高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念的變式教學(xué)方法研究

范粵

【摘要】高中數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生而言是難度十分高的一門學(xué)科，相較于初中數(shù)學(xué)具有更加抽象的數(shù)學(xué)理念、數(shù)學(xué)定理，使高中階段的學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)過與理解行為變得更加煩瑣。因此，文章根據(jù)高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念的變式教學(xué)方法展開了一系列的分析和論述。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)概念；變式教學(xué)

一、引言

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)課程中起到貫穿知識(shí)點(diǎn)的作用，是高中數(shù)學(xué)課程中一個(gè)非常重要的組成部分。函數(shù)的概念比較抽象，所以教師在教學(xué)過程中經(jīng)常運(yùn)用豐富的實(shí)際例子和一些易懂的變式進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)思想進(jìn)行理解，以便學(xué)生運(yùn)用抽象的函數(shù)思想解決實(shí)際函數(shù)問題，讓學(xué)生的理解能力和解決問題能力得到提高。在函數(shù)的教學(xué)中，教師和學(xué)生都要注重對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)對(duì)三種基本函數(shù)模式的應(yīng)用。

二、變式教學(xué)及其在函數(shù)教學(xué)中的作用

首先，我們要了解一下函數(shù)概念的發(fā)展歷史。每一個(gè)數(shù)學(xué)上的突破，都需要經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的過程和很多數(shù)學(xué)家的努力?！昂瘮?shù)”一詞最早在1673年由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在進(jìn)行自變量數(shù)學(xué)研究時(shí)提出的，之后，函數(shù)概念就開始被很多數(shù)學(xué)家使用。函數(shù)概念從形成到應(yīng)用經(jīng)歷了三個(gè)階段。

（一）變量說

“變量說”有一個(gè)經(jīng)典的函數(shù)符號(hào)，即 ，其含義是，函數(shù)是一個(gè)由變量與一些常數(shù)以任何一種方式組成的解析表達(dá)式。

（二）對(duì)應(yīng)說

“對(duì)應(yīng)說”是針對(duì)函數(shù)式 中 取值 取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就是 有不同的取值，那么就會(huì)有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的 值，稱為 是 的函數(shù)。

（三）關(guān)系說

“關(guān)系說”是在19世紀(jì)末期被數(shù)學(xué)家提出的，它把函數(shù)的定義域和值域均突破了以往數(shù)集的限制，擴(kuò)展到任意集合。在現(xiàn)代函數(shù)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，把現(xiàn)代函數(shù)的“函數(shù)觀”以集合的形式展現(xiàn)出來，表達(dá)式為 。含義是，從集合 到集合 的一個(gè)函數(shù)。就是集合 與 的一種特殊關(guān)系——映射，它深刻地展現(xiàn)了函數(shù)的本質(zhì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，也充分反映了函數(shù)的三要素。

了解了函數(shù)概念的發(fā)展史后，我們知道函數(shù)概念是有多么的深?yuàn)W，所以在高中函數(shù)教學(xué)中，教師都運(yùn)用變式教學(xué)來進(jìn)行函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)。那么什么是變式教學(xué)呢？它是指在教學(xué)過程中，教師從不同的角度或者不同方面、不同層次，借助學(xué)生最容易看懂和接受的圖形表現(xiàn)出函數(shù)的概念和本質(zhì)特征。

還有一種方法是變換概念，就是指向?qū)ο蟮姆潜举|(zhì)特征以突出概念或問題的本質(zhì)特征，從而揭示概念或問題的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性之間的關(guān)系。變式教學(xué)在教學(xué)中常見的教學(xué)形式有一題多解、一法多用、圖形變式、教法、學(xué)法變式。其中前兩種是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用最多的。綜上可以看出，教師運(yùn)用變式進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，是由具體到抽象、從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律和思維過程。具體來說，就是教師在教學(xué)過程中運(yùn)用變式教學(xué)，把函數(shù)的本質(zhì)特征通過具體事例概括出來，然后總結(jié)出函數(shù)概念，讓學(xué)生通過變式教學(xué)區(qū)分出函數(shù)本質(zhì)和函數(shù)的不同表現(xiàn)形式，讓學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)中運(yùn)用得更加自如。

三、函數(shù)概念的變式教學(xué)

（一）函數(shù)概念的意義建構(gòu)

