般來說，身高越高，體重越重，但不能用一個函數(shù)來嚴(yán)格地表示身高與體重之間的關(guān)系．

用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系？

身高與體重之間是一種什么關(guān)系？教材沒有將本質(zhì)問題揭示出來，卻拋出了一個諱莫如深的問題，此后再也沒回頭關(guān)心過這個問題，甚至連簡單的說明都沒有，緊接著轉(zhuǎn)向了另一個問題．

某小賣部為了了解熱茶銷量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表：

氣溫/℃26181310 4-1 杯數(shù)202434385064

如果某天的氣溫是-5℃，那么你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎？

這個數(shù)表顯然是杜撰出來的，杜撰數(shù)據(jù)本來并無不可，但至少應(yīng)該有一定的生活價值．如果是某個飲料加工廠做這樣的統(tǒng)計倒是有一定的可信度，當(dāng)然樣本量絕不可能是短短的6天．有哪一家小賣部會做這樣無聊的事？小賣部最多每天統(tǒng)計一下收入了多少，不會專門去統(tǒng)計一個數(shù)據(jù)來進(jìn)行分析．即使想估算銷量，也只會估算未來幾天的銷量，而且如此小的樣本量，憑直覺就可以判斷，何須如此復(fù)雜的理論？教材為什么不針對開始時的身高與體重的關(guān)系接著往下討論呢？例如，可以將某個學(xué)校的學(xué)生身高與體重做一個統(tǒng)計，哪怕是隨機(jī)杜撰一個數(shù)據(jù)表也未嘗不可，這樣的統(tǒng)計要有價值得多．身高與體重問題是一個經(jīng)典的問題，也有一定的社會價值．令人疑惑的是，為什么教材欲言又止地把一個有價值的問題拋出來又扔掉，轉(zhuǎn)而討論一個莫名其妙的問題？

在給出上述數(shù)表后，接著給出了散點(diǎn)圖以及最小二乘法的概念，并給出了參數(shù)估計公式：

接下來，需要計算使(,)取得最小值的和，可以用公式

這里x，y是觀察數(shù)據(jù)，=1, 2, …,，其計算過程如下：

…………

的計算公式不難解釋，的計算公式從何而來？教材甚至連來歷都不作介紹，就這么堂而皇之地擺在那里．或許編寫者像金庸筆下的武林高手一樣，要學(xué)生先把“武功秘訣”背下來，待到武功修為達(dá)到一定境界后自然就會領(lǐng)會．問題是學(xué)生將來如果學(xué)習(xí)相關(guān)的專業(yè)，這些對于他們就是不值一提的常識性問題，如果不學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)，這些就是很快就會被遺忘的毫無價值的東西，因為，他們不僅不知其所以然，甚至不知其然，如何讓他們在忘記公式之后還能領(lǐng)會蘊(yùn)含在其中的思想方法？教材用一句推導(dǎo)公式比較復(fù)雜，這里不作要求一帶而過．這個公式的推導(dǎo)還真的非常簡單，只是學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分而已．

在選修2-3中介紹了隨機(jī)誤差、線性回歸模型后，引出了相關(guān)系數(shù)的概念，此處也是“科普”式的處理方法，只是在“鏈接”中解釋了相關(guān)系數(shù)為什么越接近1，兩個量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．

縱觀必修3與選修2-3中的回歸分析部分，存在兩個方面的問題：（1）回歸分析的本質(zhì)沒有解釋清楚，這個問題下一節(jié)會作說明；（2）原理解釋不清，幾乎都是“拿來主義”式的介紹，至于怎么來的一概不作解釋，參數(shù)估計公式便是個典型的例子．

4 統(tǒng)計學(xué)教學(xué)策略

4.1 隨機(jī)樣本與隨機(jī)抽樣

教學(xué)最好做兩個比較大的調(diào)整：（1）將統(tǒng)計移到概率之后講授；（2）在傳統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)上通俗點(diǎn)講授．

也許比較合適的方案是從隨機(jī)變量的角度引入隨機(jī)樣本，也就是定義1所說的容量為的樣本，在此基礎(chǔ)上介紹抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法、系統(tǒng)抽樣以及分層抽樣．這樣講授便于學(xué)生對抽樣方法有一個整體認(rèn)識，抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法、系統(tǒng)抽樣以及分層抽樣不過是幾個具體的隨機(jī)抽樣方法，學(xué)生也不至于僅僅停留在對隨機(jī)抽樣的感性認(rèn)識上．可以先通過對下面的問題分析入手．

