• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

      一類非線性Burgers方程組差分格式的計算穩(wěn)定性*

      2018-12-15 01:50:44馬永柳曹艷華
      吉首大學學報(自然科學版) 2018年5期
      關(guān)鍵詞:啟發(fā)性初值微分

      馬永柳,曹艷華

      (華北電力大學數(shù)理學院,北京 102206)

      在利用數(shù)值方法求解非線性偏微分方程時會產(chǎn)生計算不穩(wěn)定性.計算不穩(wěn)定性不同于線性不穩(wěn)定性,它是一種突變型的指數(shù)增長,且不會隨著時間步長和空間步長的改變而改變,因此在求解非線性偏微分方程時首先要分析其計算穩(wěn)定性.非線性偏微分方程初值問題的解,一般情況下只在時間T的局部范圍內(nèi)存在,即使初值充分光滑,其解的整體存在性也無法確定.相應的解在有限時間內(nèi)會失去正則性并產(chǎn)生奇解,稱為解的破裂[1-2].1968年,C W Hirt[3]提出了分析非線性偏微分方程差分格式計算穩(wěn)定性的方法,即啟發(fā)性分析方法.楊曉忠等[4]將啟發(fā)性分析方法用于判定KdV方程和Burgers方程的差分格式的計算穩(wěn)定性,并討論了三時間層和二時間層差分格式的計算穩(wěn)定性問題,得到了計算穩(wěn)定性的判斷依據(jù).Burgers方程是模擬沖擊波傳播和反射的非線性數(shù)學物理方程,被廣泛應用在流體力學、非線性聲學和氣體動力學等領(lǐng)域[5-9].對于非線性耦合Burgers方程組

      (1)

      曲娜等[10]僅分析了其差分格式的穩(wěn)定性而沒有考慮計算穩(wěn)定性.筆者將利用啟發(fā)性分析方法來推導該非線性耦合Burgers方程組差分格式具有計算穩(wěn)定性的必要條件.

      1 差分格式的表示

      向前差分格式為

      (2)

      選適當內(nèi)節(jié)點(xj,tk+1),則該節(jié)點處的微分方程組為

      向后差分格式為

      (3)

      2 差分格式計算穩(wěn)定性的啟發(fā)性分析

      將差分格式進行Taylor展開和自循環(huán)消元,轉(zhuǎn)化為等價的變形方程組,即修正微分方程組(Modified PDE).判斷該差分格式具有計算穩(wěn)定性的依據(jù)是其修正微分方程組等號右端的二階導數(shù)項為正耗散項,此方法稱為MPDE識別法.筆者將MPDE識別法運用于非線性耦合Burgers方程組(1),以向前差分格式(2)為例進行分析.由Taylor展開,可得

      進一步得到如下展開:

      (4)

      將Taylor展開結(jié)果(4)代入向前差分格式(2),可得

      略去上下標后可得

      (5)

      由方程組(5)可得

      對(6)式關(guān)于t求微分,可得

      (8)

      對(6)式關(guān)于x求微分,可得

      (9)

      對(7)式關(guān)于x求微分,可得

      (10)

      對(9)式關(guān)于x求微分,可得

      (11)

      將(7),(10),(11)式代入(8)式,可得

      (12)

      同理

      (13)

      將(12),(13)式代入方程組(5)可得向前差分格式(2)的修正微分方程組

      同理,向后差分格式(3)的修正微分方程組為

      由啟發(fā)性分析方法可知,只有當差分格式的修正微分方程等號右端的二階耗散項系數(shù)為正時,差分格式才具有計算穩(wěn)定性;因此有如下結(jié)論:

      定理1非線性耦合Burgers方程組(1)的向前差分格式(2)具有計算穩(wěn)定性的必要條件為

      定理2非線性耦合Burgers方程組(1)的向后差分格式(3)具有計算穩(wěn)定性的必要條件為

      3 數(shù)值實驗

      由定理1和定理2可知,非線性耦合Burgers方程組(1)的差分格式的計算穩(wěn)定性僅與u(x,t)和v(x,t)的初值及α,β,Δt有關(guān).現(xiàn)取4個初值進一步驗證非線性耦合Burgers方程組(1)的普遍性差分格式的計算穩(wěn)定性與初值、差分格式結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系.4個初值分別為:

      取α=-1,β=2,-5≤x≤5,0≤t≤1,則非線性耦合Burgers方程組(1)化為

      取Δx=0.1,Δt=0.001,左邊界值為0,右邊界值用Lagrange一次插值方法外插.差分格式的計算穩(wěn)定性結(jié)果列于表1.

      表1 差分格式的計算穩(wěn)定性結(jié)果

      由表1可知,當α,β,Δt固定時,差分格式的計算穩(wěn)定性僅與u(x,t)和v(x,t)的初值有關(guān),而不同的初值在x處取不同值時,就得到不同的計算穩(wěn)定性結(jié)果.

      4 結(jié)語

      利用啟發(fā)性差分格式對一類非線性耦合Burgers方程組的差分格式進行計算穩(wěn)定性分析,當差分格式的修正微分方程組等號右端的二階耗散系數(shù)大于0時,差分格式是穩(wěn)定的.非線性發(fā)展方程差分格式是否具有計算穩(wěn)定性,與方程解的性質(zhì)緊密相關(guān),而本研究中的非線性耦合Burgers方程組差分格式的計算穩(wěn)定性,依賴于其耗散系數(shù)α,β,Δt及初值u(x,0),v(x,0)的選取.

      雖然本研究得到的判斷依據(jù)只是判斷一類非線性耦合Burgers方程組差分格式計算穩(wěn)定性的必要條件,即差分格式具有計算穩(wěn)定性必須滿足該判斷依據(jù),而滿足該判斷依據(jù)的差分格式未必具有計算穩(wěn)定性;但是,由于在計算中利用該判斷依據(jù)可以刪除不具有計算穩(wěn)定性的差分格式,避免盲目計算,因此計算穩(wěn)定性的必要條件是非常有效且實用的.

      猜你喜歡
      啟發(fā)性初值微分
      觀點,因“啟發(fā)性”而深刻
      基于啟發(fā)性提示語的高中數(shù)學解題教學策略
      具非定常數(shù)初值的全變差方程解的漸近性
      談舞蹈教學中啟發(fā)性語言的運用
      樂府新聲(2021年3期)2021-11-04 09:22:06
      擬微分算子在Hp(ω)上的有界性
      一種適用于平動點周期軌道初值計算的簡化路徑搜索修正法
      上下解反向的脈沖微分包含解的存在性
      三維擬線性波方程的小初值光滑解
      開啟學科教學的多元功能
      借助微分探求連續(xù)函數(shù)的極值點
      海门市| 镇远县| 海阳市| 青冈县| 叙永县| 东宁县| 广丰县| 普安县| 扎鲁特旗| 泽普县| 佛山市| 石屏县| 余庆县| 宁安市| 南昌市| 洞头县| 庆安县| 三原县| 大埔县| 红原县| 钦州市| 监利县| 慈利县| 阳西县| 年辖:市辖区| 科尔| 建宁县| 稷山县| 同仁县| 崇阳县| 济阳县| 屏东市| 铜川市| 江源县| 安岳县| 扎鲁特旗| 沾化县| 原平市| 陵川县| 原阳县| 荆门市|