高中數(shù)學(xué)解題中的化歸方法及其教學(xué)分析

牛曉東

摘要：隨著現(xiàn)在教育體制改革不斷深入，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重視與日俱增，為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，必須要積極培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想。化歸思想作為數(shù)學(xué)解題方法的一種，能夠有效解決實(shí)際問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；劃歸方法；數(shù)學(xué)教學(xué)

引言：化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，通過(guò)變換轉(zhuǎn)化減少數(shù)學(xué)思維中的抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變成為具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這樣的方式不僅提高學(xué)生解決問(wèn)題的效率，同時(shí)還可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與運(yùn)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。

一、化繁為簡(jiǎn)

現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)更加注重對(duì)于學(xué)生思維邏輯的理解，所以很多的數(shù)學(xué)題目會(huì)有很多的復(fù)雜性的邏輯概念，這樣不僅給學(xué)生的解題帶來(lái)阻礙也會(huì)對(duì)學(xué)生的計(jì)算產(chǎn)生干擾。所以通過(guò)劃歸的方式將復(fù)雜的邏輯概念轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思路或者是已知的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，這樣不僅有效降低復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且還可以幫助學(xué)生理解試題的關(guān)鍵，讓整個(gè)解題思路變得更加的直觀簡(jiǎn)單。通過(guò)這樣的方法也促進(jìn)學(xué)生不斷掌握數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生愛上數(shù)學(xué)。

例1已知二次函數(shù)f（x）=ax2+2x-2a-1，其中x=2sinθ（0<θ≤7π6）.若二次方程f（x）=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1和x2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

在這道題目中，由于0<θ≤7π6，則-1≤2sinθ≤2，即-1≤x≤2，所以可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元一次方程，進(jìn)行求解，這樣不僅可以有效降低問(wèn)題的難度，同時(shí)也使問(wèn)題的答案更加直觀。

解：由以上分析，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程ax2+2x-2a-1=0在區(qū)間[-1，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根.由y=f（x）的圖象，得等價(jià)不等式組：

Δ=4+4a（2a+1）>0，

-1<-22a<2，

af（-1）=a（-a-3）≥0，

af（2）=a（2a+3）≥0.

解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-3，-32].

二、化未知為已知

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求，在教學(xué)課堂，一定要以學(xué)生為中心，所以在這樣的前提條件下，必須要保證學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，通過(guò)換軌思維，讓學(xué)生在遇到未知問(wèn)題是用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，這樣的轉(zhuǎn)換方式，既幫助學(xué)生不斷的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)鞏固學(xué)習(xí)效果。同時(shí)還可以積極促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力。通過(guò)化歸思維，幫助學(xué)生將復(fù)雜的未知條件轉(zhuǎn)換成已知條件。既避免學(xué)生在遇到未知問(wèn)題時(shí)的緊張感和困惑，同時(shí)還可以幫助學(xué)生更加自信的面對(duì)數(shù)學(xué)難題，提高自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

在通常情況下，一般學(xué)生對(duì)于未知的問(wèn)題是通常會(huì)需要大量的時(shí)間去研究問(wèn)題或者沒有特別輕便的捷徑去解答問(wèn)題。這樣的情況下，不僅會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的喪失，長(zhǎng)此以往還會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)效率下降。為此，必須要積極的通過(guò)利用劃歸的方式，幫助學(xué)生更加快速更加高效的尋找數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決途徑，提高對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生將題目轉(zhuǎn)化成相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題?；蛘呤怯脠D形坐標(biāo)等方式轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)化，直觀的呈現(xiàn)出所有的已知條件和未知條件，幫助學(xué)生在頭腦中形成一定的數(shù)學(xué)模型幫助學(xué)生快速的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例2若不等式x2+px>4x+p-3對(duì)一切0≤p≤4均成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.

分析可整理構(gòu)建關(guān)于p的函數(shù)g（p），以x為參數(shù)，轉(zhuǎn)化為[0，4]上g（p）與0的大小關(guān)系進(jìn)行求解.

解析∵x2+px>4x+p-3，

∴（x-1）p+x2-4x+3>0.

令 g（p）=（x-1）p+x2-4x+3，

則要使它對(duì)0≤p≤4均有g(shù)（p）>0，只要有g(shù)（0）>0，

g（4）>0，∴x>3或x<-1.

在解答這道題目時(shí)，應(yīng)該通過(guò)對(duì)于題目中的已知條件進(jìn)行分析，并且針對(duì)該條件的具體問(wèn)題進(jìn)行重點(diǎn)分析，從而總結(jié)相關(guān)的內(nèi)在知識(shí)，最終明確問(wèn)題的答案。

三、化抽象為具體

數(shù)學(xué)知識(shí)具有非常明顯的抽象特點(diǎn)，所以在日常高中數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)有許多抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題。對(duì)于高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，抽象性的問(wèn)題非常普遍，所以對(duì)于學(xué)生的理解具有一定的挑戰(zhàn)，很多學(xué)生在面對(duì)抽象類的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)無(wú)從下手。通過(guò)運(yùn)用劃歸的方式讓學(xué)生更加積極的去將抽象的問(wèn)題直觀化，具體化，從而幫助學(xué)生運(yùn)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，首先是抽象思維，一般情況下涉及到的都是圖形結(jié)合的思想。所以如果遇到這類問(wèn)題時(shí)，學(xué)生直接的將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，利用圖形的直觀性來(lái)解決問(wèn)題，快速的尋找到數(shù)學(xué)答案。例如，對(duì)于方程求解相關(guān)的問(wèn)題。如果采用傳統(tǒng)的方法，學(xué)生不僅需要復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，而且還需要判斷不同條件的不同特征，學(xué)生在解決起來(lái)非常的復(fù)雜，如果有一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤，就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算失誤較大。而如果通過(guò)劃歸的思想將方程求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，通過(guò)曲線交點(diǎn)可以將代數(shù)和幾何的知識(shí)進(jìn)行有效連接，幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解答。

例3設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=f（2）=2，則f（2011）=（）

在解體時(shí)，如果直接通過(guò)條件來(lái)計(jì)算f（2011）非常的困難，但是如果通過(guò)利用化歸的方式將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出其中的規(guī)律，就能夠簡(jiǎn)化問(wèn)題。

解∵f（x）·f（x+2）=13且f（1）=2，

∴f（3）=13f（1） =132，f（5）=13f（3）=2，

f（7）=13f（3）=2，f（9）=13f（5）=132，

∴f（2n-1）=2，

132，n為奇數(shù)，

n為偶數(shù).

∴f（2011）=f（2×1006-1）=132 .

結(jié)論：總而言之，化歸思想是高中數(shù)學(xué)解題的最重要的思想，也是最有效的工具。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中充分的運(yùn)用化歸思想，不僅可以在短時(shí)間內(nèi)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，而且還有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的自信心，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

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