問題1：兵工廠生產(chǎn)了一批炮彈，技術(shù)部門需要對這批炮彈進(jìn)行合格鑒定，該如何鑒定？

最好的檢驗方法當(dāng)然是試射，但不可能把所有炮彈都拿出去射了，所以存在一個抽樣檢查的問題．類似的問題很多，例如，工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在上市之前一般也需要技術(shù)部門做合格鑒定，工商部門也會對市場上的商品做合格檢查，但由于這些產(chǎn)品都有包裝，一旦打開，這些產(chǎn)品就不能再賣了，所以不可能將所有產(chǎn)品都拆開檢查．即使是不需要損壞產(chǎn)品包裝，也可能由于數(shù)量的龐大，很難對每件產(chǎn)品都做檢驗，只能抽取部分產(chǎn)品做鑒定．在此基礎(chǔ)上引入簡單隨機(jī)抽樣的概念．

定義2：假設(shè)一個總體含有個個體，從中逐個不放回地抽取個個體作為樣本（≤），如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機(jī)樣本．

問題2：道觀或寺廟里常常有抽簽算卜一說，一個桶里放著若干竹簽，竹簽上刻著“上”“中”“下”等字樣，每根竹簽上還刻有號碼，善男信女們拿著桶搖晃，直到桶里掉出一根簽來，然后拿著掉出來的竹簽去找道士或和尚．道士或和尚根據(jù)竹簽上的號碼找到對應(yīng)的簽詩，那首簽詩里便“隱藏著”你或你關(guān)心的人的禍福．道士或和尚根據(jù)簽詩為你解卜，回答你所關(guān)心的事情的吉兇．這是唯心主義的東西，不過是給人心理上的某種慰籍，自然信不得．但可以探討一下抽簽過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，你能用數(shù)學(xué)方法描述一下這個過程嗎？例如簽桶里的簽是什么？搖桶的過程可以作何解釋？竹簽掉出來說明了什么？

抽簽問卜實際上就是個隨機(jī)抽樣，不過問卜者問完卜之后一般要將簽放回簽筒里．可以假定簽筒里有根簽，有（<）個人先后搖簽問卜，在他們問卜完成之前，簽是不會被放回簽筒里的，這就是個簡單的隨機(jī)抽樣，這樣的隨機(jī)抽樣方法就叫抽簽法．

定義3：假設(shè)總體中有個個體，將這個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取次，就得到一個容量為的樣本．這樣的隨機(jī)抽樣方法稱為抽簽法．

除常用的抽簽法，還有一種簡單隨機(jī)抽樣方法，稱為隨機(jī)數(shù)法，教師按照教材的做法告訴學(xué)生怎么做就可以了，基本上是一種機(jī)械化操作方法．客觀地說，抽簽法或許有一定的實用價值，但隨機(jī)數(shù)法的實際應(yīng)用價值有待檢驗，現(xiàn)實中誰會真的對著一張隨機(jī)數(shù)表去抽樣？不過作為抽樣方法之一，讓學(xué)生有所了解未嘗不可．

問題3：如上一節(jié)課所述，簡單隨機(jī)抽樣僅適用于容量較小的總體，如果總體的容量很大怎么辦？有沒有合適的抽樣方法？例如，為了做一項社會調(diào)查，需要從某群體的10?000名人士中抽取1%做調(diào)查，怎么抽取比較科學(xué)？

從10?000個人中抽取1%等于要抽取100個人，為10?000個人制作10?000個簽顯然不太現(xiàn)實，即使制作出來了也很難進(jìn)行均勻攪拌，隨機(jī)數(shù)法的工作量也比較大．10?000個人做編號是必要的，否則無從抽取，問題是編號后如何抽??？學(xué)生所能想到的多半是根據(jù)編號的某種特征進(jìn)行抽取，例如號碼的奇偶性等．但由于每個人的編號已經(jīng)確定了，根據(jù)編號的奇偶性抽樣并非真正的隨機(jī)抽樣，而是一種有選擇的抽樣．