函數(shù)概念從認(rèn)知心理學(xué)上來說，屬于陳述性知識(shí)，也叫描述性知識(shí)。它的含義是，用來說明事物的性質(zhì)、特征和狀態(tài)，用以區(qū)別和辨別事物。函數(shù)概念教學(xué)的關(guān)鍵，就是將新知識(shí)和長(zhǎng)時(shí)記憶建立相關(guān)聯(lián)系，就是認(rèn)知心理學(xué)中陳述性知識(shí)的獲得，讓新知識(shí)和原有命題網(wǎng)絡(luò)、原有知識(shí)之間相互聯(lián)系。所以教師在進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)時(shí)，就要運(yùn)用變式教學(xué)更好地幫助學(xué)生建立新知識(shí)與長(zhǎng)時(shí)記憶。每個(gè)人的長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)實(shí)際上就是意義建構(gòu)的過程，簡(jiǎn)單來說就是我們記憶時(shí)，是根據(jù)信息的意義來進(jìn)行記憶存儲(chǔ)的，而不是根據(jù)信息本身。所以，教師在概念數(shù)學(xué)教學(xué)中，要多角度、多層面、多形式地展現(xiàn)概念內(nèi)涵各個(gè)方面。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握映射和集合概念，讓學(xué)生在頭腦中反映出感知過或思考過的數(shù)學(xué)知識(shí)，形成函數(shù)概念的意義建構(gòu)。在教學(xué)過程中，關(guān)于對(duì)映射的理解，如下圖所示。

圖1 圖2 圖3

綜合映射的概念：集合 當(dāng)中任何的一個(gè)元素在集合 當(dāng)中都一定要有唯一明確的元素與其對(duì)應(yīng)。圖1當(dāng)中，集合 當(dāng)中的任何一個(gè)元素在集合 中都有一個(gè)元素與其對(duì)應(yīng)，也就是生成了集合 和集合 的“對(duì)應(yīng)關(guān)聯(lián)”；圖2當(dāng)中，集合 中的任何一個(gè)元素在集合 當(dāng)中也具有唯一明確的元素和其相對(duì)應(yīng)，生成了“多對(duì)一”的相對(duì)關(guān)聯(lián)；圖3當(dāng)中，集合 到 的相對(duì)分別具有“一對(duì)一”和“多對(duì)一”的相對(duì)關(guān)聯(lián)。三個(gè)圖當(dāng)中所展現(xiàn)的集合都和映射的概念特性相一致，也就是具備“任何性”和“唯一性”兩個(gè)前提。挑選的三個(gè)圖是相對(duì)簡(jiǎn)單、直接的，有助于學(xué)生初步了解映射的概念。

另外，教師可以在教學(xué)過程當(dāng)中設(shè)立特定的教學(xué)情景，使學(xué)生在其中以實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及原有的認(rèn)知構(gòu)成當(dāng)中提煉和新知識(shí)有關(guān)的舊知識(shí)，找出新知識(shí)和舊知識(shí)之間存在怎樣的關(guān)聯(lián)。比如，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)概念的時(shí)候，可以通過概念來引入變式教學(xué)。

1.提出問題：我有張白紙，把它撕成兩半， 將它們重疊后再撕一次，重疊后再撕一次……那么撕扯4次之后把所有的紙重疊放置有幾層？8次呢？18次呢？（創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的探究興趣。）

2.假如一張紙厚0.1毫米，那么撕紙15次后把所有的紙重疊放置有多高？有一個(gè)成年人高嗎？如果撕掉20次呢？（學(xué)生的注意力被吸引，紛紛討論起來，當(dāng)計(jì)算出撕紙15次后得到32768張紙，重疊后高度為3.278米，撕扯20次以后重疊高度為104.8576米的時(shí)候?qū)W生都十分驚訝。）在概念導(dǎo)入的時(shí)候，選取實(shí)際的例子更能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)其實(shí)就在自己的身邊，存在于平時(shí)的生活中，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)是有用的，所以要學(xué)，要好好學(xué)。

