例談高考向量試題的解法

☉山東省肥城市第一高級中學(xué) 田祖榮

在數(shù)學(xué)解題中，我們要有意識地應(yīng)用一些常規(guī)且熟知的方法去分析問題、解決問題，形成能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有良好的數(shù)學(xué)頭腦和獨(dú)特的解題眼光.特別對于平面向量問題，需要抓住基本的解題方法加以突破，達(dá)到巧妙求解平面向量的目的.

一、基底法

在解決一些平面向量的線性運(yùn)算問題中，經(jīng)常根據(jù)平面向量的基本定理，通過轉(zhuǎn)化，把對應(yīng)的向量轉(zhuǎn)化為只含有基底的兩個(gè)向量（不共線）的運(yùn)算，進(jìn)而利用向量的有關(guān)運(yùn)算法則來處理.通過此種基底法來解決相關(guān)的平面向量問題，往往可使平面向量問題簡單化、統(tǒng)一化，方便進(jìn)一步分析與求解.

例1 （2018年全國卷Ⅰ）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則=（ ）.

圖1

點(diǎn)評：通過合適基底的選取，使得相關(guān)平面向量的線性轉(zhuǎn)化有目標(biāo)，最終的運(yùn)算得以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.基底法處理，巧妙化解決.

二、坐標(biāo)法

在解答高考平面向量試題時(shí)，結(jié)合已有的平面直角坐標(biāo)系或利用題目條件建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，通過對應(yīng)點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積公式等來處理相應(yīng)的平面向量問題.利用坐標(biāo)法解決平面向量問題時(shí)，具有很強(qiáng)的目的性與操作性，解答過程流暢，解題方法巧妙.

例2（2018年上海卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），E，F(xiàn)是y軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，且=2，則的最小值為______.

分析：直接利用已知平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，結(jié)合條件確定對應(yīng)參數(shù)之間的關(guān)系式，通過坐標(biāo)運(yùn)算得到的關(guān)系式，通過配方來確定最值即可.

點(diǎn)評：通過坐標(biāo)法的處理，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，把對應(yīng)的平面向量的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定相應(yīng)的最值.利用坐標(biāo)法解決平面向量問題，特別是數(shù)量積問題，也是高考等相關(guān)考試中比較常見的一類技巧方法.

三、平方法

在平面向量的性質(zhì)中，向量模長的性質(zhì)|a|2=a2往往是解決問題的一個(gè)突破口，可以巧妙轉(zhuǎn)化數(shù)量積運(yùn)算與模長問題.利用平方法，可以有效實(shí)現(xiàn)數(shù)量積運(yùn)算與模長問題兩者之間的轉(zhuǎn)化，解答巧妙.

例3 （2018年北京卷）設(shè)a，b均為單位向量，則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的（ ）.

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

分析：結(jié)合題目條件，通過關(guān)系式|a-3b|=|3a+b|的平方展開，結(jié)合a·b=0與a⊥b的關(guān)系來分析與判斷充分必要條件問題.

解：由于a，b均為單位向量，可得a2=b2=1.

當(dāng)|a-3b|=|3a+b|時(shí)，兩邊平方整理可得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2，則有a·b=0，可得a⊥b；

反之，當(dāng)a⊥b時(shí)，則有a·b=0，可得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2，即（a-3b）2=（3a+b）2，亦即|a-3b|=|3a+b|成立.

所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要條件.故選C.

點(diǎn)評：在解決一些平面向量的模問題時(shí)，往往巧妙利用平方法，有效轉(zhuǎn)化數(shù)量積運(yùn)算與模長問題，再結(jié)合平面向量與相關(guān)知識（涉及函數(shù)或不等式等）來處理與分析問題.這也是解決平面向量問題中比較常見的一類思維方式.

四、極化恒等式法

例4 （2018年天津卷）如圖2，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則的最小值為（ ）.

圖2

解：如圖3，取AB的中點(diǎn)F，連接EF.根據(jù)極化恒等式可得=

圖3

因?yàn)锳D⊥CD，從而可得EF∥AD.

又∠BAD=120°，可得∠AFE=60°.

如圖3，過點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為點(diǎn)G，

而此時(shí)四邊形AGED為矩形，可得EG=AD=1，則有EF=EG+FG=.

點(diǎn)評：由于極化恒等式具有化動（動點(diǎn)）為定（定點(diǎn)），化動（動態(tài)）為靜（靜態(tài)），化曲（曲線）為直（直線），化普通為特殊之功效，應(yīng)用十分靈活.特別地，在近幾年全國各地高考試題中，與極化恒等式有關(guān)的素材迅速成為創(chuàng)新問題的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)，隨之出現(xiàn)與之相關(guān)的平面向量的相關(guān)應(yīng)用問題.

五、不等式法

含有絕對值的不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，既適用于代數(shù)形式，也適用于向量形式.在處理一些涉及平面向量的模的最值問題時(shí)，有時(shí)可以利用絕對值不等式的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，顯得更為簡單快捷.

例5 （2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是（ ）.

分析：巧妙通過轉(zhuǎn)化|a-b|=|a-2e-（b-2e）|，再結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)，可以非常有效快捷地轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以確定|a-b|的最小值.

解：由b2-4e·b+3=0，可得（b-2e）2=1，即|b-2e|=1，

所以|a-b|=|a-2e-（b-2e）|≥|a-2e|-|b-2e（|絕對值不等式）≥|2e|sin-1=-1（當(dāng)且僅當(dāng)向量a-2e與a垂直時(shí)，|a-2e|最小，此時(shí)|a|=1）.故選A.

點(diǎn)評：利用含有絕對值的不等式定理來處理有關(guān)平面向量的模的最值問題，關(guān)鍵是對條件加以合理、適當(dāng)轉(zhuǎn)化，再通過適當(dāng)?shù)姆趴s變化來處理相應(yīng)的最值問題.方法簡單易懂，過程簡便.

其實(shí)，數(shù)學(xué)方法是從數(shù)學(xué)基本知識或內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)知識的精髓，是將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁之一，有著廣泛的應(yīng)用.特別地，由于平面向量的特殊形式，其對應(yīng)問題中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)方法，根據(jù)相應(yīng)的題設(shè)特點(diǎn)，以及平面向量的相關(guān)知識，靈活地運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法與技巧，往往能使問題的解決更為簡捷、準(zhǔn)確，提高效益.W