度量單位的本質(zhì)及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

娜仁格日樂，史寧中

?

度量單位的本質(zhì)及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

娜仁格日樂，史寧中

（東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130024）

度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、進(jìn)而認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的工具，度量可以是因人而異的．度量單位就是把不同個(gè)體的度量方法標(biāo)準(zhǔn)化，并且能夠得到人們的廣泛共識(shí)．度量的本質(zhì)在于表現(xiàn)事物某些指標(biāo)的順序．人之所以可以進(jìn)行度量，并且能夠?qū)Χ攘繂挝蝗〉脧V泛的共識(shí)，是基于人的兩個(gè)先天本能，這就是對(duì)數(shù)量多少的感知和對(duì)距離遠(yuǎn)近的感知．人還具有兩個(gè)特殊的能力，這就是抽象能力和想象能力，因此對(duì)于人而言，能夠基于兩個(gè)特殊的能力，把兩個(gè)先天本能延伸到對(duì)事物的某些指標(biāo)進(jìn)行量化和對(duì)量化順序的感知．度量主要包括兩類，一類是通過抽象得到的，是人思維的結(jié)果；另一類是借助工具得到的，是人實(shí)踐的結(jié)果．因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)利用與發(fā)展學(xué)生的先天本能和特殊能力，分清兩類度量的本質(zhì)特征，構(gòu)建合適的教學(xué)方法，包括設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境和提出合適的數(shù)學(xué)問題，使得學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟度量單位所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和數(shù)感，形成數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

度量單位；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)

度量單位是計(jì)量事物標(biāo)準(zhǔn)量的名稱[1]．幾乎所有度量單位的產(chǎn)生和發(fā)展都經(jīng)歷了漫長的時(shí)間，承載了度量單位由多元到統(tǒng)一，由粗略到精細(xì)的發(fā)展過程．度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)語言，是人認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具，正如龐加萊所論述的那樣：“如果沒有測(cè)量空間的工具，我們便不能構(gòu)造空間．”[2]

度量可以是因人而異的，度量單位就是把不同個(gè)體的度量方法標(biāo)準(zhǔn)化，是為了對(duì)度量的結(jié)果進(jìn)行傳播和交流的需要．因此，度量單位的制定必須能夠表達(dá)度量的本質(zhì)，方法科學(xué)、表達(dá)準(zhǔn)確、相對(duì)穩(wěn)定，能夠得到人們的廣泛共識(shí)．

度量的本質(zhì)在于表示事物某些指標(biāo)的順序．這里特別想強(qiáng)調(diào)的是，人之所以能夠進(jìn)行度量，并且能夠?qū)Χ攘繂挝坏玫綇V泛共識(shí)，是基于人的兩個(gè)先天本能，這就是對(duì)數(shù)量多少的感知和對(duì)距離遠(yuǎn)近的感知①，這兩個(gè)先天本能是人能夠理解和研究數(shù)學(xué)的思維基礎(chǔ)，這兩個(gè)先天本能應(yīng)當(dāng)作為數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)，也應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論和數(shù)學(xué)哲學(xué)的前提．非常遺憾的是，似乎還沒有文獻(xiàn)從認(rèn)識(shí)論的角度討論過這個(gè)問題，即便可以認(rèn)為這個(gè)問題是認(rèn)識(shí)論的根基．過去的哲學(xué)過分關(guān)注形而上，或者說過分關(guān)注那些觀念上的東西，而不關(guān)注“人為什么可以”這樣的更為現(xiàn)實(shí)的問題．

在兩個(gè)先天本能的基礎(chǔ)上，人又具有兩種特殊的能力[3]，這就是抽象能力和想象能力．因此，對(duì)于人而言，就可以借助兩個(gè)特殊的能力把兩個(gè)先天本能延伸到對(duì)事物的某些指標(biāo)進(jìn)行量化，以及對(duì)量化順序的感知，這就觸及到了度量的本質(zhì)．