（二）不同函數(shù)模型的運(yùn)用

在高中階段的函數(shù)教學(xué)當(dāng)中，教師要重視學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型處理現(xiàn)實(shí)問題水平的提高、對(duì)函數(shù)理念的把握，把提高運(yùn)用水平練習(xí)作為目標(biāo)。在課本內(nèi)容的設(shè)定方面，高中時(shí)期主要牽涉指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)三個(gè)類別，這三種函數(shù)的上升轉(zhuǎn)變具有一定的復(fù)雜性，通過設(shè)置循序漸進(jìn)的問題串，使學(xué)生在持續(xù)地觀察、思考以及探索的過程當(dāng)中，弄明白三種函數(shù)的上升差距，培育剖析問題、處理問題的水平。第一，課本先設(shè)立一個(gè)確定投資計(jì)劃的問題情景，在處理問題的過程當(dāng)中，老師可以提供解析式、數(shù)表以及圖像三種代表方式，之后提出問題，使學(xué)生能夠從當(dāng)中感受直線上升以及指數(shù)爆表，另外有助于學(xué)生懂得怎樣挑選合適的代表方式對(duì)問題進(jìn)行有效的剖析。第二，設(shè)立一個(gè)挑選公司獎(jiǎng)勵(lì)模型的問題情景，使學(xué)生在觀察與探索的過程當(dāng)中感受到對(duì)數(shù)函數(shù)上升模型的特性。第三，提出疑問：三種函數(shù)具有怎樣的上升差距？在這個(gè)環(huán)節(jié)，可以利用信息技術(shù)從數(shù)值與圖像兩個(gè)視角展現(xiàn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的轉(zhuǎn)變狀況，同時(shí)指引學(xué)生從不同視角觀察它們的上升圖像的差距，使學(xué)生感受這些函數(shù)模型在敘述客觀世界轉(zhuǎn)變規(guī)則時(shí)候各自的特性，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)的連貫性、可微性、可積性等關(guān)鍵屬性的認(rèn)知，慢慢提高學(xué)生運(yùn)用函數(shù)知識(shí)去剖析問題和處理問題的技能。

（三）函數(shù)概念的認(rèn)知誤區(qū)

1.函數(shù)就是曲線。從函數(shù)概念能夠看得出來，函數(shù)具有數(shù)形結(jié)合的特性，它是表達(dá)兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系的一個(gè)關(guān)鍵數(shù)學(xué)模型。一般來說，憑借曲線可以直觀呈現(xiàn)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)聯(lián)。在教學(xué)當(dāng)中，可以運(yùn)用變式教學(xué)當(dāng)中的錯(cuò)誤例子進(jìn)行說明，比如， ，它代表集合 到 的映射關(guān)聯(lián)，這也恰恰是當(dāng)代函數(shù)的實(shí)質(zhì)，它是經(jīng)過集合而不是曲線來呈現(xiàn)映射關(guān)聯(lián)的，憑借此讓學(xué)生明白曲線和函數(shù)并不是同一個(gè)道理，曲線僅僅是函數(shù)的一種表達(dá)方式。

2.函數(shù)就是解析式。函數(shù)解析式屬于函數(shù)運(yùn)算的一種改變，也就是從不利于參數(shù)加入運(yùn)算的幾何狀態(tài)轉(zhuǎn)變成易于運(yùn)算的代數(shù)狀態(tài)，在這樣的狀況下，解析式的函數(shù)概念應(yīng)運(yùn)而生。實(shí)際上，出現(xiàn)函數(shù)就是解析這樣的認(rèn)知誤區(qū)最主要的原因是忽視了函數(shù)解析表達(dá)式的不唯一性，也就是一個(gè)函數(shù)要由不同的解析式來進(jìn)行表達(dá)，例如：

和

這兩個(gè)解析表達(dá)式表達(dá)的是同一個(gè)函數(shù)。所以，一個(gè)函數(shù)其實(shí)就屬于一個(gè)解析式或者說一個(gè)解析式就屬于一個(gè)函數(shù)的理解都是不對(duì)的。在變式教學(xué)的例子方面，所挑選的表達(dá)式應(yīng)該具備代表意義，例子不在于多而在于精，應(yīng)該起到引起學(xué)生共鳴的作用，達(dá)到舉一反三的成效。

四、結(jié)束語

總而言之，再好的理論都是來源于我們的實(shí)際教學(xué)。函數(shù)概念的教學(xué)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中是重點(diǎn)，也是困難點(diǎn)。不管運(yùn)用哪一種教學(xué)方式，都應(yīng)該重視基礎(chǔ)的函數(shù)概念教學(xué)。同時(shí)把先進(jìn)的教學(xué)觀念到課堂教學(xué)當(dāng)中去，持續(xù)歸納和探索，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的領(lǐng)悟、生成、同化、運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和創(chuàng)造能力，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的意義以及外部的延伸，從而有效提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)處理現(xiàn)實(shí)問題的水平。

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