規(guī)律：在探究思辨中建構(gòu)
——“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)化成有限小數(shù)”錯(cuò)例改進(jìn)策略探尋

浙江紹興市嵊州剡溪小學(xué)（312400）

“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)”是人教版教材五年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，2012年的修訂版教材中已不把這個(gè)知識(shí)列為正式的教學(xué)內(nèi)容，而是安排閱讀材料“你知道嗎？”，讓學(xué)生了解后在練習(xí)中適當(dāng)加以鞏固。在期末總復(fù)習(xí)的測(cè)試中有這樣一題：“這七個(gè)分?jǐn)?shù)中，能化成有限小數(shù)的有（ ）個(gè)?！睂W(xué)生的錯(cuò)誤率較高，最高的班級(jí)達(dá)到44.7%，最低的班級(jí)也有23%，學(xué)生認(rèn)為有限小數(shù)有2個(gè)或3個(gè)的較多。為此，筆者進(jìn)行了錯(cuò)例研究。

一、訪(fǎng)談?dòng)涗?/h2>

【錯(cuò)例1】能化成有限小數(shù)的有（2個(gè)）。

師：你是怎么想的？

生1：我一個(gè)個(gè)看，一個(gè)個(gè)判斷。

師：你是怎么判斷的？

生1：看分母是不是只有因數(shù)2或5。8只有因數(shù)2，25只有因數(shù)5。因此填了2個(gè)。

師：還有什么要注意的嗎？

（學(xué)生沉默）

師：要不要考慮分?jǐn)?shù)是不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)？

生1：要，我忘記這點(diǎn)了。

【錯(cuò)例2】能化成有限小數(shù)的有（3個(gè)）。

師：你是怎么思考的？

生2：我是用分子除以分母的方法。

師：除時(shí)碰到什么問(wèn)題了嗎？

生2：要除好幾次，太麻煩了。

師：是有點(diǎn)麻煩，那你每個(gè)分?jǐn)?shù)都除了嗎？

生2：因?yàn)樘闊?，后面兩個(gè)就沒(méi)有再除了，都當(dāng)成不能的了。

師：老師講過(guò)其他判斷的方法嗎？

生2：沒(méi)有。

二、錯(cuò)因追溯

1.教材層面——改為附加閱讀

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)因數(shù)和倍數(shù)內(nèi)容的調(diào)整，人教版教材五年級(jí)下冊(cè)第四單元“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”中“質(zhì)因數(shù)”“分解質(zhì)因數(shù)”“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)化成有限小數(shù)”等內(nèi)容，已作為閱讀性材料“你知道嗎？”

你知道嗎?

你知道什么樣的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)嗎?你想了解這個(gè)規(guī)律嗎?

其實(shí)，只要把分?jǐn)?shù)的分母分解質(zhì)因數(shù)，就能知道一個(gè)分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)。

如果分母中除了2和5以外，不含有其他質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)。

如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

“你知道嗎？”旨在于拓寬知識(shí)的延展性，讓學(xué)生了解后跳一跳摘到更好的“桃子”。表1就是五年級(jí)下冊(cè)中與“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”相關(guān)的“你知道嗎？”。從課本第56頁(yè)到第79頁(yè)，短短24頁(yè)中就出現(xiàn)了6次“你知道嗎？”，所涉及的內(nèi)容都是與這單元內(nèi)容相匹配的輔助知識(shí)。此部分內(nèi)容對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)自學(xué)難度較高，為取得更好的學(xué)習(xí)效果，教師應(yīng)在課中進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生理解并掌握方法。

表1 五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中“你知道嗎？”內(nèi)容統(tǒng)計(jì)表