無論度量單位的稱謂如何②，人們都是用1來表示一個(gè)度量單位，這是數(shù)學(xué)研究最為基本的概念．雖然度量單位都是人規(guī)定，但就度量單位的形成過程而言，大體可以分為兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結(jié)果；另一類是借助工具得到的，是人實(shí)踐的結(jié)果．形成過程的不同必然蘊(yùn)含著思維形式的不同，因此，對(duì)于數(shù)學(xué)教育、特別是對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教育而言，這樣劃分是必要的．這里分別討論這兩類度量單位的形成過程以及其中蘊(yùn)含的思維形式，然后再討論相應(yīng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)．

1 通過抽象得到的度量單位

從遠(yuǎn)古時(shí)代開始，為了日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐的需要，人們創(chuàng)造出一些語言用來表達(dá)事物量的多少，比如，狩獵收獲的多少，祭祀犧牲的多少，等等．

在古代中國，這樣的表達(dá)可以追溯到商代的甲骨文③．雖然在這樣的表達(dá)中出現(xiàn)了數(shù)字，但這些數(shù)字都依附于具體的現(xiàn)實(shí)背景，因?yàn)樵跀?shù)字的后面都綴有特殊的量詞，可以把這樣的量詞看作度量單位的稱謂．在現(xiàn)代漢語中，一些后綴量詞被根深蒂固地保留下來，比如，“一粒米、兩條魚、三只雞、四個(gè)蛋、五匹馬、六頭牛、七張紙、八頂帽子、九件衣服、十條褲子”，等等．

可以看到，這樣的數(shù)字還不完全具有數(shù)字符號(hào)的功能：因?yàn)橐涣Ｃ着c一頭牛是不可同日而語的，雖然都是數(shù)字1的具體體現(xiàn)；這樣的表達(dá)是無法進(jìn)行運(yùn)算的，因?yàn)闊o法理解一粒米加一頭牛得到的是什么．?dāng)?shù)學(xué)研究的對(duì)象應(yīng)當(dāng)是更為一般的抽象，這就涉及到數(shù)量度量的本質(zhì)，這個(gè)本質(zhì)就是度量數(shù)量的多與少，如前所述，這個(gè)抽象過程依賴于人對(duì)數(shù)量多少感知的本能．這個(gè)抽象過程最終導(dǎo)致十進(jìn)制自然數(shù)的發(fā)明，十進(jìn)制大概與人有10個(gè)手指頭有關(guān)．這個(gè)抽象的結(jié)果，在形式上是舍去了度量單位的稱謂，在實(shí)質(zhì)上是脫離了數(shù)量所依賴的具體的現(xiàn)實(shí)背景．?dāng)?shù)學(xué)抽象的本質(zhì)就是舍去事物的現(xiàn)實(shí)背景，更確切地，數(shù)學(xué)抽象就是舍棄事物的一切物理屬性．

表示十進(jìn)制自然數(shù)的關(guān)鍵是10個(gè)符號(hào)和數(shù)位，其中的度量單位是1，因此，自然數(shù)是一個(gè)一個(gè)多起來的，皮亞諾就是依據(jù)這個(gè)原則建立了自然數(shù)公理體系．需要特別強(qiáng)調(diào)的是，雖然在教科書中是用加法（相反數(shù)）或者減法定義負(fù)整數(shù)，但中國漢代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》表明，負(fù)整數(shù)與自然數(shù)一樣，也是人們對(duì)數(shù)量抽象的結(jié)果，與對(duì)應(yīng)正整數(shù)之間的關(guān)系是：數(shù)量相等，意義相反[4]．

基于度量單位，那么5就是5個(gè)1，50就是50個(gè)1．因?yàn)槭鞘M(jìn)制，因此自然數(shù)的數(shù)位依次相差10倍，可以用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表示為……104，103，102，101，100，10-1，10-2，10-3，10-4，……在一般的意義上，可以把數(shù)位也看作度量單位．比如，人們通常把5?000讀作5千，這是5個(gè)103的語言表述；把0.05看作5個(gè)0.01，這是對(duì)5個(gè)10-2的理解．這樣認(rèn)識(shí)度量單位的方法，對(duì)于分?jǐn)?shù)度量單位的理解是非常重要的．

