基于ATV正則化與初始模型約束的波阻抗反演*

李 曙，李 冉，金鵬程，曹繼華，陳澤平，周元玲，楊 喜

(吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

1 波阻抗反演方法研究現(xiàn)狀

地震波阻抗是一種重要的巖石屬性，它與巖性、孔隙度等巖石物理參數(shù)密切相關(guān)，因此如何獲取一直是勘探地震學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).疊后地震反演是得到波阻抗的有效方法，傳統(tǒng)的基于Tikhonov正則化的波阻抗反演方法，通過求解L2范數(shù)最優(yōu)化問題來得到波阻抗.這類方法具有簡(jiǎn)單和理論成熟的優(yōu)點(diǎn)，但是存在反演結(jié)果易受噪聲影響、垂直分界面過于光滑等問題，從而導(dǎo)致反演得到的波阻抗剖面的垂向分辨率不高、多解性較大等.為了克服這些問題，地球物理學(xué)家們嘗試引入新的理論.近年來，以壓縮感知和稀疏最優(yōu)化為代表的新理論引起了他們的注意.基于壓縮感知的算法，在只有少數(shù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的前提下，能夠以極高的精度對(duì)稀疏(或變換域稀疏)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu).[1]基于此，大量地球物理研究人員提出了基于壓縮感知理論的地震信號(hào)噪聲衰減、地震反褶積、疊前彈性參數(shù)反演和波阻抗反演等方法[2-6].在波阻抗反演方面，2010年，Wang Y F[7]提出了一種基于L1范數(shù)正則化和梯度下降的方法，該方法驗(yàn)證了L1范數(shù)正則化在波阻抗反演方面的可行性.L1范數(shù)正則化可以提高反演結(jié)果的抗噪聲性能，但是沒有充分利用地下巖層的先驗(yàn)信息，如一般認(rèn)為巖層是呈塊狀分布的，即同一巖層內(nèi)部的巖石屬性近似.為了將這一信息引入波阻抗反演以得到更符合地質(zhì)先驗(yàn)的結(jié)果，2014年，Zhang F C等[8]提出了基于L1范數(shù)誤差函數(shù)和全變分(Total Variation,TV)正則化的波阻抗反演方法，將數(shù)據(jù)保真項(xiàng)用L1范數(shù)表征的同時(shí)將波阻抗的全變分作為約束項(xiàng)，利用迭代重加權(quán)最小二乘方法求出反射系數(shù)后，借助波阻抗和反射系數(shù)之間的遞推關(guān)系求出波阻抗.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在已知0時(shí)刻的波阻抗值情況下，該方法對(duì)高斯噪聲和脈沖噪聲具有較好的魯棒性；全變分正則化的加入使得該方法能更清晰地刻畫地層的邊界.與Zhang F C等用L1范數(shù)表征數(shù)據(jù)保真項(xiàng)的做法不同，2015年，Liu C等[9]提出了用L2范數(shù)表征數(shù)據(jù)保真項(xiàng)并對(duì)反射系數(shù)項(xiàng)施加L1范數(shù)約束的波阻抗反演方法.與傳統(tǒng)的阻尼最小二乘反演方法相比，基于L1范數(shù)正則化的波阻抗反演方法具有明顯的抗噪聲優(yōu)勢(shì).

上述波阻抗反演方法只考慮了單道情況，沒有考慮地震數(shù)據(jù)各道之間的聯(lián)系.H Hamid等[10]發(fā)現(xiàn)了這一問題，提出了具有橫向約束的多道波阻抗同時(shí)反演方法.研究結(jié)果顯示，多道同時(shí)反演能充分利用地震數(shù)據(jù)的橫向連續(xù)性信息，提高反演結(jié)果的橫向連續(xù)性和抗噪聲性能，從而揭示更多的地質(zhì)結(jié)構(gòu)特征.A Gholami[11]提出了一種基于全變分正則化的非線性多道波阻抗同時(shí)反演方法，在進(jìn)行多道同時(shí)反演時(shí)，利用地震數(shù)據(jù)在時(shí)空信息方面的特點(diǎn)和全變分正則化在獲得塊狀波阻抗方面的優(yōu)勢(shì)，并采用DCT變換提升計(jì)算速度.Yuan S Y等[12]提出了具有變換域稀疏提升的多道波阻抗同時(shí)反演方法，利用信號(hào)和噪聲在變換域中系數(shù)值不同的特點(diǎn)來抑制噪聲.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用該方法可以穩(wěn)定反演過程，提高反演結(jié)果的橫向連續(xù)性，對(duì)高波數(shù)噪聲有較強(qiáng)的抑制能力.