2.教師層面——閱讀材料起困擾

教材編排上的這些改變給教師帶來(lái)了一定的困擾：這些“閱讀材料”是教還是不教？不教，學(xué)生不知道；作為閱讀內(nèi)容在課堂上簡(jiǎn)略帶過(guò)，學(xué)生模模糊糊，沒(méi)有印象；作為知識(shí)內(nèi)容教，那得增加課時(shí)和工作量。教師指導(dǎo)用書(shū)對(duì)這部分內(nèi)容給出的建議是“學(xué)生自學(xué)與老師指導(dǎo)相結(jié)合”。這樣的界定是含糊的，教師應(yīng)該教到哪種程度是不明晰的。這樣就導(dǎo)致教師不能準(zhǔn)確及適度地把握“閱讀材料”的教學(xué)要求，在實(shí)際教學(xué)中沒(méi)能采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)措施而導(dǎo)致了學(xué)生知識(shí)上的缺失。

3.學(xué)生層面——自學(xué)難

這些閱讀材料知識(shí)性強(qiáng)，學(xué)生難以自主理解，加上閱讀材料內(nèi)容簡(jiǎn)練，對(duì)于具體的方法沒(méi)有詳細(xì)的介紹，而只是簡(jiǎn)單舉例，學(xué)生要在單個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子中掌握解決問(wèn)題的方法是非常困難的，因?yàn)閷W(xué)生的感知和思維是碎片化的，很難串聯(lián)起來(lái)。如果教師在教學(xué)時(shí)避而不教或簡(jiǎn)單帶過(guò)，學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)就只會(huì)用常規(guī)方法（分子除以分母）嘗試解決，過(guò)程比較麻煩，容易出錯(cuò)；如果教師扎扎實(shí)實(shí)地教了，學(xué)生在總復(fù)習(xí)階段也會(huì)忘了“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”這個(gè)前提條件，直接根據(jù)分母中的質(zhì)因數(shù)來(lái)判斷，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

三、策略改進(jìn)

1.多樣探究知規(guī)律

（1）種子課上來(lái)追問(wèn)

“分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化”的種子課上，在教學(xué)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)的常規(guī)方法即分子除以分母之后，可以增加一個(gè)追問(wèn)環(huán)節(jié)：“為什么這些分?jǐn)?shù)能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)呢？和分子有關(guān)？還是和分母有關(guān)？這些分母又有什么特點(diǎn)呢？”將“你知道嗎？”的內(nèi)容在這里滲透、拓展，將學(xué)生的思維推向更深層次，為種子課增添色彩。

（2）練習(xí)課上來(lái)拓展

再結(jié)合教材的習(xí)題：

把下面的分?jǐn)?shù)化成有限小數(shù)（不能化成有限小數(shù)的保留兩位小數(shù)）。

引導(dǎo)學(xué)生按照能否化成有限小數(shù)來(lái)分類(lèi)，并進(jìn)一步探究：能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)和不能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)有什么特點(diǎn)？讓學(xué)生在思考討論的基礎(chǔ)上閱讀教材中的“你知道嗎？”，從而了解規(guī)律。這樣既合乎課程標(biāo)準(zhǔn)的要求——降低了教學(xué)難度，給予學(xué)生結(jié)合實(shí)例驗(yàn)證規(guī)律的過(guò)程，又有效拓展了學(xué)生的思維和開(kāi)闊了學(xué)生的視野。

【教學(xué)片段】

師：下面的分?jǐn)?shù)哪些能化成有限小數(shù)？哪些不能化成有限小數(shù)？

生1：能化成有限小數(shù)，不能化成有限小數(shù)。

師：想一想，能化成有限小數(shù)的這些分?jǐn)?shù)有什么特點(diǎn)？

生2：能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)的分母都是10、100、1000，分母是25、125、20的也能化成有限小數(shù)。

生3（迫不及待地）：分母是25、125、20的分?jǐn)?shù)能擴(kuò)大成分母是100、1000的分?jǐn)?shù)，也能化成有限小數(shù)。

師：那么不能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)又有什么特點(diǎn)？

生4：分母不能擴(kuò)大成10、100、1000的分?jǐn)?shù)。

師：分母是30、9、6的分?jǐn)?shù)為什么不能擴(kuò)大成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)呢？

