淺談在教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的“幾何直觀”

李振紅

摘要：幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，幾何在數(shù)學(xué)研究中起著聯(lián)絡(luò)、理解、甚至提供方法的作用，而幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時(shí)也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。

關(guān)鍵詞：幾何；數(shù)學(xué)；直觀

數(shù)學(xué)家依賴直觀來(lái)推動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)的思考，數(shù)學(xué)教育家們依賴直觀來(lái)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解。直觀推動(dòng)了數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展。而數(shù)學(xué)概念經(jīng)過(guò)多級(jí)抽象充分形式化后，有必要以相對(duì)直觀可信的數(shù)學(xué)對(duì)象為基礎(chǔ)進(jìn)行理性重建，從而達(dá)到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求，這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)完美。

幾何直觀是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)里提出的十個(gè)核心概念之一，課標(biāo)中提出幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助它可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點(diǎn)將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，抽象思維同形象思維結(jié)合起來(lái)，充分展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，能夠幫助學(xué)生打開(kāi)思維的大門(mén)，開(kāi)啟智慧的鑰匙，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)?！皵?shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微”，“數(shù)形結(jié)合”的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，其實(shí)質(zhì)是使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來(lái)，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)。

借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路，可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語(yǔ)言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自己主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)，揭示經(jīng)驗(yàn)的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過(guò)自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺(jué)相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級(jí)更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的問(wèn)題，那么如何發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，是每個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者都應(yīng)該深思的問(wèn)題。我認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面著手：

1.在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫(huà)圖習(xí)慣

在日常教學(xué)中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣是非常重要的?？梢酝ㄟ^(guò)多種途徑和方式使學(xué)生真正體會(huì)到畫(huà)圖對(duì)理解概念、尋求解題思路帶來(lái)的益處。無(wú)論計(jì)算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫(huà)圖時(shí)盡量畫(huà)，其實(shí)質(zhì)是將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”，盡量把問(wèn)題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)的過(guò)程變得直觀，直觀了就容易展開(kāi)形象思維。

2.重視變換——讓圖形動(dòng)起來(lái)

幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何、也是整個(gè)數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。一方面，在數(shù)學(xué)中，我們接觸的最基本的圖形都是“對(duì)稱”圖形，例如，圓、正多邊形、長(zhǎng)方體、長(zhǎng)方形、菱形、平行四邊形等，都是“不同程度對(duì)稱圖形”；另一方面，在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)、研究“不對(duì)稱圖形”時(shí)，又往往是運(yùn)用這些“對(duì)稱圖形”為工具的。變換又可以看做運(yùn)動(dòng)，讓圖形動(dòng)起來(lái)是指再認(rèn)識(shí)這些圖形時(shí)，在頭腦中讓圖形動(dòng)起來(lái)，例如，平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，可以把它看做一個(gè)圖形，通過(guò)圍繞中心（兩條對(duì)角線的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)180°，去認(rèn)識(shí)、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)。充分地利用變換去認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形是培養(yǎng)幾何直觀的好辦法。

3.學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)

在前面的論述中，多次反復(fù)強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合首先是對(duì)知識(shí)、技能的貫通式認(rèn)識(shí)和理解。以后逐漸發(fā)展成一種對(duì)數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)，這種對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用的能力，應(yīng)該是形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度所必需要求的。如坐標(biāo)系就將“數(shù)”和“形”有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，二元一次方程就是直線，二元二次方程就是曲線。

4.掌握、運(yùn)用一些基本圖形解決問(wèn)題

把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終。例如，除了上面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標(biāo)系等。在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形的運(yùn)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問(wèn)題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注的目標(biāo)。

教師的教為學(xué)生做好榜樣，學(xué)生在做的過(guò)程中就會(huì)模仿、學(xué)習(xí)老師的做法，化抽象為直觀也會(huì)在學(xué)生頭腦中扎根。

參考文獻(xiàn)：

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