另辟蹊徑 有效引導(dǎo) 化繁為簡(jiǎn)
——例談求陰影部分面積的方法

江蘇蘇州國際外語學(xué)校（215131）

求稍復(fù)雜的陰影部分的面積，是小學(xué)“圖形與幾何”的重點(diǎn)和難點(diǎn)。解決這類問題關(guān)鍵在于因題制宜，將一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形。常用方法有以下五種。

一、切割填補(bǔ)法

切割填補(bǔ)法是通過觀察陰影部分與整體圖形之間的關(guān)系，添加輔助線，切割某個(gè)部分填補(bǔ)整體，從而使不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形。這一方法最為常用、最具代表性，也最為簡(jiǎn)單有效。

【例1】如圖1，四分之一圓的半徑為10厘米，以它的兩條半徑為直徑，在內(nèi)部作兩個(gè)半圓，求陰影部分的面積。

分析：圖1中的陰影部分比較規(guī)則，觀察它的特征，發(fā)現(xiàn)通過添加輔助線進(jìn)行切割，再整體填補(bǔ)，圖1的陰影部分就轉(zhuǎn)化為圖2中的陰影部分，所以所求陰影部分的面積實(shí)際就是等腰直角三角形（如圖2陰影部分）的面積：S=10×10÷2=50（平方厘米）。

圖1

圖2

二、容斥原理法

對(duì)于比較規(guī)則的圖形，用切割填補(bǔ)法雖然也能解決問題，但是卻大費(fèi)周折、浪費(fèi)時(shí)間。這時(shí)運(yùn)用容斥原理法，可以省時(shí)省力，事半功倍。

【例2】如圖3，正方形的邊長為8厘米，求圖中陰影部分的面積。

圖3

分析：圖3是正方形中套著四個(gè)半圓，四個(gè)半圓相加就得到2個(gè)完整的圓，在這個(gè)過程中每個(gè)陰影部分被加了兩次，減去一個(gè)正方形，正好得到陰影部分的面積，那么陰影部分的面積就是S=3.14×4×4×2-8×8=36.48（平方厘米）。

【例3】求圖4陰影部分的面積。（單位：厘米）

圖4

分析：圖4是由直徑為6厘米和8厘米的兩個(gè)半圓和一個(gè)直角三角形組成的，單獨(dú)求陰影部分面積比較困難。認(rèn)真觀察圖形后發(fā)現(xiàn)，陰影部分的面積等于直徑是6厘米和8厘米的兩個(gè)半圓加一個(gè)直角三角形的面積減去直徑是10厘米的大半圓的面積，即S=3.14×（3×3+4×4）÷2+6×8÷2-3.14×5×5÷2=24（平方厘米）。

三、等積轉(zhuǎn)化法

這個(gè)方法與切割填補(bǔ)法類似，都是在忠于題意的前提下實(shí)現(xiàn)對(duì)圖形的轉(zhuǎn)化，通過點(diǎn)的移動(dòng)，改變?cè)袌D形的形狀，但是陰影部分的面積卻不變，實(shí)現(xiàn)的是等積變換。

圖5

【例4】如圖5，已知一大一小兩個(gè)正方形拼湊在一起，大正方形的邊長為8厘米，求陰影部分的面積。

圖6

分析：題目并沒有告知小正方形的邊長，因此要想方設(shè)法將所求陰影部分轉(zhuǎn)化到大正方形中，如圖6。連接AB，得AB∥CD，因此點(diǎn)A和點(diǎn)B到CD的距離相等，得，即原來的陰影部分的面積總和保持不變。（平方厘米）。

【例5】如圖7，求陰影部分的面積。（單位：厘米）

圖7

分析：圖中陰影部分是一個(gè)梯形，它的上底、下底和高都不知道，顯然無法直接求出它的面積。因此，要想方設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)圖形的面積。觀察可知，平行四邊形BCDG的面積等于長方形ABCE的面積（等底等高），兩者都減去同一個(gè)三角形BCF，所以陰影部分的面積等于梯形ABFE的面積（如圖8），即S=（2+6）×4÷2=16（平方厘米）。

圖8

四、旋轉(zhuǎn)移動(dòng)法

一些圖形的陰影部分比較雜亂分散，看似毫無章法，但是進(jìn)行適當(dāng)旋轉(zhuǎn)、移動(dòng)后重新組合在一起，就可以得到一個(gè)較為簡(jiǎn)單的新圖形。

【例6】如圖9，已知大圓的半徑等于小圓的直徑，大圓的半徑為4厘米，求陰影部分的面積。

圖9

圖10

圖11

分析：圖9中陰影部分分為三小塊，分別求出各部分的面積再相加非常困難。仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，可以將圖形旋轉(zhuǎn)拼湊為圖10，陰影部分形如一個(gè)“逗號(hào)”，而整個(gè)大圓可以分成四個(gè)“逗號(hào)”（如圖11），那么陰影部分的面積就是整個(gè)大圓的，即（平方厘米）。

【例7】一張斜邊長為30厘米的紅色直角三角形紙片和一張斜邊為50厘米的藍(lán)色直角三角形紙片以及一張黃色正方形紙片，拼成了一個(gè)大直角三角形（如圖12）。紅、藍(lán)兩張紙片的面積和為多少？

圖12

圖13

分析：要求紅、藍(lán)兩張三角形紙片的面積之和，卻不知道高，很難分別求出面積，因此想辦法將它們合并在一起。因?yàn)辄S色紙片為正方形，邊長相等，所以將紅色三角形旋轉(zhuǎn)至圖13。因?yàn)椤螦+∠C=90°，所以三角形ABC為直角三角形，所以紅色三角形與藍(lán)色三角形的面積之和即為直角邊分別是50厘米和30厘米的三角形ABC的面積，所以紅、藍(lán)兩張紙片的面積和為S=50×30÷2=750（平方厘米）。

五、重新構(gòu)圖法

由于已知條件的限制，直接求解較難，又不能對(duì)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)移動(dòng)或割補(bǔ)填充時(shí)，可以嘗試將圖形重新構(gòu)造成一個(gè)容易求解的圖形。

【例8】如圖14，AB=8厘米，CD=3厘米，∠B=45°，這個(gè)四邊形的面積是多少平方厘米？

圖14

分析：∠A=90°，∠B=45°，充分利用已知條件，構(gòu)造出一個(gè)等腰直角三角形（如圖15），此時(shí)解題思路顯而易見。AB=AE=8厘米，CD=CE=3厘米，四邊形ABCD的面積為S=S△ABE-S△CDE=8×8÷2-3×3÷2=27.5（平方厘米）。

圖15

【例9】如圖16，直角三角形ABC中，AD=15厘米，CE=5厘米，求陰影部分的面積。

圖16

圖17

分析：根據(jù)已知條件很難直接求解，不妨以退為進(jìn)，重新構(gòu)造出一個(gè)方便計(jì)算的長方形（如圖17）。因?yàn)椋云椒嚼迕祝?/p>

當(dāng)然，解決問題時(shí)不應(yīng)孤立或生搬硬套地使用上述方法，而應(yīng)通過觀察與思考，根據(jù)實(shí)際情況綜合、靈活地運(yùn)用上述方法，從而提高解題效率。