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    規(guī)律:在探究思辨中建構(gòu)
    ——“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)化成有限小數(shù)”錯(cuò)例改進(jìn)策略探尋

    2018-12-26 06:37:34浙江紹興市嵊州剡溪小學(xué)312400
    小學(xué)教學(xué)參考 2018年35期
    關(guān)鍵詞:能化成質(zhì)因數(shù)分母

    浙江紹興市嵊州剡溪小學(xué)(312400)

    “最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)”是人教版教材五年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容,2012年的修訂版教材中已不把這個(gè)知識(shí)列為正式的教學(xué)內(nèi)容,而是安排閱讀材料“你知道嗎?”,讓學(xué)生了解后在練習(xí)中適當(dāng)加以鞏固。在期末總復(fù)習(xí)的測(cè)試中有這樣一題:“這七個(gè)分?jǐn)?shù)中,能化成有限小數(shù)的有( )個(gè)?!睂W(xué)生的錯(cuò)誤率較高,最高的班級(jí)達(dá)到44.7%,最低的班級(jí)也有23%,學(xué)生認(rèn)為有限小數(shù)有2個(gè)或3個(gè)的較多。為此,筆者進(jìn)行了錯(cuò)例研究。

    一、訪(fǎng)談?dòng)涗?/h2>

    【錯(cuò)例1】能化成有限小數(shù)的有(2個(gè))。

    師:你是怎么想的?

    生1:我一個(gè)個(gè)看,一個(gè)個(gè)判斷。

    師:你是怎么判斷的?

    生1:看分母是不是只有因數(shù)2或5。8只有因數(shù)2,25只有因數(shù)5。因此填了2個(gè)。

    師:還有什么要注意的嗎?

    (學(xué)生沉默)

    師:要不要考慮分?jǐn)?shù)是不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)?

    生1:要,我忘記這點(diǎn)了。

    【錯(cuò)例2】能化成有限小數(shù)的有(3個(gè))。

    師:你是怎么思考的?

    生2:我是用分子除以分母的方法。

    師:除時(shí)碰到什么問(wèn)題了嗎?

    生2:要除好幾次,太麻煩了。

    師:是有點(diǎn)麻煩,那你每個(gè)分?jǐn)?shù)都除了嗎?

    生2:因?yàn)樘闊?,后面兩個(gè)就沒(méi)有再除了,都當(dāng)成不能的了。

    師:老師講過(guò)其他判斷的方法嗎?

    生2:沒(méi)有。

    二、錯(cuò)因追溯

    1.教材層面——改為附加閱讀

    根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)因數(shù)和倍數(shù)內(nèi)容的調(diào)整,人教版教材五年級(jí)下冊(cè)第四單元“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”中“質(zhì)因數(shù)”“分解質(zhì)因數(shù)”“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)化成有限小數(shù)”等內(nèi)容,已作為閱讀性材料“你知道嗎?”

    你知道嗎?

    你知道什么樣的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)嗎?你想了解這個(gè)規(guī)律嗎?

    其實(shí),只要把分?jǐn)?shù)的分母分解質(zhì)因數(shù),就能知道一個(gè)分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)。

    如果分母中除了2和5以外,不含有其他質(zhì)因數(shù),這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)。

    如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

    “你知道嗎?”旨在于拓寬知識(shí)的延展性,讓學(xué)生了解后跳一跳摘到更好的“桃子”。表1就是五年級(jí)下冊(cè)中與“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”相關(guān)的“你知道嗎?”。從課本第56頁(yè)到第79頁(yè),短短24頁(yè)中就出現(xiàn)了6次“你知道嗎?”,所涉及的內(nèi)容都是與這單元內(nèi)容相匹配的輔助知識(shí)。此部分內(nèi)容對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)自學(xué)難度較高,為取得更好的學(xué)習(xí)效果,教師應(yīng)在課中進(jìn)行教學(xué),讓學(xué)生理解并掌握方法。

    表1 五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中“你知道嗎?”內(nèi)容統(tǒng)計(jì)表