雖然分?jǐn)?shù)是數(shù)，被稱為有理數(shù)，但最初的分?jǐn)?shù)是為了表達(dá)兩個(gè)自然數(shù)之間的關(guān)系，主要表達(dá)兩種關(guān)系，一種關(guān)系是整體的等分，另一種關(guān)系是兩個(gè)線段長度的比．

關(guān)于整體等分所表達(dá)的分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)單位的表達(dá)形式可以在古埃及象形文字中找到，是在表達(dá)整數(shù)的符號(hào)上面畫一個(gè)橢圓的符號(hào)，比如，在表示4的符號(hào)上面加上一個(gè)橢圓就表示分?jǐn)?shù)單位1/4．特別是在古埃及，幾乎所有的分?jǐn)?shù)都是通過分?jǐn)?shù)單位和的形式進(jìn)行表達(dá)的[5]．之所以說這樣的分?jǐn)?shù)是整體等分的表達(dá)，還有一個(gè)重要的理由，是因?yàn)楣虐＜叭耸沁@樣表述分?jǐn)?shù)的，比如3份，他們稱3/3是分?jǐn)?shù)的第一個(gè)數(shù)，2/3是分?jǐn)?shù)的第二個(gè)數(shù)，1/3是分?jǐn)?shù)的第三個(gè)數(shù)，這顯然是把整體1分成3等份的表述．這樣的理解延續(xù)至今，現(xiàn)代英語仍然用第三（third）、第四（fourth）、第五（fifth）等順序用語表達(dá)分?jǐn)?shù)單位．與整數(shù)的表達(dá)一樣，基于分?jǐn)?shù)單位，3/5表示的就是3個(gè)1/5．

后來，人們通過四則運(yùn)算和極限運(yùn)算把數(shù)由自然數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，但用以表達(dá)數(shù)的、抽象出來的度量單位沒有發(fā)生實(shí)質(zhì)變化．

2 借助工具得到的度量單位

主要是指基于事物的背景構(gòu)建的度量單位，這樣的度量單位始終含有表達(dá)事物背景指標(biāo)的稱謂，例如，刻畫事物的重量、長度、能量、體積、溫度、速度，等等．這樣的度量單位不是抽象的結(jié)果，而是借助工具制定的．這里用長度單位的演變過程來分析這類度量單位的本質(zhì)．

度量長度的本質(zhì)是度量兩點(diǎn)間距離④，如前所述，這樣的度量依賴的是人對(duì)距離遠(yuǎn)近感知的本能，這樣的度量是需要參照物的．

人們最初度量距離的參照物都是人體自身的器官．在現(xiàn)今的日常生活中，這樣的度量仍然廣泛使用．比如，在中國人們所說的“拃”就是古代中國的“尺”，指的是成年男人大拇指與中指之間的距離，如《孔子家語》中所說：“布手知尺，布指知寸．”還有一個(gè)度量單位是“咫”，指的是成年女人大拇指與中指之間的距離，成語“咫尺之間”說的是相差不大．在西方的許多國家仍然把“英尺”作為度量單位，英文單詞是foot是腳的意思，指的是成年男子一只腳的長度，由于腳的長度因人而異，16世紀(jì)的德國人采用了一個(gè)折中的方法，某禮拜日把從教堂里走出的16個(gè)成年男子集中，測(cè)量每人左腳的長度、加在一起取平均，定義這個(gè)平均數(shù)為英尺的單位長度，延續(xù)至今．