前面介紹的反演方法都只是聯(lián)合使用1～2種正則化方法，沒有充分利用先驗(yàn)信息.在這種背景下，Li S等[4]提出了具有多種正則化約束的地震波阻抗反演方法，綜合了反射系數(shù)的L1范數(shù)稀疏約束、波阻抗的各向同性全變分約束、初始模型約束和多道同時(shí)反演等手段.實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，與基于L1范數(shù)正則化或全變分正則化的多道同時(shí)反演方法相比，該方法具有更優(yōu)的抗噪聲性能和更小的反演誤差，且能更清晰地刻畫地層的分界面.研究結(jié)果同時(shí)表明：與基于L1范數(shù)正則化多道同時(shí)反演方法相比，基于全變分正則化多道同時(shí)反演的反演效果有明顯提升；與基于全變分正則化多道同時(shí)反演方法相比，基于L1范數(shù)正則化和全變分正則化的多道同時(shí)反演方法的反演效果只是略有提升，卻面臨更復(fù)雜的正則化參數(shù)選擇問題.

上述反演方法中用到的全變分方法都是各向同性全變分(Isotropic Total Variation,ITV)方法，與ITV正則化方法相比，基于L1范數(shù)最小化的各向異性全變分正則化(Anisotropic Total Variation,ATV)方法對(duì)地震信號(hào)的稀疏性描述能力更強(qiáng)且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單.由于地球的濾波效應(yīng)將導(dǎo)致地表接收到的地震信號(hào)的低頻成分缺失，而在反演算法中加入初始模型約束可有效緩解這一問題，因此筆者將ATV正則化和初始模型約束相結(jié)合并采用多道同時(shí)反演的方式，實(shí)現(xiàn)基于ATV正則化和初始模型約束的多道波阻抗同時(shí)反演.

2 波阻抗反演方法

2.1 正演模型

2.2 反演方法

筆者將ATV正則化與初始模型約束相結(jié)合，提出了基于ATV正則化與初始模型約束的多道波阻抗同時(shí)反演方法(簡(jiǎn)稱新方法).新方法的目標(biāo)函數(shù)為數(shù)據(jù)保真項(xiàng)、ATV正則化項(xiàng)和初始模型約束項(xiàng)，即

(1)

等式右邊分別為數(shù)據(jù)保真項(xiàng)、ATV正則化項(xiàng)和初始模型約束項(xiàng).為了求解該目標(biāo)函數(shù)，筆者采用split Bregman迭代方法[13]，(1)式可進(jìn)一步表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

至此，目標(biāo)函數(shù)的求解已完成.為了更清晰地說明新方法的執(zhí)行過程，下面給出算法的偽代碼：

Input：μ，λ，α，tol，L，S，L′

While

k=k+1

End

End

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了測(cè)試新方法的效果，筆者利用Marmousi2模型[14]中的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，真實(shí)的波阻抗模型如圖1所示.從圖1可以看出，深度方向有450個(gè)采樣點(diǎn)，距離方向有500道.利用圖1所示的真實(shí)波阻抗剖面先求得反射系數(shù)剖面(圖2)，然后用反射系數(shù)剖面和一個(gè)主頻為40 Hz的雷克子波褶積產(chǎn)生合成地震記錄，再向該合成記錄中添加20%的高斯隨機(jī)噪聲，產(chǎn)生反演所需的合成地震剖面(圖3)，最后對(duì)真實(shí)波阻抗模型進(jìn)行高斯低通濾波，并將濾波后的結(jié)果作為初始波阻抗模型(圖4).

圖1 真實(shí)的波阻抗模型Fig. 1 True Acoustic Impedance Model

圖2 反射系數(shù)剖面Fig. 2 Reflectivity Section

圖3 合成地震剖面Fig. 3 Synthetic Seismic Section

圖4 初始波阻抗模型Fig. 4 Initial Acoustic Impedance Model

設(shè)置參數(shù)μ=4×10-5,λ=4.5×10-3,α=0.6×10-5，反演結(jié)果如圖5所示.為便于觀察單道的反演情況，筆者抽取第200道的反演結(jié)果，并與相應(yīng)位置的真實(shí)波阻抗曲線、初始模型波阻抗曲線作對(duì)比，結(jié)果如圖6所示.

圖5 反演結(jié)果Fig. 5 Inversion Result

圖6 第200道的反演結(jié)果Fig. 6 Inversion Result of Trace 200

將圖5的反演結(jié)果剖面與圖1的真實(shí)波阻抗剖面進(jìn)行對(duì)比，就可發(fā)現(xiàn)即使在較強(qiáng)噪聲干擾的情況下，新方法仍然能得到較好的反演效果：不僅能清晰地勾勒出大多數(shù)層位，而且反演結(jié)果與真實(shí)值之間的相對(duì)誤差也較小.圖6所示的單道反演結(jié)果，從微觀層面表明新方法的反演結(jié)果與真實(shí)波阻抗值之間的誤差較小.

4 結(jié)語

提出了一種基于ATV正則化與初始模型約束的多道波阻抗同時(shí)反演方法，利用該方法既能得到塊狀的反演結(jié)果，又能緩解地震信號(hào)缺失低頻信息的問題.此外，為了求解目標(biāo)函數(shù)，筆者提出了一種基于split Bregman的迭代算法，并選用Marmousi 2模型中的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試.測(cè)試結(jié)果表明，即使在噪聲干擾較大的情況下仍然能獲得較好的反演結(jié)果，反演結(jié)果與真實(shí)值之間的相對(duì)誤差較小.