一道高考試題的探究與溯源

黃旭東

(湖北省黃石市第一中學(xué) 435000)

一、試題呈現(xiàn)(2018年新課標(biāo)1中20題)

二、試題探究

(2)(官方解答)當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°;

當(dāng)l與x軸時(shí)垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

對(duì)(2)下面從不同的視角進(jìn)行探究，作出幾種不同解答.

視角一 考慮到若將坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)平移到M點(diǎn)，則計(jì)算kMA+kMB時(shí)，利用韋達(dá)定理可較快計(jì)算出結(jié)果，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.要說明的是這種方法是對(duì)方法一的改進(jìn).

故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠OMA=∠OMB.

視角二 要證∠OMA=∠OMB，考慮點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A′ ,則必有A′,B,M三點(diǎn)共線即可.

法2 (利用軸軸對(duì)稱，證明三點(diǎn)共線)

則kMA′=kMB，故M,A′,B三點(diǎn)共線.由于A(x1,y1)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A′(x1,-y1),則∠OMA=∠OMB

視角三 巧妙構(gòu)建過定點(diǎn)M(2，0)的二次齊次式，處理斜率問題.

法3 當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°.

視角四 考慮角平分線性質(zhì)，結(jié)合極坐標(biāo)工具，可化成極坐標(biāo)求解.

視角五 考慮角平分線性質(zhì)，結(jié)合參數(shù)方程工具，可利用參數(shù)求解

法5 設(shè)直線l傾斜角為θ，則直線l的參數(shù)方程為

三、試題溯源

本題來源于下面定理

證明過程同上面方法相似，限于篇幅，此處略.同理類似上述性質(zhì)可推廣到雙曲線與拋物線，即有：

定理3 設(shè)拋物線：C：y2=2px(p>0),直線l過點(diǎn)P(t,0)與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-m，0) 則有∠OMA=∠OMB.