由此可見，這樣制定的長度單位是因人因地而異的，是無法進(jìn)行傳播和交流的，因此長度單位的制定需要從多元走向統(tǒng)一．現(xiàn)在全世界統(tǒng)一使用的長度單位“米”源于法國，1790年，法國科學(xué)家特別委員會(huì)提出建議，定義“米”為巴黎子午線全長的四千萬分之一．為了使用方便，1889年第一屆國際計(jì)量大會(huì)決定，把長度單位“米”固化，用一根相當(dāng)于這個(gè)長度的、截面呈X型的鉑銥合金棒為“米”的基準(zhǔn)，人們稱之為“米原器”，這是第一次在全世界范圍內(nèi)確定的長度標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)在這個(gè)“米原器”保存在巴黎國際計(jì)量局的地下室中．

隨著科學(xué)研究的逐漸深入，人們?cè)絹碓叫枰浅＞?xì)的距離單位，因此長度單位的制定還需要從粗略走向精細(xì)．基于“路程=時(shí)間′速度”的公式，可以通過時(shí)間和速度定義長度單位．根據(jù)愛因斯坦相對(duì)論的假設(shè)，光的速度是絕對(duì)的，因此，當(dāng)人們能精確測(cè)定時(shí)間和光速以后，1967年第十三屆國際度量衡大會(huì)，利用原子鐘原理對(duì)秒給出嚴(yán)格定義：銫133輻射9?192?631?770個(gè)周期的時(shí)間間隔．1983年第十七屆國際計(jì)量大會(huì)通過定義：米長度為光在真空中1/299?792?458秒所經(jīng)過的距離．這樣，人們就精細(xì)地定義了時(shí)間單位和距離單位．通過定義的過程可以看到，無論是古代還是現(xiàn)代，無論是粗略還是精細(xì)，這樣的度量單位的制定都是借助工具的，因此，這樣的度量單位的表達(dá)都是具有量綱的．比如，刻畫時(shí)間的“秒”，刻畫距離的“米”，刻畫重量的“克”，刻畫速度的“米/秒”，等等．

3 相應(yīng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

通過上面的論述可以看到，對(duì)于度量和度量單位的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)當(dāng)注意到下面3個(gè)基本原則．

（1）把握度量單位的數(shù)學(xué)功能和本質(zhì)特征．沒有度量就沒有數(shù)學(xué)，度量是人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的基本工具和表達(dá)語言，是可以因人而異的．度量單位的確立是為了人們能夠?qū)Χ攘窟M(jìn)行統(tǒng)一的表達(dá)和無歧義的交流，因此度量單位必須能夠揭示度量的本質(zhì)，能夠得到人們的共識(shí)．度量的本質(zhì)在于表現(xiàn)事物某些指標(biāo)的順序，比如：數(shù)量的多少以及抽象出來的數(shù)的大??；距離的遠(yuǎn)近；重量的輕重；速度的快慢．

（2）把握度量單位的形成過程和表達(dá)形式．度量單位的形成大體都經(jīng)歷了從多元到統(tǒng)一，從粗糙到精細(xì)的過程，這是為了日常生活的表達(dá)和科學(xué)研究的需要．雖然度量單位都是人規(guī)定的，但就形成過程而言，大體可以分為兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結(jié)果；另一類是借助工具得到的，是人實(shí)踐的結(jié)果．

（3）把握學(xué)生認(rèn)知度量單位的先天本能和特殊能力．這里特別強(qiáng)調(diào)，人之所以能夠進(jìn)行度量，并且能夠?qū)Χ攘繂挝坏玫綇V泛共識(shí)，是基于人的兩個(gè)先天本能，這就是對(duì)數(shù)量多少的感知和對(duì)距離遠(yuǎn)近的感知．這兩個(gè)先天本能是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、度量和度量單位的思維基礎(chǔ)，又因?yàn)槿司哂谐橄蠛拖胂筮@兩種特殊能力，因此可以把兩個(gè)先天本能延伸到對(duì)事物某些指標(biāo)順序的感知．

