在比較中促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的理解

束蘇敏 張秀花

【摘要】數(shù)學(xué)概念的建立和完善要經(jīng)歷一個(gè)完整的過程，在這個(gè)過程中，教師要為學(xué)生提供豐富的素材和有效的方法，才能促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念。教學(xué)時(shí)，我嘗試著將面積和周長這兩個(gè)概念在比較中系統(tǒng)認(rèn)知。從周長開始，在不同的長方形中發(fā)現(xiàn)它們的大小不同，引出面積概念；接著在鋪教室地面的活動(dòng)中，逐步建立起清晰的面積概念，知道物體表面的大小就是物體表面的面積；然后在比較面積的活動(dòng)中，再次完善面積的概念，知道平面圖形的大小就是平面圖形的面積，且在不同的比較面積的方法中，優(yōu)化出數(shù)方格的面積比較方法；最后在拼圖游戲中，引導(dǎo)學(xué)生感悟兩者雖有不同，但其實(shí)也有聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)新舊概念的融通，拓展學(xué)生的思維。

【關(guān)鍵詞】比較；數(shù)學(xué)概念；拓展思維

“面積的認(rèn)識(shí)”是蘇教版三年級(jí)下冊的教學(xué)內(nèi)容，本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)周長的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，又是為下面學(xué)習(xí)長方形和正方形的面積打基礎(chǔ)的。面積和概念是一組相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生理解得不夠透徹的話，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)就容易混淆。教材從生活實(shí)際出發(fā)直接引出面積概念，學(xué)生可以專一的認(rèn)識(shí)面積，但實(shí)際教學(xué)時(shí)感覺效果欠佳。能否在學(xué)習(xí)面積概念之前，回顧一下周長的概念，再在對比中感悟兩者的不同，即周長是圍成圖形的一周邊線的長度，面積是物體表面或平面圖形的大小。接著在數(shù)學(xué)活動(dòng)中充分地認(rèn)識(shí)面積，并在比較中促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的理解呢？

板塊一：回顧周長

師：同學(xué)們，認(rèn)識(shí)它嗎？對，這是我們最熟悉的數(shù)學(xué)書封面，你知道它的周長在哪里嗎？用手比劃一下。

師：沒錯(cuò)，數(shù)學(xué)書封面一周邊線的長度就是它的周長。今天我們的學(xué)習(xí)就從已經(jīng)認(rèn)識(shí)的周長開始。

師：用一根14厘米長的線圍一個(gè)長方形，可以圍成怎樣的長方形？長和寬各是多少厘米？你是怎樣想到的？

生：可以圍出長6厘米、寬1厘米的長方形，長5厘米、寬2厘米的長方形，長4厘米、寬3厘米的長方形。

師：圍出的這三個(gè)長方形，有什么相同的地方嗎？為什么？

生：周長都是14厘米。因?yàn)榫€的長度就是它們的周長，所以它們的周長相同。

師：有什么不同呢？

生：長和寬各不相同。

生：它們的大小也不同，有的大，有的小。

師：你所說的大小指的是哪里呢？讓我們一起來關(guān)注下這根14厘米長的線圍成的里面部分，這兒還叫周長嗎？你知道叫什么嗎？

師：數(shù)學(xué)上，我們把邊線圍成的這一塊的大小叫作它的面積，今天我們就一起來認(rèn)識(shí)面積。（板書課題：面積的認(rèn)識(shí)）

師：以前聽說過面積嗎？ 舉例說說。你認(rèn)為面積指的是什么？（板書：面的大?。?/p>

【評(píng)析：面積和周長是兩個(gè)彼此高度關(guān)聯(lián)，卻各有不同的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，也是學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用時(shí)容易混淆的知識(shí)點(diǎn)。比較是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常要用到的一種思維方法。通過比較，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性加以區(qū)別，強(qiáng)化概念的本質(zhì)屬性。為此，教師先從數(shù)學(xué)書封面開始，回顧一下周長的概念，再用一根繩子圍成不同的長方形，發(fā)現(xiàn)這些周長相同的長方形的大小不一樣，讓學(xué)生把注意力集中到邊線圍成的圖形里面的部分，從而引出面積。這個(gè)板塊在比較中促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的理解顯得很有實(shí)效，學(xué)生既能初步感知面積，又能明晰周長和面積這兩個(gè)概念的本質(zhì)區(qū)別?！?/p>