問題的關(guān)鍵在于總體的容量偏大，使得抽簽法或隨機(jī)數(shù)法不可行或工作量比較大．可以通過具體的例子引導(dǎo)學(xué)生思考．例如全年級有1?000人，20個班，每個班50人，現(xiàn)在需要從全年級中隨機(jī)抽取10%的人參加某項活動，如何抽取既簡單又合理？學(xué)生很容易想到每個班隨機(jī)抽取5個人．雖然這種抽取方法與從1?000人中隨機(jī)抽取100個人并非同樣的隨機(jī)抽樣，因為1?000人抽取100人并不一定會平均到每個班級，但卻給問題1的解決帶來某種啟發(fā)，即將總體進(jìn)行分組．但分組應(yīng)該也是隨機(jī)的，換言之，按隨機(jī)的方法將總體進(jìn)行編號．某版教材對這個問題的分析有誤：

某校高一年級共有20個班，每班有50名學(xué)生．為了了解高一學(xué)生的視力狀況，從這1?000人中抽取一個容量為100的樣本進(jìn)行檢查，該怎樣檢查？

現(xiàn)實中如果真的要進(jìn)行類似的檢查，的確很可能采取每個班抽取5名同學(xué)的辦法，但這與1?000人中隨機(jī)抽取100人不屬于同一個問題，盡管每個班里的5名同學(xué)可能是隨機(jī)抽取的．但教材接下來的分析不是針對1?000人的總量，而是針對每個班進(jìn)行分組：

通常先將各班學(xué)生平均分成5組，再在第一組（1—10號學(xué)生）中抽簽法取一個，然后按照“逐次加10（每組中個體數(shù)）”的規(guī)則分別確定學(xué)號為11—20、21—30、31—40、41—50的另外4組中的學(xué)生代表．

這已經(jīng)不是對總體（1?000人）分組了，而是對總體的一部分（某個班級）進(jìn)行分組．事實上，50人的班級不算大容量的總體，即使是按照班級隨機(jī)抽取，也無需如此麻煩，直接用抽簽法就可以了．最重要的是，這樣的分析給學(xué)生的理解帶來很大的困惑，到底對總體分組還是對部分分組？

恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ菍??000人隨機(jī)編號分成100個組，每組10人，第一組隨機(jī)抽取一個號l，然后將編號為l，l+10，l+20，…，l+99的100人抽出，這才是對具有1?000個個體的總體進(jìn)行系統(tǒng)抽樣的正確方法．

教師課堂上可以針對問題1進(jìn)行分析，這類問題在社會調(diào)查中是很常見的．

通過對問題1的詳細(xì)分析，可以歸納出系統(tǒng)抽樣的一般方法．

定義4：從容量為的總體中抽取容量為的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣．

關(guān)于分層抽樣，教材解釋得還是比較清楚的，這里無需重復(fù)．

4.2 頻率直方圖

教材沒有說明數(shù)據(jù)總量與區(qū)間之間的關(guān)系，也沒有說明應(yīng)該將區(qū)間分割成多少小區(qū)間，學(xué)生在實際操作時就可能顯得盲目隨意．雖然理論上講組距越小越好，但精細(xì)與可操作性之間需要達(dá)到一定的平衡．?dāng)?shù)據(jù)與區(qū)間之間的關(guān)系，分割區(qū)間的個數(shù)等問題有必要做出詳細(xì)解釋．有了直方圖之后，頻率分布折線就不難理解了．教師在課堂教學(xué)中，宜將重點(diǎn)放在對頻率直方圖的詳細(xì)分析，頻率折線圖則可以一帶而過．此外，頻率密度曲線在折線圖之后出現(xiàn)顯得有點(diǎn)突兀，也超出了學(xué)生可以接受的范圍，雖然貌似解釋得比較通俗，但仔細(xì)分析一下會發(fā)現(xiàn)，如果總體是有限的，無論如何也過渡不到密度曲線，即使總體無限，也未必能得到一個連續(xù)的密度曲線．所謂總體分布的密度曲線是什么？這里也無法解釋清楚，事實上，這條光滑曲線（實際未必光滑）已經(jīng)不是頻率的分布密度曲線了，而是概率密度曲線．說得主觀一點(diǎn)，此處的頻率密度曲線有畫蛇添足之嫌．

4.3 統(tǒng)計推斷

例1：一枚被懷疑灌過鉛的骰子60次擲得的數(shù)如下．

4331234656 2413353434 3345456451 6442332445 6362464632 5463335314

如果骰子沒有被灌鉛，那么上表中的60個數(shù)字應(yīng)該如同從盒子（盒子里有6個數(shù)字1，2，3，4，5，6）里隨機(jī)抽取60次（隨機(jī)有放回）的結(jié)果，每個數(shù)字應(yīng)該出現(xiàn)10次左右，期望頻數(shù)為10．要弄清楚數(shù)據(jù)與期望的比較如何，需要統(tǒng)計一下每個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，得到觀察頻數(shù)如下．