對(duì)于具體教學(xué)方法的設(shè)計(jì)而言，上述第二條基本原則是首要的，也就是說，首先要分析清楚所要教學(xué)的度量和度量單位是通過什么形式得到的，進(jìn)而可以采取不同的教學(xué)策略．在確定了教學(xué)策略以后，再合適地融入第一條和第三條基本原則．第一條基本原則是為了明確教學(xué)過程的核心思想和基本框架，在教學(xué)過程中突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)．第三條基本原則強(qiáng)調(diào)注重學(xué)生認(rèn)知過程，在教學(xué)過程中不僅要關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握，還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成．下面，簡單描述這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)過程．

基于第二條基本原則，對(duì)所要教學(xué)的內(nèi)容確定度量和度量單位的形式，如前所述，形式主要分為兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結(jié)果；一類是借助工具得到的，是人實(shí)踐的結(jié)果．

對(duì)于通過抽象得到的度量和度量單位，低年級(jí)的教學(xué)最好采用對(duì)應(yīng)的方法，這不僅僅是因?yàn)槭M(jìn)制就是對(duì)應(yīng)于人的十指，事實(shí)上，通過對(duì)應(yīng)認(rèn)識(shí)和理解事物的數(shù)量關(guān)系是最原始的，也最有效的方法，古埃及和古巴比倫最初的數(shù)學(xué)表達(dá)都是采用對(duì)應(yīng)的方法，可以在一些圖中發(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí)[8]．正因?yàn)槿绱?，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言中，對(duì)應(yīng)是一個(gè)不加定義的原始概念．

比如，可以把3個(gè)蘋果、3個(gè)橘子對(duì)應(yīng)3個(gè)小方塊，把4個(gè)蘋果、4個(gè)橘子對(duì)應(yīng)4個(gè)小方塊，并且讓學(xué)生知道這些量的稱謂，能夠分辨4個(gè)比3個(gè)多．這是從感性具體上升到感性一般的思維過程，是數(shù)學(xué)抽象的第一步，目的就是逐漸舍去蘋果橘子等事物的物理屬性，僅保留事物的量以及量之間的多少關(guān)系．正如第三條基本原則所論述的那樣，對(duì)數(shù)量多少的感知是人的本能，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)基于并且發(fā)展這種本能．

下面用數(shù)字對(duì)量的稱謂進(jìn)行符號(hào)表達(dá)，比如，用3、4分別對(duì)3個(gè)小方塊、4個(gè)小方塊進(jìn)行符號(hào)表達(dá)，同時(shí)把量之間的多少關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)之間的大小關(guān)系．可以看到，用符號(hào)3表示3個(gè)小方塊，比直接表示3個(gè)蘋果、3個(gè)橘子要便于學(xué)生理解數(shù)字符號(hào)的意義，可以讓學(xué)生感知和感悟符號(hào)表達(dá)是具有一般性的；特別是，通過這樣的數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生形成直觀想象的能力，這是數(shù)學(xué)抽象不可缺少的能力．事實(shí)上，對(duì)于自然數(shù)加法的教學(xué)，也可以采用這樣的對(duì)應(yīng)的方法[4]．

到了高年級(jí)，可以讓學(xué)生逐漸感悟抽象度量的本質(zhì)：自然數(shù)是一個(gè)一個(gè)大起來的，其中的1就是度量單位，進(jìn)而引申到數(shù)位：個(gè)、十、百、千、萬等．比如，認(rèn)識(shí)10?000這個(gè)數(shù)，可以讓學(xué)生思考：用“千”可以表示的最大的自然數(shù)是9?999，如果又有了一個(gè)1，那么如何稱呼和表達(dá)這個(gè)新的數(shù)呢？古代中國發(fā)明了“萬”這個(gè)單位，可以把這個(gè)新的數(shù)讀為1萬；西方?jīng)]有發(fā)明新的單位，可以把這個(gè)數(shù)直接讀為10千．雖然讀的方法可以不同，但這個(gè)數(shù)的表示方法是一樣的：10?000．與此同時(shí)，可以讓學(xué)生自然而然地知道，10?000個(gè)比9?999個(gè)多1個(gè)，10?000比9?999大1．正如第一條基本原則所論述的那樣，度量的本質(zhì)在于表現(xiàn)事物某些指標(biāo)的順序．這是從感性一般上升到理性具體的思維過程，實(shí)現(xiàn)了更高層次的數(shù)學(xué)抽象．

