微弱LFM信號(hào)的FrFT檢測(cè)能力分析

田建勇1, 石林江1，張曉光

(1.安順學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院, 貴州 安順 561000；2.遼東學(xué)院 機(jī)械電子工程學(xué)院,遼寧 丹東118000)

1 引 言

線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulated,LFM)信號(hào)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信、聲吶以及電子對(duì)抗等電子信息系統(tǒng)中，對(duì)未知LFM信號(hào)的檢測(cè)在雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)測(cè)量、地震信號(hào)檢測(cè)、電子情報(bào)目標(biāo)識(shí)別等諸多領(lǐng)域中有著不可替代的作用[1]。在這些應(yīng)用場(chǎng)合中，均需要完成微弱LFM信號(hào)檢測(cè)。目前，應(yīng)用最為廣泛的微弱LFM信號(hào)檢測(cè)方法是基于時(shí)頻分析的方法。該類方法首先利用時(shí)頻變換(短時(shí)傅里葉變換[2]、Winger變換[3]、Ambiguity變換[4]等)獲取信號(hào)的時(shí)頻分布，然后基于Radon變換或Hough變換等檢測(cè)手段實(shí)現(xiàn)LFM信號(hào)檢測(cè)，其檢測(cè)本質(zhì)是提取LFM信號(hào)在時(shí)頻分布中的直線特征。這類方法的缺陷在于需要首先計(jì)算信號(hào)的二維時(shí)頻分布，再進(jìn)行直線特性變換后依靠二維峰值搜素實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè)，計(jì)算量較大，對(duì)硬件性能要求很高。

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FrFT)最早用于解決量子力學(xué)中的微分方程問(wèn)題[5]。文獻(xiàn)[6]證明了FrFT與Wigner變換之間的等價(jià)關(guān)系，指出了FrFT本質(zhì)上是一種時(shí)頻旋轉(zhuǎn)算子，奠定了FrFT處理LFM信號(hào)的理論基礎(chǔ)[7-10]。FrFT的時(shí)頻旋轉(zhuǎn)功能可以將LFM信號(hào)累積為一個(gè)峰值，即使在低信噪比下也具有很好檢測(cè)性能，并且FrFT在檢測(cè)LFM信號(hào)的同時(shí)還能估計(jì)出信號(hào)的中心頻率和調(diào)頻率，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了信號(hào)檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)。但是，許多應(yīng)用場(chǎng)合需要對(duì)微弱LFM信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，而目前缺乏對(duì)FrFT檢測(cè)微弱LFM信號(hào)能力的分析，影響了FrFT檢測(cè)LFM信號(hào)的實(shí)際應(yīng)用。

針對(duì)此問(wèn)題，本文研究了FrFT對(duì)微弱LFM信號(hào)的檢測(cè)能力問(wèn)題，首先簡(jiǎn)要介紹了FrFT檢測(cè)LFM信號(hào)的原理，在二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ拖路治隽薋rFT檢測(cè)LFM信號(hào)的性能，推導(dǎo)了虛警概率和檢測(cè)概率的數(shù)學(xué)表達(dá)式，分情況討論了LFM信號(hào)幅度譜的近似解；然后利用虛警概率和檢測(cè)概率結(jié)合接收機(jī)工作特性曲線(Receiver Operating Characteristic,ROC)分析了FrFT檢測(cè)LFM信號(hào)的靈敏度；最后仿真比較了FrFT與傳統(tǒng)傅里葉變換(Fourier Transform,FT)對(duì)微弱LFM信號(hào)的檢測(cè)靈敏度和信號(hào)累積能力。

2 FrFT檢測(cè)原理

任意信號(hào)x(t)的FrFT可以表示為

(1)

式中：u代表分?jǐn)?shù)階頻率，α代表FrFT的變換角度，Kα(t,u)表示FrFT的核函數(shù)，

(2)

K(t,u)=exp(-2πjut) 。

(3)

FT只是單純將信號(hào)由時(shí)域變換至頻域，而FrFT通過(guò)改變核函數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)頻平面的旋轉(zhuǎn)。LFM信號(hào)模型可以表示為

s(t)=Aexp[2πj(f0t+kt2)+φ] 。

(4)

式中：A表示信號(hào)幅度，f0為信號(hào)的載頻，k為信號(hào)的調(diào)頻斜率，φ為信號(hào)的初始相位。

對(duì)于有限長(zhǎng)的LFM，其維格納變換(Wigner-Ville Distribution,WVD)表現(xiàn)為一條斜刀刃狀的脊線，文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[11]分別提出采用Radon變換和Hough變換累積LFM信號(hào)在WVD中的脊線實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè)。文獻(xiàn)[6]分析了FrFT和WVD等時(shí)頻分析工具之間的關(guān)系，指出FrFT就是將信號(hào)的時(shí)頻坐標(biāo)(t,ω)繞遠(yuǎn)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，完成由(t,ω)到(u,α)的變換。FrFT可以看作是對(duì)時(shí)頻平面的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程如圖1所示。

