三角形兩個性質(zhì)在四面體中的引申①

曾建國

(贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 341000)

1 引言

文獻[1]載有三角形的兩個共線點定理(圖1)：

性質(zhì)1過一點O對直線OA，OB，OC作垂線，與△ABC的對邊交于三個共線點(圖1).

圖1

圖2

性質(zhì)2如果XYZ，X′Y′Z′是△ABC的任意兩條截線，則直線YZ′，ZX′，XY′與BC，CA，AB交于三個共線點(即圖2中X1,Y1,Z1共線).

本文將這兩個性質(zhì)引申至三維空間，證明關(guān)于四面體的兩個共面點定理.

2 性質(zhì)1的引申及證明

性質(zhì)1可引申推廣為：

定理1過四面體ABCD的棱CD，DA，AB，BC作與已知平面π垂直的平面π1，π2，π3，π4，分別與對棱AB，BC，CD，DA交于點X，Y，Z，W，則X，Y，Z，W四點共面.

圖3

證明如圖3，依題設(shè)，過CD與平面π垂直的平面π1交AB于X，過AB與平面π垂直的平面π3交CD于Z，則有X∈平面π1，而Z∈CD?平面π1，表明直線XZ?平面π1；又Z∈平面π3，而X∈AB?平面π3，表明直線XZ?平面π3，由此可知直線XZ是平面π1與π3的交線，注意到平面π1與π3均與平面π垂直，因此XZ⊥平面π.

同理可證，WY是平面π2與π4的交線，且WY⊥平面π.因此有XZ∥WY，故此X，Y，Z，W四點共面.證畢.

3 性質(zhì)2的引申及證明

性質(zhì)2可引申推廣為：

圖4

定理2在四面體ABCD中，作兩個平面π，π′分別與AB，BC，CD，DA交于點X，Y，Z，W和點X′，Y′，Z′，W′，設(shè)平面YZW′交AB于X1，平面ZWX′交BC于Y1，平面WXY′交CD于Z1，平面XYZ′交DA于W1，則X1,Y1,Z1,W1四點共面.

定理2的證明需要下面的引理：

定理2的證明

如圖4，由X，Y，Z，W四點共面及引理中的必要性知

①

同理，由X′，Y′，Z′，W′四點共面有

②

由X1，Y，Z，W′四點共面有

③

由X′，Y1，Z，W四點共面有

④

由X，Y′，Z1，W四點共面有

⑤

由X，Y，Z′,W1四點共面有

⑥

將③④⑤⑥四式兩邊分別相乘，并注意到①、②式就得

根據(jù)引理中的充分性知X1，Y1，Z1，W1四點共面.證畢.

4 結(jié)語

最后順便指出，本文中三角形的性質(zhì)1其實有多種方式引申至三維空間，定理1只是選擇了其中一種方式引申所得.有興趣的讀者可以嘗試其他方式對它進行引申推廣，或許能得到更加優(yōu)美、有趣的結(jié)論.