這樣的教學(xué)活動(dòng)是整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施的．通過這樣的教學(xué)活動(dòng)，不僅能夠讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解數(shù)，知道表達(dá)自然數(shù)的關(guān)鍵是10個(gè)符號(hào)和數(shù)位，還能讓學(xué)生感悟符號(hào)表達(dá)的意義；能讓學(xué)生知道數(shù)量的本質(zhì)是多少關(guān)系，與此對(duì)應(yīng)，數(shù)的本質(zhì)是大小關(guān)系，逐漸感悟度量的數(shù)學(xué)本質(zhì)和度量單位的重要性．與此同時(shí)，通過合適的教學(xué)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從感性具體上升到感性一般，從感性一般上升到理性具體的思維過程⑤，體驗(yàn)什么是數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)抽象的層次性．這樣的教育就是重視過程的教育，經(jīng)歷過程有利于培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，形成數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．

對(duì)于通過工具得到的度量和度量單位，與通過抽象得到的數(shù)的最大區(qū)別是，這時(shí)的度量不僅不能舍去事物的物理背景，還要抓住物理背景的本質(zhì)，基于物理背景的指標(biāo)構(gòu)建用于度量的類，不同的類度量采用不同的度量方法．比如，這些指標(biāo)可以是長度、重量、容量、速度等．度量方法可以因人而異、多種多樣，但是有一點(diǎn)是共同的，就是必須借助工具．雖然度量方法可以多種多樣，但是為了傳播和交流的需要，必須建立統(tǒng)一的度量語言，這就是度量單位⑥．

無論是什么樣的度量和度量單位，其中的量，最終都必須通過數(shù)予以表達(dá)，并且都是基于1度量單位進(jìn)行表達(dá)的，不同的是，這時(shí)1的后面必須綴有度量單位稱謂．比如，對(duì)應(yīng)于長度、質(zhì)量、容量、速度等不同的指標(biāo)，對(duì)應(yīng)的度量單位的稱謂可以是米、克、毫升、米/秒，等等．因此，可以把長度指標(biāo)的5米理解為5個(gè)1米，質(zhì)量指標(biāo)5克理解為5個(gè)1克．這樣，人們就可以通過數(shù)的大小順序表達(dá)數(shù)量長短、輕重、多少、快慢的順序．這些，就是第一條基本原則所述說的數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)．

既然現(xiàn)實(shí)背景如此豐富多彩，那么，就應(yīng)當(dāng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境和提出合適的數(shù)學(xué)問題．在教學(xué)活動(dòng)中，甚至可以讓學(xué)生根據(jù)情境和問題的需要，自己或小組決定用什么樣的度量工具．在這個(gè)過程中讓學(xué)生感知，選取度量工具的不同，可能會(huì)影響度量的精確性，比如，度量課桌的長度，用鉛筆的長度做度量單位與用橡皮的長度做度量單位，度量的精確性是不一樣的．最終讓學(xué)生感悟統(tǒng)一度量單位的必要性．在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注意到，對(duì)距離遠(yuǎn)近的感知是人的本能，要利用和發(fā)展這樣的本能，讓學(xué)生知道，應(yīng)當(dāng)根據(jù)事物的背景選用合適的度量單位．比如，測(cè)量鉛筆的長度用厘米，測(cè)量書桌的長度用分米，測(cè)量教室的長度用米，等等．通過這樣的過程的教育，幫助學(xué)生建立數(shù)感，形成直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．這些，就體現(xiàn)了第三條基本原則所述說的培養(yǎng)學(xué)生思維能力的要求．

無論是采用什么樣的教學(xué)策略，設(shè)計(jì)什樣的教學(xué)過程，最終的教學(xué)目標(biāo)都是培養(yǎng)學(xué)生：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼睛看，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維想，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言說．么