    2.教師層面——閱讀材料起困擾

    教材編排上的這些改變給教師帶來(lái)了一定的困擾:這些“閱讀材料”是教還是不教?不教,學(xué)生不知道;作為閱讀內(nèi)容在課堂上簡(jiǎn)略帶過(guò),學(xué)生模模糊糊,沒(méi)有印象;作為知識(shí)內(nèi)容教,那得增加課時(shí)和工作量。教師指導(dǎo)用書(shū)對(duì)這部分內(nèi)容給出的建議是“學(xué)生自學(xué)與老師指導(dǎo)相結(jié)合”。這樣的界定是含糊的,教師應(yīng)該教到哪種程度是不明晰的。這樣就導(dǎo)致教師不能準(zhǔn)確及適度地把握“閱讀材料”的教學(xué)要求,在實(shí)際教學(xué)中沒(méi)能采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)措施而導(dǎo)致了學(xué)生知識(shí)上的缺失。

    3.學(xué)生層面——自學(xué)難

    這些閱讀材料知識(shí)性強(qiáng),學(xué)生難以自主理解,加上閱讀材料內(nèi)容簡(jiǎn)練,對(duì)于具體的方法沒(méi)有詳細(xì)的介紹,而只是簡(jiǎn)單舉例,學(xué)生要在單個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子中掌握解決問(wèn)題的方法是非常困難的,因?yàn)閷W(xué)生的感知和思維是碎片化的,很難串聯(lián)起來(lái)。如果教師在教學(xué)時(shí)避而不教或簡(jiǎn)單帶過(guò),學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)就只會(huì)用常規(guī)方法(分子除以分母)嘗試解決,過(guò)程比較麻煩,容易出錯(cuò);如果教師扎扎實(shí)實(shí)地教了,學(xué)生在總復(fù)習(xí)階段也會(huì)忘了“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”這個(gè)前提條件,直接根據(jù)分母中的質(zhì)因數(shù)來(lái)判斷,導(dǎo)致錯(cuò)誤。

    三、策略改進(jìn)

    1.多樣探究知規(guī)律

    (1)種子課上來(lái)追問(wèn)

    “分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化”的種子課上,在教學(xué)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)的常規(guī)方法即分子除以分母之后,可以增加一個(gè)追問(wèn)環(huán)節(jié):“為什么這些分?jǐn)?shù)能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)呢?和分子有關(guān)?還是和分母有關(guān)?這些分母又有什么特點(diǎn)呢?”將“你知道嗎?”的內(nèi)容在這里滲透、拓展,將學(xué)生的思維推向更深層次,為種子課增添色彩。

    (2)練習(xí)課上來(lái)拓展

    再結(jié)合教材的習(xí)題:

    把下面的分?jǐn)?shù)化成有限小數(shù)(不能化成有限小數(shù)的保留兩位小數(shù))。

    引導(dǎo)學(xué)生按照能否化成有限小數(shù)來(lái)分類(lèi),并進(jìn)一步探究:能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)和不能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)有什么特點(diǎn)?讓學(xué)生在思考討論的基礎(chǔ)上閱讀教材中的“你知道嗎?”,從而了解規(guī)律。這樣既合乎課程標(biāo)準(zhǔn)的要求——降低了教學(xué)難度,給予學(xué)生結(jié)合實(shí)例驗(yàn)證規(guī)律的過(guò)程,又有效拓展了學(xué)生的思維和開(kāi)闊了學(xué)生的視野。

    【教學(xué)片段】

    師:下面的分?jǐn)?shù)哪些能化成有限小數(shù)?哪些不能化成有限小數(shù)?

    生1:能化成有限小數(shù),不能化成有限小數(shù)。

    師:想一想,能化成有限小數(shù)的這些分?jǐn)?shù)有什么特點(diǎn)?

    生2:能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)的分母都是10、100、1000,分母是25、125、20的也能化成有限小數(shù)。

    生3(迫不及待地):分母是25、125、20的分?jǐn)?shù)能擴(kuò)大成分母是100、1000的分?jǐn)?shù),也能化成有限小數(shù)。

    師:那么不能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)又有什么特點(diǎn)?

    生4:分母不能擴(kuò)大成10、100、1000的分?jǐn)?shù)。

    師:分母是30、9、6的分?jǐn)?shù)為什么不能擴(kuò)大成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)呢?

    生5:因?yàn)檎也坏揭粋€(gè)與它們相乘會(huì)得到10、100、1000的數(shù)。

    生6:因?yàn)?0、9、6不是100、1000的約數(shù)。

    師:30確實(shí)不是100、1000的約數(shù)。這是因?yàn)?0里面還有什么?10、100、1000里面不含有什么?