生5：因?yàn)檎也坏揭粋€(gè)與它們相乘會(huì)得到10、100、1000的數(shù)。

生6：因?yàn)?0、9、6不是100、1000的約數(shù)。

師：30確實(shí)不是100、1000的約數(shù)。這是因?yàn)?0里面還有什么？10、100、1000里面不含有什么？

（學(xué)生都沉默了）

生7：因?yàn)?0里面有一個(gè)3，10、100、1000里面沒(méi)有3。

（學(xué)生繼續(xù)沉默）

師：這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)難為大家了。請(qǐng)大家看課本第79頁(yè)的“你知道嗎？”

（學(xué)生閱讀課本）

師：現(xiàn)在你知道是什么原因了嗎？

生8：因?yàn)?0=2×3×5，除了2和5外，含有質(zhì)因數(shù)3，所以30不能化成有限小數(shù)。

生9：9=3×3，6=2×3，9和6也含有質(zhì)因數(shù)3，都不能化成有限小數(shù)。

師：分母是25、125、20的為什么能化成有限小數(shù)？

生10：因?yàn)?5=5×5，125=5×5×5，20=2×2×5，它們的分母中只含有質(zhì)因數(shù)2或5，所以能化成有限小數(shù)。

師：分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)。而含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。想一想，這是為什么？

生11：因?yàn)橛?和5以外的質(zhì)因數(shù)，就不能擴(kuò)大成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)了。

師：大家聽(tīng)明白了嗎？誰(shuí)再來(lái)說(shuō)說(shuō)。

……

教師提供充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自主探究規(guī)律，在學(xué)生的思維受阻時(shí)，讓學(xué)生自主閱讀課本材料“你知道嗎？”，適度地降低了教學(xué)難度。通過(guò)對(duì)材料的理解和質(zhì)疑，學(xué)生進(jìn)一步感知了這個(gè)規(guī)律的內(nèi)涵。

2.質(zhì)疑驗(yàn)證明規(guī)律

有了第一條順向思考的策略，再結(jié)合反向驗(yàn)證的操作，學(xué)生就能知其然并知其所以然。結(jié)合種子課和練習(xí)課的相關(guān)訓(xùn)練，初步讓學(xué)生了解規(guī)律后，教師就要引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑“這是為什么？”，從而引發(fā)學(xué)生的頭腦風(fēng)暴。

第一環(huán)節(jié)：神奇變變變。讓學(xué)生通過(guò)分解10、100、1000等數(shù)，直觀(guān)地感受只含有質(zhì)因數(shù)2和5的事實(shí)。

第二環(huán)節(jié)：破壞加加加。讓學(xué)生加入其他的質(zhì)因數(shù)，“搞破壞”，導(dǎo)致那些數(shù)永遠(yuǎn)成不了整十、整百、整千的數(shù)。

第三環(huán)節(jié):超級(jí)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)。讓學(xué)生感知只有分母是整十、整百、整千的數(shù)才能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)。

這三大環(huán)節(jié)就能使學(xué)生明確最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母中只有含有質(zhì)因數(shù)2和5的分?jǐn)?shù)能轉(zhuǎn)化成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)，能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)；分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)就不能轉(zhuǎn)化成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)，也就不能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)了。在學(xué)生知其所以然的基礎(chǔ)上，教師再讓學(xué)生嘗試著自己舉例來(lái)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律，自然就能提升學(xué)生的思維能力。

3.鞏固拓展用規(guī)律

有了補(bǔ)充教學(xué)，就可以讓學(xué)生在練習(xí)中結(jié)合具體內(nèi)容，自主綜合運(yùn)用。教師只需要出示分?jǐn)?shù)讓學(xué)生運(yùn)用規(guī)律來(lái)判斷其能否化成有限小數(shù)，并說(shuō)明理由即可。這樣，學(xué)生就能進(jìn)一步明確“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”這個(gè)前提，并能熟練應(yīng)用這個(gè)規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，提升了自身的思維能力和解決問(wèn)題的能力。

站在學(xué)生的角度去探尋錯(cuò)誤的源頭，分析錯(cuò)誤成因，思索消滅錯(cuò)誤的策略，沿著這樣的路徑，我們有效地達(dá)成了“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)”規(guī)律的建模目標(biāo)，真正讓學(xué)生在自主探究和思辨感悟中破繭成蝶。