一種復(fù)合局部與非局部梯度的圖像去噪變分模型

吳 洋1,楊平先1,黃坤超2,陳明舉1，張 雷

(1.四川理工學(xué)院 自動(dòng)化與電子信息學(xué)院，四川 自貢 643000；2.中國西南電子技術(shù)研究所,成都 6100362； 3.航空工業(yè)成都飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司，成都610092)

1 引 言

圖像在獲取、傳輸?shù)纫幌盗羞^程中不可避免地受到噪聲的干擾，在很多領(lǐng)域中又需要清晰的、高分辨率的圖像，因此，圖像去噪問題是圖像處理最基本的研究課題之一?；谄⒎值淖兎帜Ｐ驮趫D像去噪中表現(xiàn)出較好的性能，經(jīng)典的局部變分模型是由 Rudin等[1]提出的ROF模型，該模型用L1范數(shù)空間描述圖像梯度信息，并利用圖像梯度控制擴(kuò)散速率以實(shí)現(xiàn)圖像去噪，同時(shí)較好地增強(qiáng)圖像的結(jié)構(gòu)輪廓信息。由于ROF模型通過極小化局部梯度實(shí)現(xiàn)去噪，不可避免地模糊圖像的紋理細(xì)節(jié)信息，并在圖像的平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)。針對(duì)ROF模型的缺點(diǎn)，先后出現(xiàn)了一些改進(jìn)模型，如不同的圖像特征區(qū)域采用不同的擴(kuò)散方式的前后向擴(kuò)散變分模型[2]、基于圖像方向特性的變分模型[3]以及基于Lp范數(shù)的自適應(yīng)全變分模型[4]等。這些模型在一定程度上提高了圖像的去噪性能，但無法克服局部梯度的局限性，未能有效利用圖像相鄰區(qū)域的信息。

Buades等人[5]利用圖像相似塊的信息，將非局部均值濾波理解為一種幾何擴(kuò)散模型，引入正則化技術(shù)建立非局部變分模型，該模型通過極小化非局部梯度的L2范數(shù)以實(shí)現(xiàn)圖像的去噪。Gilboa等人[6-7]對(duì)該模型進(jìn)行研究，將非局部化G空間的概念引入到非局部均值濾波模型中，提出了基于L1范數(shù)的非局部梯度的變分模型(Nonlocal Total Variation,NLTV)，并通過理論與實(shí)踐證明非局部變分模型比局部變分模型具有更好的圖像去噪性能，有效地重構(gòu)圖像的重復(fù)細(xì)節(jié)信息，克服階梯效應(yīng)。但非局部變分無法重構(gòu)孤立的圖像區(qū)域信息，模糊圖像的輪廓信息。為同時(shí)利用局部變分與非局部變分的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)[8]針對(duì)核磁共振圖像的特性，采用局部與非局部變分交替迭代，有效地增強(qiáng)了核磁共振圖像。該方法采用局部與非局部變分交替進(jìn)行，在每次迭代中不可避免局部與非局部變分的缺點(diǎn)，因此，對(duì)常規(guī)圖像處理效果并不理想。文獻(xiàn)[9]將局部變分與非局部變分分別作用于圖像的紋理部分與結(jié)構(gòu)部分，以提高圖像的去噪性能。該方法涉及到圖像不同成分的分解與極小化，運(yùn)算量較大，且在強(qiáng)噪聲干擾下，圖像的紋理與結(jié)構(gòu)成分分解困難，從而造成去噪性能下降。

針對(duì)上述方法的不足，為充分利用局部變分增強(qiáng)圖像的輪廓邊緣與非局部變分能有效重構(gòu)圖像的紋理信息的優(yōu)點(diǎn)，本文構(gòu)建了一種同時(shí)極小化圖像局部梯度與非局部梯度的復(fù)合變分模型，并給出了該模型的Bregman求解過程。該模型通過限制每次迭代后的圖像接近原始圖像的情況下，同時(shí)極小化圖像局部梯度與非局部梯度，使去噪后的圖像具有局部變分與非局部變分的優(yōu)點(diǎn)。對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明本模型能有效地重構(gòu)圖像細(xì)節(jié)信息，增強(qiáng)圖像輪廓，獲得更好的去噪性能。

2 局部與非局部變分去噪模型

圖像的獲取、傳輸不可避免地受到干擾，獲得的噪聲圖像可以表示為

f=u+n。

(1)

式中：f是獲得的噪聲圖像，n為干擾噪聲。圖像在有界變分空間Ω×Ω∈，全變分通過最小化圖像泛函獲得估計(jì)的圖像u。Rudin等人通過極小化圖像梯度L1范數(shù)，提出了經(jīng)典的變分模型(ROF模型):

(2)

圖1 Cameraman圖像TV與NLTV去噪的結(jié)果Fig.1 Cameraman image before and after denoising

非局部變分是近幾年興起的圖像處理技術(shù)，通過極小化非局部梯度L1范數(shù)實(shí)現(xiàn)去噪后的圖像逼近原圖。非局部變分模型為

(3)