呈現(xiàn)值觀察頻數(shù)期望頻數(shù) 1 410 2 610 31710 41610 5 810 6 910 76060

（1）確定總體（隨機(jī)變量或分布函數(shù)），并將總體進(jìn)行分類，例如擲骰子試驗中，將總體按數(shù)字1，2，3，4，5，6進(jìn)行分類；

嚴(yán)格說來，假設(shè)檢驗中還需要一個量——顯著水平，根據(jù)顯著水平確定拒絕原命題的范圍——拒絕域．統(tǒng)計量本身已經(jīng)令學(xué)生應(yīng)接不暇，有興趣的教師不妨自己了解一下其細(xì)節(jié)，可以參考任何一本數(shù)理統(tǒng)計書籍．

4.4 回歸分析

什么叫回歸分析？它研究的是什么問題？選修2-3對回歸的來歷做了簡單介紹，但對于第二個問題的本質(zhì)語焉不詳，教師在課堂上最好做適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充．

隨機(jī)變量（因變量）與某個確定性變量（自變量）之間可能存在著一定的關(guān)聯(lián)．由于是隨機(jī)變量，對于在某個范圍內(nèi)的各個確定值，的取值范圍隨試驗的結(jié)果而定，在此基礎(chǔ)上可以引入教材中身高與體重的例子．這里身高是一個確定性變量（自變量），體重是隨機(jī)變量（因變量），以例子解釋隨機(jī)變量與確定性變量之間的關(guān)系，學(xué)生自然就清楚研究的是什么問題了．

接下來應(yīng)該解釋清楚為什么可以用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望替代隨機(jī)變量？對這個問題的解釋與理解并不困難．如果是隨機(jī)變量，那么方差與數(shù)學(xué)期望之間有如下的關(guān)系：

原理搞清楚了，還要考慮實際的可操作性，回歸函數(shù)通常是未知的，回歸分析的任務(wù)是根據(jù)數(shù)據(jù)去估計回歸函數(shù)．很多情況下都是假設(shè)回歸函數(shù)是線性的，更復(fù)雜的情況估計難度更大，例如也可能用形如++2的二次函數(shù)進(jìn)行擬合，那樣將涉及3個系數(shù)的估計．

上式稱為殘差平方和．

學(xué)生對這個原理的理解應(yīng)該沒有太大難度，但如何求最小值則超出了他們的理解范圍，尤其是如果在此之后才學(xué)習(xí)微積分，那就更如同聽天書了．但如果學(xué)生學(xué)習(xí)過一元函數(shù)的微積分，可以從幾何上作出直觀解釋．與曲線的極小值一樣，曲面的最小值處的切平面與平面是平行的，因而兩個偏導(dǎo)數(shù)等于0，高中階段大概也只能到此為止了．如果原理不清不楚，教材中再多的例子也難以讓學(xué)生開竅．

教材中關(guān)于樣本相關(guān)系數(shù)的解釋比較清楚，有了上面的一番準(zhǔn)備工作，學(xué)生對線性相關(guān)性檢驗的理解應(yīng)該不難．

[1] FREEDMAN D，PISANI R，PURVES R，等．統(tǒng)計學(xué)[M]．北京：中國統(tǒng)計出版社，1997：570-590．

[2] 盛驟，謝式千．概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用[M]．北京：高等教育出版社，2004：114-205．

Problems and Suggestions on Statistical Content in High Middle Mathematics

CAO Guang-fu1, ZHANG Shu-qing2, LUO Li-ling1

(1. Faculty of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;2. Zhixin High Middle School, Guangdong Guangzhou 510095, China)

G632.0

A

1004–9894（2018）06–0007–06

曹廣福，張蜀青，羅荔齡．中學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計內(nèi)容的問題與建議[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（6）：7-12．

2018–06–25

國家“萬人計劃”領(lǐng)軍人才、廣東省“特支計劃”、廣州市教育名家工作室聯(lián)合資助

曹廣福（1960—），男，江蘇海安人，教授，博士生導(dǎo)師，首屆國家高等學(xué)校教學(xué)名師獎獲得者，入選國家“萬人計劃”領(lǐng)軍人才，主要從事數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]