圖1 FrFT旋轉(zhuǎn)算子示意圖Fig.1 Sketch of FrFT rotation operator

圖1中還給出了LFM信號(hào)的時(shí)頻分布，當(dāng)FrFT的旋轉(zhuǎn)角度α剛好旋轉(zhuǎn)到與LFM信號(hào)的脊線垂直時(shí)，LFM信號(hào)就會(huì)在u軸投影為一個(gè)峰值，實(shí)現(xiàn)了能量聚集，而白噪聲的FrFT不會(huì)產(chǎn)生任何峰值，不會(huì)產(chǎn)生能量聚集，這說(shuō)明FrFT可以用來(lái)檢測(cè)LFM信號(hào)。

受加性噪聲污染的信號(hào)可以表示為

x(t)=s(t)+n(t)。

(5)

式中：n(t)代表均值為零、方差為σn的高斯白噪聲。LFM信號(hào)檢測(cè)的任務(wù)就是從受到噪聲污染的信號(hào)中檢測(cè)出LFM信號(hào)。定義X(u*,α*)2為基于FrFT的LFM信號(hào)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，

(6)

當(dāng)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量大于給定門(mén)限時(shí)，判斷為L(zhǎng)FM信號(hào)；否則，判為噪聲。

近年來(lái)，研究人員提出了多種FrFT的等價(jià)變換公式[4]。文獻(xiàn)[5]給出了一種FrFT等價(jià)變換，稱為Chirp-Fourier變換(Chirp-Fourier Transform,CFT)：

(7)

上式僅適用于α?{-1,0,1}的情況。α?{-1,0,1}是FrFT的特殊情況：α=-1對(duì)應(yīng)信號(hào)的逆Fourier變換，α=1對(duì)應(yīng)傳統(tǒng)的Fourier變換，而α=0表示無(wú)變換。對(duì)比式(1)和式(7)可知，CFT和FrFT存在下列關(guān)系：

X(u,α)=A(φ)Xc(u/sinα,β)，

(8)

(9)

式中：β=-cotα/2。式(8)和式(9)表明，CFT模值和FrFT模值之間只相差一個(gè)固定的尺度因子，因此可以用CFT模值代替FrFT模值進(jìn)行LFM信號(hào)的檢測(cè)，此時(shí)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量變?yōu)閄c(u*,β*)2，

(10)

3 檢測(cè)能力分析

3.1 虛警概率與檢測(cè)概率

LFM信號(hào)檢測(cè)的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ涂梢员硎緸?/p>

(11)

假設(shè)基于FrFT的LFM信號(hào)檢測(cè)門(mén)限為λ，則虛警概率可以表示為

(12)

式中：Xmax表示檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Xc(u*,β*)2，p(XmaxH0)為高斯白噪聲經(jīng)過(guò)CFT后的模值平方最大值的概率密度函數(shù)。

檢測(cè)概率可以表示為

(13)

式中：p(XmaxH1)為信號(hào)加噪聲經(jīng)過(guò)CFT變換后的模值平方最大值的概率密度函數(shù)。

實(shí)際檢測(cè)過(guò)程中，都是在一定的調(diào)頻率范圍內(nèi)檢測(cè)信號(hào)，即β∈[0,βmax]。假設(shè)在調(diào)頻率范圍內(nèi)β的離散點(diǎn)數(shù)為N，分?jǐn)?shù)階頻率u的離散個(gè)數(shù)為M。在假設(shè)H0條件下，檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Xmax的概率密度函數(shù)可以表示為[12]

(14)

將上式代入式(12)可以化簡(jiǎn)得出虛警概率等于

(15)

根據(jù)CFT的定義可知，當(dāng)調(diào)頻率β取某一定值時(shí)，在H1假設(shè)條件下，信號(hào)CFT的實(shí)部和虛部均為獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，因此Xc(u,β)2服從于非中心的卡方分布，此時(shí)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)為

(16)

式中：S(f)表示LFM信號(hào)s(t)的Fourier變換，即s(t)的頻譜。檢測(cè)概率

(17)

實(shí)際檢測(cè)過(guò)程中處理的都是離散信號(hào)，對(duì)于快變的LFM信號(hào)(調(diào)頻率k較大時(shí))，信號(hào)頻譜在中心頻率f0處的模值平方可以近似為

(18)