(4)

wf(x,y)為以x、y為中心的相似兩塊權(quán)值函數(shù)，表達(dá)式為

(5)

非局部梯度考慮到圖像相似塊的信息，利用相似塊的信息獲得去噪圖像，能夠消除局部變分的階梯效應(yīng)，重構(gòu)重復(fù)的細(xì)節(jié)信息。然而，對(duì)于孤立圖像區(qū)域，非局部變分無能為力,從而造成對(duì)圖像孤立輪廓的破壞，如圖1(c)紅色橢圓區(qū)域。

為有效利用局部與非局部變分的優(yōu)點(diǎn)，我們構(gòu)建一個(gè)同時(shí)極小化圖像局部與非局部變分的復(fù)合變分模型(Local and Nonlocal Total Variation,LNLTV),該模型表達(dá)式為

(6)

該模型同時(shí)極小化圖像的局部梯度與非局部梯度的L1階范數(shù)，限制項(xiàng)使去噪后的圖像逼近原始圖像。因此，該模型兼顧局部變分與非局部變分的優(yōu)點(diǎn)，能消除局部變分的階梯效應(yīng)并增強(qiáng)重復(fù)紋理信息，克服非局部均值對(duì)圖像輪廓的破壞。

3 局部與非局部變分模型數(shù)值求解

(7)

借助于分裂Bregman迭代求解L1范數(shù)約束問題，用bw代替wu，bx代替xu，by代替yu,引入松弛因子dx、dy、dw與限制項(xiàng)參數(shù)λ1、λ2,式(7)帶限制項(xiàng)的極小化問題可進(jìn)一步表示為

(8)

(9)

(10)

(11)

采用交替極小化求解式(8)中的bx、by、bw[11]，可得

(12)

(13)

(14)

式中：shrink(u,δ)=sign(u)max(0,u-δ)。u極小化迭代求解，可以對(duì)式(8)求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)為0，有

(15)

從而可以得到uk+1的迭代求解表達(dá)式為

uk+1=(1+λ1Δ+λ2Δw)-1·

(16)

綜上所述，可以得到LNLTV模型的分裂Bregman迭代求解步驟如下：

While ‖uk+1-uk‖2>toldo

Gauss-Seidel算法求解uk+1

end while

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

為證明本文的復(fù)合局部與非局部梯度的LNLTV模型去噪性能，將本文提出的LNLTV模型與ROF變分模型、NLTV模型以及文獻(xiàn)[8-9]的聯(lián)合局部梯度與非局部梯度的變分模型進(jìn)行對(duì)比分析。實(shí)驗(yàn)采用CPU為 Intel i7、4 GB內(nèi)存的的臺(tái)式電腦，操作系統(tǒng)為64位Windows 10，各個(gè)模型程序由Matlab編寫。在實(shí)驗(yàn)所涉及到的非局部變分模型中，對(duì)于像素點(diǎn)x的相似區(qū)域搜索范圍限制在以x為中心的21×21區(qū)域,相似區(qū)域大小為5×5方形區(qū)域，迭代停止條件為tol≤0.001。在LNLTV模型中，參數(shù)μ1=μ2=0.25，λ1=λ2=0.01。選用標(biāo)準(zhǔn)圖Lena、Women、Texmos、Cameraman進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)中選用的標(biāo)準(zhǔn)圖Fig.2 Original images for experiments

采用峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio,PSNR)、結(jié)構(gòu)相似度(Structural Similarity Index,SSIM)與運(yùn)算時(shí)間t作為客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)。表1～3給出選用的標(biāo)準(zhǔn)圖片在不同強(qiáng)度噪聲干擾下采用不同變分模型去噪的結(jié)果，可以看出，ROF模型去噪后的PSNR與SSIM最低，這是由于ROF模型采用局部梯度，未能有效利用圖像的相鄰信息；相對(duì)于ROF模型，NLTV模型PSNR與SSIM提高較明顯，運(yùn)算時(shí)間t相對(duì)較大，這是由于NLTV模型利用圖像相似區(qū)域的信息去重構(gòu)圖像，去噪性能有一定的提高，但相似度的尋找計(jì)算量大、耗時(shí)多。文獻(xiàn)[8-9]與本文的LNLTV模型都綜合利用局部變分與非局部變分的優(yōu)點(diǎn)，相對(duì)于NLTV模型，PSNR與SSIM都有一定的提高。其中，文獻(xiàn)[9]獲得最大的2組PSNR與SSIM，其余10組最大的PSNR與SSIM由本文的LNLTV模型獲得。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，在強(qiáng)噪聲干擾下(σ=40)，本文的LNLTV模型的PSNR值高于文獻(xiàn)[9]的PSNR值0.5 dB以上，去噪提高效果明顯。另外，在運(yùn)行時(shí)間方面，本文LNLTV模型運(yùn)算時(shí)間約為文獻(xiàn)[9]的一半。綜上分析，在客觀評(píng)價(jià)方面，本文提出的LNLTV模型表現(xiàn)最優(yōu)，這是由于本文的LNLTV模型將局部變分與非局部變分同時(shí)作用于圖像，在迭代過程中更好地保留各自的優(yōu)點(diǎn)，在有效地增強(qiáng)圖像輪廓的同時(shí)更好地重構(gòu)相似區(qū)域的信息。