    (學(xué)生都沉默了)

    生7:因?yàn)?0里面有一個(gè)3,10、100、1000里面沒(méi)有3。

    (學(xué)生繼續(xù)沉默)

    師:這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)難為大家了。請(qǐng)大家看課本第79頁(yè)的“你知道嗎?”

    (學(xué)生閱讀課本)

    師:現(xiàn)在你知道是什么原因了嗎?

    生8:因?yàn)?0=2×3×5,除了2和5外,含有質(zhì)因數(shù)3,所以30不能化成有限小數(shù)。

    生9:9=3×3,6=2×3,9和6也含有質(zhì)因數(shù)3,都不能化成有限小數(shù)。

    師:分母是25、125、20的為什么能化成有限小數(shù)?

    生10:因?yàn)?5=5×5,125=5×5×5,20=2×2×5,它們的分母中只含有質(zhì)因數(shù)2或5,所以能化成有限小數(shù)。

    師:分母中除了2和5以外,不含有其他的質(zhì)因數(shù),這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)。而含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。想一想,這是為什么?

    生11:因?yàn)橛?和5以外的質(zhì)因數(shù),就不能擴(kuò)大成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)了。

    師:大家聽(tīng)明白了嗎?誰(shuí)再來(lái)說(shuō)說(shuō)。

    ……

    教師提供充足的時(shí)間和空間,讓學(xué)生自主探究規(guī)律,在學(xué)生的思維受阻時(shí),讓學(xué)生自主閱讀課本材料“你知道嗎?”,適度地降低了教學(xué)難度。通過(guò)對(duì)材料的理解和質(zhì)疑,學(xué)生進(jìn)一步感知了這個(gè)規(guī)律的內(nèi)涵。

    2.質(zhì)疑驗(yàn)證明規(guī)律

    有了第一條順向思考的策略,再結(jié)合反向驗(yàn)證的操作,學(xué)生就能知其然并知其所以然。結(jié)合種子課和練習(xí)課的相關(guān)訓(xùn)練,初步讓學(xué)生了解規(guī)律后,教師就要引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑“這是為什么?”,從而引發(fā)學(xué)生的頭腦風(fēng)暴。

    第一環(huán)節(jié):神奇變變變。讓學(xué)生通過(guò)分解10、100、1000等數(shù),直觀(guān)地感受只含有質(zhì)因數(shù)2和5的事實(shí)。

    第二環(huán)節(jié):破壞加加加。讓學(xué)生加入其他的質(zhì)因數(shù),“搞破壞”,導(dǎo)致那些數(shù)永遠(yuǎn)成不了整十、整百、整千的數(shù)。

    第三環(huán)節(jié):超級(jí)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)。讓學(xué)生感知只有分母是整十、整百、整千的數(shù)才能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)。

    這三大環(huán)節(jié)就能使學(xué)生明確最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母中只有含有質(zhì)因數(shù)2和5的分?jǐn)?shù)能轉(zhuǎn)化成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù),能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù);分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)就不能轉(zhuǎn)化成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù),也就不能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)了。在學(xué)生知其所以然的基礎(chǔ)上,教師再讓學(xué)生嘗試著自己舉例來(lái)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律,自然就能提升學(xué)生的思維能力。

    3.鞏固拓展用規(guī)律

    有了補(bǔ)充教學(xué),就可以讓學(xué)生在練習(xí)中結(jié)合具體內(nèi)容,自主綜合運(yùn)用。教師只需要出示分?jǐn)?shù)讓學(xué)生運(yùn)用規(guī)律來(lái)判斷其能否化成有限小數(shù),并說(shuō)明理由即可。這樣,學(xué)生就能進(jìn)一步明確“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”這個(gè)前提,并能熟練應(yīng)用這個(gè)規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題,提升了自身的思維能力和解決問(wèn)題的能力。

    站在學(xué)生的角度去探尋錯(cuò)誤的源頭,分析錯(cuò)誤成因,思索消滅錯(cuò)誤的策略,沿著這樣的路徑,我們有效地達(dá)成了“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)”規(guī)律的建模目標(biāo),真正讓學(xué)生在自主探究和思辨感悟中破繭成蝶。

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