式中：ω(·)是計(jì)算FFT時(shí)采用的窗函數(shù)，fs是信號(hào)的采樣頻率。對(duì)于慢變的LFM信號(hào)(調(diào)頻率k較小時(shí))，信號(hào)頻譜在中心頻率f0處的模值平方可以近似表示三階泰勒級(jí)數(shù)的形式:

(19)

式中:

(20)

而am表示m階窗函數(shù)的時(shí)間矩，

(21)

快變信號(hào)、慢變信號(hào)的近似值與真實(shí)值的關(guān)系如圖2所示，圖中kmax=fs/4T，T為信號(hào)長(zhǎng)度。

圖2 LFM信號(hào)頻譜幅值近似Fig.2 LFM signal spectrum amplitude approximation

由圖可知，快變信號(hào)、慢變信號(hào)的近似可以合并為如下形式：

(22)

將上式代入式(17)即可得出檢測(cè)概率與檢測(cè)門(mén)限的關(guān)系。

3.2 檢測(cè)靈敏度

信噪比在信號(hào)檢測(cè)中占有非常重要的地位，是接收機(jī)信號(hào)檢測(cè)的主要技術(shù)指標(biāo)。將檢測(cè)概率、虛警概率和信噪比之間的關(guān)系用曲線描述出來(lái)，稱為ROC曲線，一定信噪比范圍的ROC曲線描述了檢測(cè)算法的性能。目前FrFT廣泛應(yīng)用于動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)、電子偵察信號(hào)檢測(cè)以及SAR成像信號(hào)處理等涉及微弱LFM信號(hào)檢測(cè)的領(lǐng)域，但缺乏關(guān)于FrFT檢測(cè)微弱LFM信號(hào)能力的定量分析。

根據(jù)ROC曲線可以分析FrFT檢測(cè)微弱LFM信號(hào)的能力，即檢測(cè)靈敏度。檢測(cè)靈敏度是指給定檢測(cè)概率和虛警概率時(shí)，穿過(guò)檢測(cè)概率和虛警概率坐標(biāo)點(diǎn)的ROC曲線的信噪比。信號(hào)檢測(cè)靈敏度的值越小，算法檢測(cè)微弱信號(hào)的能力就越強(qiáng)。圖3給出了3種不同信噪比下(-6 dB、-8 dB和-10 dB)，基于FrFT檢測(cè)LFM信號(hào)的ROC曲線，定義檢測(cè)概率和虛警概率分別為pd=0.7、pfa=10-6，那么FrFT檢測(cè)LFM信號(hào)的靈敏度就約等于-6 dB。

圖3 ROC曲線Fig.3 ROC curve

4 仿真分析

本節(jié)將通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析FT和FrFT對(duì)微弱LFM信號(hào)的檢測(cè)能力，包括不同調(diào)頻率信號(hào)的檢測(cè)靈敏度仿真、不同時(shí)長(zhǎng)信號(hào)的檢測(cè)靈敏度仿真和不同信噪比信號(hào)的檢測(cè)概率仿真。在驗(yàn)證前述理論分析正確性的同時(shí)，進(jìn)一步分析FrFT檢測(cè)LFM信號(hào)優(yōu)缺點(diǎn)。

4.1 不同調(diào)頻率信號(hào)的檢測(cè)靈敏度

圖4為FT和FrFT對(duì)30個(gè)不同調(diào)頻率LFM信號(hào)的檢測(cè)靈敏度，圖4(a)和圖4(b)分別為信號(hào)長(zhǎng)度N=256和N=512時(shí)檢測(cè)靈敏度與調(diào)頻率關(guān)系。

(a)N=256

(b)N=512圖4 不同調(diào)頻率信號(hào)檢測(cè)性能Fig.4 Different frequency signal detection performance

對(duì)比圖4中FT和FrFT對(duì)不同調(diào)頻率LFM信號(hào)的檢測(cè)靈敏度可知，F(xiàn)rFT方法對(duì)于信號(hào)調(diào)頻率不敏感，對(duì)不同調(diào)頻率信號(hào)具有穩(wěn)定的檢測(cè)靈敏度；而FT方法對(duì)調(diào)頻率較低信號(hào)的檢測(cè)靈敏度較高，當(dāng)信號(hào)調(diào)頻率升高至一定值時(shí)，檢測(cè)靈敏度隨著調(diào)頻率的增加而下降。此外，當(dāng)LFM信號(hào)的調(diào)頻率較小時(shí)，F(xiàn)T方法的檢測(cè)靈敏度較高；當(dāng)LFM信號(hào)的調(diào)頻率較大時(shí)，F(xiàn)rFT方法的檢測(cè)靈敏度較高。這是因?yàn)檎{(diào)頻率較小的LFM信號(hào)十分接近于正弦波信號(hào)，適合于FT方法檢測(cè)；而FrFT方法需要對(duì)調(diào)頻率β進(jìn)行量化尋優(yōu)，檢測(cè)性能受到β量化分辨率的影響，因此當(dāng)信號(hào)調(diào)頻率較低時(shí)，檢測(cè)性能差于FT方法。