表1 不同圖片不同模型去噪后的PSNRTab.1 PSNR of different images after denoising with different models

表2 不同圖片不同模型去噪后的SSIMTab.2 SSIM of different images after denoising with different models

表3 不同圖片不同模型的去噪時(shí)間Tab.3 Computation time of different models

圖3給出了Texmos圖像在受高斯噪聲污染下(σ=20)采用5種模型去噪后的圖像與殘差圖像，誤差圖像為去噪后圖像與原始的差值。通過圖3可以觀察在噪聲干擾情況下各種模型對(duì)圖像平滑區(qū)域與邊界的影響情況。從圖3(b)中可以看出，ROF模型在平滑區(qū)域存在嚴(yán)重的階梯效應(yīng)。NLTV雖然克服了ROF模型的階梯效應(yīng)，但對(duì)圖像的邊緣輪廓造成了破壞(圖3(c)中殘差圖像輪廓明顯)。文獻(xiàn)[8]方法對(duì)圖像的輪廓保護(hù)較好，平滑區(qū)域仍然存在較大的殘留噪聲(圖3(d)所示)。文獻(xiàn)[9] 方法(圖3(e))與本文的LNLTV(圖3(f))在噪聲的去除與圖像信息保持方面表現(xiàn)較好，比較兩者的誤差圖像可以看出本文的LNLTV能更好地重構(gòu)圖像的細(xì)節(jié)。

圖3 Texmos圖像去噪前后的結(jié)果(σ=20)Fig.3 Texmos image before and after denoising(σ=20)

圖4給出了Lena圖像在受高斯噪聲污染下(σ=30)各模型去噪后的局部放大圖。通過帽子區(qū)域的對(duì)比觀察可以發(fā)現(xiàn)，ROF模型去噪后的圖像細(xì)節(jié)模糊嚴(yán)重，NLTV模型能保持圖像的一些細(xì)節(jié)，文獻(xiàn)[8]方法增強(qiáng)帽子邊緣的同時(shí)模糊圖像較小的細(xì)節(jié)，文獻(xiàn)[9]方法與本文的LNLTV模型在細(xì)節(jié)保持方面表現(xiàn)最好。

圖4 Lena圖像去噪前后放大圖(σ=30)Fig.4 Zoomed version of the denoised Lena image(σ=30)

圖5和圖6給出了Woman與Cameraman在強(qiáng)噪聲污染(σ=40)下去噪后的局部放大圖。對(duì)去噪后圖像的細(xì)節(jié)部分(圖5中頭巾區(qū)域、圖6中照相機(jī)區(qū)域)進(jìn)行對(duì)比觀察，再一次證實(shí)，ROF模型去噪后的圖像細(xì)節(jié)模糊嚴(yán)重，NLTV模型破壞圖像的輪廓，文獻(xiàn)[8]方法的結(jié)果存在大量的噪聲且對(duì)邊界造成了破壞，文獻(xiàn)[9]方法邊界保持較好，但平滑區(qū)域仍存在大量的噪聲。本文的LNLTV去噪圖像的殘留噪聲最少，同時(shí)圖像輪廓也較好地保持。因此，在強(qiáng)噪聲干擾下，本文提出的LNLTV模型在去除噪聲的同時(shí)更好地保留了圖像信息，去噪性能最優(yōu)。

圖5 Woman圖像去噪前后放大圖(σ=40)Fig.5 Zoomed version of the denoised Woman image(σ=40)

圖6 Cameraman圖像去噪前后放大圖(σ=40)Fig.6 Zoomed version of the denoised Cameraman image(σ=40)

5 結(jié)束語

本文針對(duì)局部變分模型模糊圖像的細(xì)節(jié)、在圖像的平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)，以及非局部變分模型對(duì)圖像的結(jié)構(gòu)輪廓破壞的缺點(diǎn)，提出了一種復(fù)合局部梯度與非局部梯度的變分去噪模型。在確保去噪后的圖像接近原始圖像的情況下，采用分裂Bregman迭代極小化圖像局部梯度與非局部梯度的L1范數(shù)實(shí)現(xiàn)模型的求解。與經(jīng)典ROF變分模型、NLTV模型以及復(fù)合變分模型進(jìn)行對(duì)比分析證明，本文提出的基于局部與非局部梯度的變分模型兼顧局部與非局部變分的優(yōu)點(diǎn)，能更好地重構(gòu)圖像的細(xì)節(jié)信息，增強(qiáng)圖像的輪廓，去除平滑區(qū)域的階梯效應(yīng)。因此，本文提出的復(fù)合變分模型具有更好的應(yīng)用前景。另外，將局部與非局部變分相結(jié)合應(yīng)用到特殊圖像處理中，如遙感圖像、電子顯微圖像、紅外圖像等相關(guān)領(lǐng)域，是將來研究的重點(diǎn)。