板塊二：認(rèn)識(shí)面積

師：老師想請你們鋪一鋪教室的地面。用一個(gè)長方形表示地面，為你們準(zhǔn)備了兩種不同形狀的地磚，一種正方形，一種圓形，在作業(yè)紙上鋪一鋪。

活動(dòng)一：鋪地面

活動(dòng)要求：1.同桌合作。

2.先用兩種地磚試一試，再選擇合適的鋪一鋪。

學(xué)生活動(dòng)，教師巡視。

師：你們鋪好了嗎？用了什么形狀的地磚？

生：用的正方形地磚。

師：咦，奇怪了，為什么你們沒有選擇圓形地磚來鋪呢？

生：圓形地磚有空隙，不能鋪滿整個(gè)地面。需要把這些空隙也填滿才行。

師：你們試過嗎？是這樣嗎？為什么不能有空隙呢？

生：空隙的地方也是它的面積。

師：老師增加了一些其他地磚，把這些空隙填滿，現(xiàn)在鋪出它的面積了嗎？什么是地面的面積？

師：地面的大小就是地面的面積，它包括地面的每一個(gè)角落。

師：數(shù)學(xué)書封面的面積在哪呢？用你們的手摸一摸，對，要摸到每一個(gè)角落。你能說說其他物體的面積嗎？什么是課桌面的面積？

師：真棒，我們身邊有許多不同的物體，這些物體表面的大小就是它的面積。

【評(píng)析：什么是面積？教材中沒有給出明確的定義。在這個(gè)板塊，教師從概念的本質(zhì)出發(fā)，通過動(dòng)手鋪地面這個(gè)活動(dòng)，要求學(xué)生在正方形和圓形兩種地磚中選擇一種，鋪出地面面積，并且思考為什么不能用圓形的地磚鋪。如果用圓形地磚鋪，就必須再將空隙部分填滿。這個(gè)鋪地面的活動(dòng)過程，讓學(xué)生更為直觀地感受到地面面積在哪里，地面面積包括地面的每一個(gè)角落。突出面積是整個(gè)面的大小，細(xì)化對數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確認(rèn)知。接著再通過讓學(xué)生舉例身邊哪些物體有面？什么是物體表面的面積？從而讓學(xué)生明確物體表面的大小就是它的面積。】

板塊三：比較面積

1.比較面積——觀察法。

師：我們根據(jù)物體表面的形狀，可以畫出不同的平面圖形。出示一些常見的平面圖形，有：長方形，正方形，圓形，三角形。

師：它們的面積在哪里呢？老師在心里想了一個(gè)圖形，用手掌摸一摸比劃一下，請你猜猜它是什么圖形？圓形。你能像老師這樣，也用手掌摸一摸比劃出其他圖形的面積嗎？（依次出示其他三個(gè)圖形的面積）

師：這些平面圖形的大小就是它們的面積。

師：這里的面積有大有小，哪個(gè)圖形的面積最大？

生：圓形。

師：哪個(gè)圖形的面積最??？

生：三角形。

師：許多時(shí)候，我們能通過觀察，一眼比較出圖形的大小。

2.比較面積——重疊法。

師：我們僅通過眼睛看，不是確定誰的面積大，誰的面積小，怎么辦呢？比如有什么辦法來比較正方形和長方形的面積大?。?/p>

生：把2個(gè)圖形重疊起來看一看。

師：怎樣重疊？

3.比較面積——數(shù)方格。

師：還有其他方法嗎？（提醒：借助其他的東西，回憶一下鋪地面的時(shí)候）

生：還可以用其他的圖形去鋪，就能比較出大小了。

師：下面就請同學(xué)們用想到的方法去試一試，材料袋里有尺、小正方形、剪刀、方格紙等，請先看活動(dòng)要求。

活動(dòng)二：比較面積大小

活動(dòng)要求：

1.同桌合作。

2.選擇合適的材料，比較出它們的面積大小。

學(xué)生活動(dòng)，教師巡視。

交流展示

如果有學(xué)生用尺量，則

師：誰來演示一下？這樣量可以嗎？為什么？

師：用尺量出的是長度，不是面積。

重疊法：

師：哪些同學(xué)將2個(gè)圖形放在一起，重疊起來比較的？

生實(shí)物投影演示。

師：有些時(shí)候，我們可以把兩個(gè)圖形放在一起比，會(huì)發(fā)現(xiàn)圖形有部分重合，如果2個(gè)圖形都有未重合的部分，我們就需要剪一剪，再比一比。

數(shù)方格：

師：哪些同學(xué)像鋪地面一樣，用擺小正方形的方法比較的？

生：我用長16個(gè)小正方形鋪滿了大長方形，又用16個(gè)小正方形鋪滿了大正方形，所以它們的面積一樣大。

學(xué)生操作演示，其他同學(xué)一起跟著數(shù)。

師：我發(fā)現(xiàn)有人用這個(gè)方格紙來量的，速度可快了，誰來演示一下？

學(xué)生操作演示，其他同學(xué)再次一起跟著數(shù)，感悟面積大小。

師：剛才的方法，你喜歡哪一種？為什么用方格紙測量面積？有什么好處？

師：老師也喜歡用方格去量，用方格量，面積的大小就可以用一個(gè)準(zhǔn)確的“數(shù)”來表示。這種方法叫作數(shù)方格，是我們認(rèn)識(shí)面積常用的方法。（板書：數(shù)方格）