[1] 中國社會(huì)科學(xué)院語言研究所詞典編輯室．現(xiàn)代漢語詞典[M]．北京：商務(wù)印書館，2004：245．

[2] 昂利·彭加勒．科學(xué)與方法[M]．李醒民，譯．北京：商務(wù)印書館，2006：74．

[3] 史寧中．試論教育的本原[J]．教育研究，2009，30（8）：3-10．

[4] 史寧中．基本概念與運(yùn)算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M]．北京：高等教育出版社，2013：5-6．

[5] 梁宗巨．世界數(shù)學(xué)通史（上）[M]．沈陽：遼寧教育出版社，2001：168．

[6] 史寧中，娜仁格日樂．小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的比及其教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（2）：2-5．

[7] 科士青．幾何學(xué)基礎(chǔ)[M]．蘇步青，譯．北京：商務(wù)印書館，1954：20．

[8] 李文林．?dāng)?shù)學(xué)史概論[M]．北京：高等教育出版社，2002：11-13．

①人的先天本能就是能在動(dòng)物，特別是哺乳動(dòng)物那里普遍找到原型的那些東西．

②有時(shí)不需要具體的稱謂，但需要保持理念．例如，在數(shù)軸上設(shè)置合適的單位長度，這就保持了度量單位的理念．

③主要是指殷墟甲骨文，其中大量記載祭祀的事情，涉及到數(shù)量，這或許是與上天或者祖先的一種對(duì)話形式．殷墟在現(xiàn)今河南安陽小屯村一帶，商王盤庚于公元前14世紀(jì)左右遷都于此，至紂亡國，歷8代12王273年．

④在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，把“兩點(diǎn)間直線段最短”作為一個(gè)基本事實(shí)，因此，兩點(diǎn)間距離等價(jià)于兩點(diǎn)間直線段長度．

⑤在這個(gè)意義上，用字母表示數(shù)就是從理性具體上升到理性一般．

⑥可以講述合適的數(shù)學(xué)文化，比如，秦始皇統(tǒng)一中國之后做的第一件事情就是統(tǒng)一文字和度量衡，統(tǒng)一度量衡的實(shí)質(zhì)就是統(tǒng)一度量單位．

The Essence of the Measurement Units and the Primary School Mathematics Teaching

Na ren ge ri le, SHI Ning-zhong

(Northeast Normal University, School of Mathematics and Statistics, Jilin Changchun 130024, China)

Measurement was the essence of mathematics, which was a tool created by human beings to understand mathematics and then to learn about the present world, varying from person to person. The unit of measurement was the standardization of measurement methods of different individuals, and it could be got a broad consensus. The essence of measurement was the order in which some indicators of things were represented. The reason why people could measure and gain broad consensus on measurement units was based on two innate instincts, namely, the perception of quantity and the sense of distance. What’s more, people had two special abilities, abstract and imagination. Thus, for human beings, it could extend to some indicators of things based on two special abilities and two innate instincts to quantify and quantify the order. Measurement mainly included two kinds, one was obtained by abstract, which was the result of human thinking; the other was obtained by means of tools, which was the result of human practice. Therefore, in the process of teaching primary school mathematics related content, what we should do was to utilize and develop the student’s innate instinct and special abilities, distinguish the nature of the two kinds of measurement, and build appropriate teaching methods including designing appropriate teaching situation and putting forward appropriate mathematical problems. Moreover, we enable students to understand the mathematical ideas contained in measurement units while developing students’ knowledge and skills, and cultivate their symbols consciousness and number sense, and finally form the mathematical literacy of mathematical abstraction and visual imagination.

measurement units; primary school mathematics; mathematics teaching

G622

A

1004–9894（2018）06–0013–04

娜仁格日樂，史寧中．度量單位的本質(zhì)及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（6）：13-16．

2018–06–22

中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量檢測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心自主課題——國家義務(wù)教育質(zhì)量檢測(cè)等值方案研究（2016-03-004-BZK01）

娜仁格日樂（1981—），女，蒙古族，內(nèi)蒙古赤峰人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]