對(duì)比圖4(a)和圖4(b)可知，檢測(cè)靈敏度與信號(hào)長(zhǎng)度有關(guān)，信號(hào)長(zhǎng)度越長(zhǎng)，兩種方法的檢測(cè)性能均有提升。

4.2 不同時(shí)長(zhǎng)信號(hào)的檢測(cè)靈敏度

圖5為FT和FrFT對(duì)不同調(diào)頻率LFM信號(hào)的檢測(cè)靈敏度，LFM信號(hào)調(diào)頻為0.03βmax。

圖5 不同時(shí)長(zhǎng)信號(hào)檢測(cè)性能Fig.5 Different durations signal detection performance

圖5表明，當(dāng)信號(hào)時(shí)長(zhǎng)較小時(shí)，F(xiàn)T方法與FrFT方法的檢測(cè)靈敏度變化趨勢(shì)幾乎相同。但是，隨著信號(hào)時(shí)長(zhǎng)的進(jìn)一步增加，F(xiàn)rFT方法檢測(cè)靈敏度繼續(xù)提升，而FT方法的檢測(cè)靈敏度不再增加。結(jié)果表明，F(xiàn)T方法的檢測(cè)靈敏度不能隨著信號(hào)時(shí)長(zhǎng)的增加而增加，對(duì)LFM信號(hào)不是最優(yōu)的，而FrFT方法的檢測(cè)靈敏度隨著信號(hào)時(shí)長(zhǎng)的增加而增加，實(shí)現(xiàn)了對(duì)LFM信號(hào)的最優(yōu)檢測(cè)。

4.3 不同信噪比信號(hào)的檢測(cè)概率

設(shè)定LFM信號(hào)脈沖寬度為T(mén)=1 s，中心頻率f0=400 Hz，采樣頻率fs=8 kHz，調(diào)頻率200 Hz/s，窗函數(shù)為128點(diǎn)的Hanning窗，給定虛警概率Pfa=10-6，信噪比步進(jìn)為1 dB，每個(gè)信噪比下進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，分別采用FT方法和FrFT方法檢測(cè)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖6 檢測(cè)性能對(duì)比Fig.6 Comparison of detection performance

從圖6可以看出，在設(shè)置的仿真條件下，F(xiàn)rFT方法的檢測(cè)性能明顯優(yōu)于FT方法。這是因?yàn)?，雖然噪聲在傳統(tǒng)頻域和分?jǐn)?shù)階頻域都是分散的，不會(huì)出現(xiàn)明顯的能量聚集，但是LFM信號(hào)在傳統(tǒng)頻域中的幅值表現(xiàn)為矩形形狀的譜線，信號(hào)的能量沒(méi)有得到有效的累積，因此在噪聲條件下的檢測(cè)性能不佳；而LFM信號(hào)經(jīng)過(guò)FrFT后，會(huì)將信號(hào)能量累積到特定旋轉(zhuǎn)角和分?jǐn)?shù)階頻點(diǎn)的峰值中，相對(duì)壓低了噪聲能量，因而具有良好的檢測(cè)性能。

綜上所述，F(xiàn)rFT適合于對(duì)微弱LFM信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，其缺點(diǎn)是對(duì)于調(diào)頻率較小的LFM信號(hào)，參數(shù)離散分辨率會(huì)影響檢測(cè)性能，但可以采用一些優(yōu)化算法[13-14]在不增加運(yùn)算量的同時(shí)提高參數(shù)離散分辨率，實(shí)現(xiàn)微弱LFM信號(hào)檢測(cè)。

5 結(jié) 論

本文研究了微弱LFM信號(hào)的FrFT檢測(cè)能力問(wèn)題:基于FrFT檢測(cè)原理和二元假設(shè)檢驗(yàn)理論推導(dǎo)了FrFT檢測(cè)LFM信號(hào)的虛警概率和檢測(cè)概率，理論上分析了FrFT對(duì)LFM信號(hào)的檢測(cè)靈敏度，仿真對(duì)比了FrFT和FT檢測(cè)微弱LFM信號(hào)的能力，表明FrFT的對(duì)LFM信號(hào)的檢測(cè)能力優(yōu)于FT。文中的研究?jī)?nèi)容為實(shí)際工程應(yīng)用中FrFT檢測(cè)LFM信號(hào)設(shè)置合理的檢查門(mén)限提供了依據(jù)。下一步值得研究的問(wèn)題是在保證檢測(cè)效率的前提下提高FrFT檢測(cè)LFM信號(hào)的參數(shù)分辨率。