【評(píng)析：平面圖形的大小就是它的面積。這個(gè)板塊教師從物體表面抽象出不同形狀的平面圖形，有長方形、正方形、圓形和三角形等。接著讓學(xué)生猜一猜，摸一摸它們的面積分別在哪里。進(jìn)一步明確平面圖形也有面積，平面圖形的大小就是它們的面積。在第二板塊的基礎(chǔ)上使學(xué)生全面、正確地理解面積概念的內(nèi)涵，體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。面積的大小比較是本課的一個(gè)難點(diǎn)，教師先讓學(xué)生通過觀察比較幾個(gè)平面圖形的面積大小，一眼判斷出圓的面積最大，三角形的面積最小。當(dāng)正方形和長方形的面積大小不能通過觀察準(zhǔn)確判斷時(shí)，再動(dòng)手操作自主探究比較面積大小的其他方法。探究數(shù)方格的方法時(shí)，重點(diǎn)讓學(xué)生在實(shí)物投影上展示用小正方形鋪滿大正方形和長方形的過程，學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)都用了16個(gè)小正方形，所以兩者面積相等。接著再引出更為簡潔的方格紙，直接數(shù)一數(shù)、比一比。最后，再伴隨著問題思考：你喜歡哪一種方法？為什么用方格紙來測量面積？有什么好處？讓學(xué)生清晰地感悟到：用數(shù)方格的方法，面積的大小就能用一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)來表示了。初步認(rèn)識(shí)到面積的數(shù)就是面積單位的個(gè)數(shù)，概念的認(rèn)識(shí)逐步有形到數(shù)，由感性走向理性。】

板塊四：面積和周長

師：一開始，我們用同樣長的兩根繩子分別圍出了一個(gè)長方形，它們的周長都是14厘米，它們的面積各是多少？

師：比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？周長相等，面積不相等。

師：看來，面積和周長之間還有一些小秘密呢，究竟還有怎樣的秘密呢？咱們來玩一個(gè)游戲，先看活動(dòng)要求。

活動(dòng)三：游戲

活動(dòng)要求：1.同桌合作，一人用6個(gè)小正方形在桌上拼出一個(gè)平面圖形；另一人在作業(yè)紙上畫出拼出的圖形。

2.想一想，它們的面積和周長各是多少？

師：同學(xué)們的創(chuàng)意真不少，拼畫出了不同的平面圖形，咱們選擇幾個(gè)有代表性的來看一看，拼出這些的跟老師揮揮手。

師：這些圖形有什么相同的地方呢？

生：面積相等，都是6格。

師：那周長呢？誰來數(shù)一數(shù)？

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？（給予學(xué)生充分交流的時(shí)間）

生：面積相等，周長可能相等，可能不相等。

師：那么，周長相等的時(shí)候，面積呢？

生：周長相等的時(shí)候，面積可能不相等，也可能相等。

【評(píng)析：面積和周長這兩個(gè)概念在實(shí)際應(yīng)用中容易混淆，它們之間的變化關(guān)系更是復(fù)雜多變。為了豐富學(xué)生的認(rèn)知，這一板塊教師著力讓學(xué)生在游戲中感悟面積和周長之間的變化關(guān)系，融通概念。教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧課一開始用14厘米長的線段圍成的三個(gè)長方形，在比較中發(fā)現(xiàn)，它們的周長相等，面積不等。然后再用6個(gè)相同的小正方形拼成不同平面圖形，選取幾個(gè)具有代表性的不同的平面圖形，一起觀察交流，根據(jù)課堂時(shí)間及學(xué)生實(shí)際情況努力去發(fā)現(xiàn)：周長相等的時(shí)候，面積也可能相等；面積相等的時(shí)候，周長可能相等，也可能不相等。這一板塊的設(shè)計(jì)和第一板塊相呼應(yīng)，既凸顯了課堂里新舊知識(shí)、前后教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，又融入了辯證的思想，相得益彰?！?/p>

【作者簡介】

張秀花，江蘇省特級(jí)教師，江蘇省人民政府教育督導(dǎo)團(tuán)專家組成員，省小數(shù)會(huì)常務(wù)理事，揚(yáng)州市教科院小數(shù)教研員。榮獲全國教科研先進(jìn)個(gè)人，省先進(jìn)教育工作者，省“333”高層次人才培養(yǎng)對象，江蘇省教師資格證書考試省級(jí)考官，揚(yáng)州市“領(lǐng)雁工程”第一層次培養(yǎng)對象，多次應(yīng)邀到貴州、青海、山西、湖南等地公開教學(xué)和科研講座。在《人大復(fù)印資料（小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)）》等中文核心期刊發(fā)表多篇科研論文，科研業(yè)績?nèi)刖帯短丶?jí)教師思想錄》。個(gè)人專業(yè)發(fā)展成果在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》《小學(xué)教師培訓(xùn)》等雜志以名師在線、特級(jí)訪談等形式推介。2017年前往美國加州長灘州立大學(xué)研修畢業(yè)，目前主持兩項(xiàng)省“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題。

束蘇敏，揚(yáng)州市小學(xué)數(shù)學(xué)中青年教學(xué)骨干，曾獲江蘇省“藍(lán)天杯”課堂教學(xué)比賽一等獎(jiǎng)，揚(yáng)州市“百堂好課”一等獎(jiǎng)，揚(yáng)州市“智慧課堂”錄像課一等獎(jiǎng)等；多篇論文在各級(jí)各類雜志發(fā)表或獲獎(jiǎng)。