聯(lián)合數(shù)學(xué)思想方法，積累問題解決的經(jīng)驗

黃秀文

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標準》（2011版）在總目標里明確提出要增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。要將這一目標落實到課堂中，就要求教師要探索可操作的教學(xué)策略提高學(xué)生的四能。而數(shù)學(xué)基本思想方法的使用對問題解決可以收到化難為易的效果，對于學(xué)生四能的培養(yǎng)也發(fā)揮著重大作用。筆者就如何應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合、類比思想、模型思想等四種數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生分析、解決問題，積累問題解決的經(jīng)驗進行闡述。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法 問題解決 積累經(jīng)驗

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）31-0127-02

一、用數(shù)形結(jié)合，直觀信息

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！蔽覀冋J為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。問題解決的題目多數(shù)以抽象的、枯燥的文字和數(shù)據(jù)呈現(xiàn)，不便于學(xué)生思維從具體發(fā)展到抽象，不利于分析問題。借助數(shù)形結(jié)合，便可以將抽象信息直觀化。

[案例]新人教版五上的p74《實際問題與方程例2》

本題如果用算術(shù)方法解題，需要逆向思考，思維難度較大，易出現(xiàn)錯誤。提倡列方程解答，找出數(shù)量關(guān)系便是解題的關(guān)鍵。分析數(shù)量關(guān)系，僅依靠題中文字“白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊”，少數(shù)學(xué)習(xí)品質(zhì)高的學(xué)生易明白其中的數(shù)量關(guān)系，但學(xué)習(xí)品質(zhì)中下的學(xué)生面對抽象的文字，要找出等量關(guān)系式有難度。此時，便可以將數(shù)與形結(jié)合起來理解，如圖：

這樣的線段圖，將黑色皮與白色皮之間的數(shù)量關(guān)系直觀化，這對于后進生理解題意有很大幫助。數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，也不是一朝一夕就可以形成。需要執(zhí)教教師從低年級起培養(yǎng)，從簡單具體的實物圖，示意圖逐步發(fā)展到簡潔抽象的線段圖；從執(zhí)教教師示范畫圖到學(xué)生模仿畫圖，到最后學(xué)生根據(jù)信息獨立畫圖，逐漸培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法來呈現(xiàn)信息，逐步積累自主畫圖分析問題、解決問題的經(jīng)驗。

二、用轉(zhuǎn)化思想，簡化問題

轉(zhuǎn)化思想， 它是指將不熟悉的、未知的、復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為熟悉的、已知的、簡單的問題，從而使問題順利解決的數(shù)學(xué)思想。隨著年級的增長，數(shù)學(xué)問題越來越有探究性，同時隨著數(shù)學(xué)知識的螺旋式的發(fā)展，前后知識聯(lián)系密切，并有一系列問題是同種類型的問題，解題方法可以遷移，可以轉(zhuǎn)化。學(xué)生可以原有的問題解決的經(jīng)驗上發(fā)展新經(jīng)驗。

[案例1]新人教版四下的p68《四邊形的內(nèi)角和》

本課是在《三角形的內(nèi)角和》后繼續(xù)探究《四邊形的內(nèi)角和》，學(xué)生根據(jù)前一節(jié)課問題解題經(jīng)驗，容易想用測量和剪拼的方法解決問題。如何在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上發(fā)展新經(jīng)驗，需要執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)新舊問題之間的關(guān)系，能不能把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，即將求四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為求三角形的內(nèi)角和，借助已有的結(jié)論解決問題，積累轉(zhuǎn)化問題、解決問題的新經(jīng)驗。

[案例2]新人教版五上的p87《四邊形的內(nèi)角和》

在本課之前，學(xué)生已有計算長方形和正方形面積的基礎(chǔ)，學(xué)生也易想到用格子測量。為了更準確的數(shù)格子，通過移和拼將不滿一格的拼在一起數(shù)。再進一步的追問：不數(shù)方格，能不能計算平行四邊形的面積呢？引發(fā)學(xué)生觀察思考平行四邊形與長方形之間的聯(lián)系，找到轉(zhuǎn)化的契機，通過剪拼將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)為熟悉的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。

可見，轉(zhuǎn)化思想在問題解決中一種好方法，也是一種可借鑒的經(jīng)驗。但是轉(zhuǎn)化的時機，轉(zhuǎn)化的結(jié)果都是根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，在平時就要多引導(dǎo)學(xué)生觀察對比一類事物之間的區(qū)別與聯(lián)系，在解決問題時尋找合適的時機，順水推舟，將未知的轉(zhuǎn)化為已知的，問題也就迎刃而解。

三、用類比思想，遷移方法

類比，就是根據(jù)兩類事物在某種屬性上相似或相同，而推出它們在其他屬性上也可能相似或相同的推理方法。[1]在問題解決過程應(yīng)用類比思想方法，特別是類比問題解決方法可以幫助學(xué)生理解，化難為易，提高課堂效率。

[案例]新人教版六上的p3《分數(shù)乘法》

本課是通過復(fù)習(xí)和喚醒學(xué)生整數(shù)乘法的數(shù)量關(guān)系，在引出分數(shù)乘法。引導(dǎo)學(xué)生通過類比前后問題的聯(lián)系，都是根據(jù)“單位量×數(shù)量=總量”的關(guān)系列式。有了相同的數(shù)量關(guān)系式后，把單位量換成分數(shù)，依舊要用乘法解決，學(xué)生很快就可以列出分數(shù)乘法的算式來解決問題。

類比思想在數(shù)學(xué)問題解決中常見的方法，以上“單位量×數(shù)量=總量”的關(guān)系式，在數(shù)學(xué)問題里也有類似的關(guān)系，如工程問題與行程問題。在教學(xué)這些問題時，可以通過類比他們之間的聯(lián)系，整合新舊知識之間的聯(lián)系，不斷應(yīng)用和積累問題解決的經(jīng)驗，提升問題解決能力。

四、用模型思想，固化結(jié)論

模型思想，對現(xiàn)實問題從量的方面進行數(shù)學(xué)抽象，所得到的用數(shù)學(xué)符號表達的數(shù)學(xué)對象成為數(shù)學(xué)模型，建立和研究客觀事物的數(shù)學(xué)模型，從量的方面來揭示數(shù)學(xué)對象本質(zhì)特征和變化規(guī)律。[2]從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念，定理，規(guī)律，法則，公式，性質(zhì)，數(shù)量關(guān)系式，圖表，程序等都是數(shù)學(xué)模型。而數(shù)學(xué)模型思想在問題解決中應(yīng)用，根據(jù)一棵的研究學(xué)習(xí)，建立數(shù)量關(guān)系等，能夠幫助解決一類問題，實現(xiàn)經(jīng)驗間的聯(lián)結(jié)，形成知識系統(tǒng)化發(fā)展。

[案例]新人教版五上的p106《數(shù)學(xué)廣角-植樹問題》。

教學(xué)時，首先將復(fù)雜的100米小路轉(zhuǎn)化成在一段長20米的路的一旁，每間隔5米種一棵樹，可能種幾棵樹？整個探究過程是開放的，學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗和能力解決了問題。教師設(shè)計了一個開放的問題，一個大膽發(fā)言的環(huán)境，一個充分對話的過程，讓學(xué)生在解決問題過程中發(fā)現(xiàn)植樹問題有多種形式，啟發(fā)學(xué)生借助線段圖或直觀圖來說明，提高了學(xué)生的分析力和判斷力，同時初步總結(jié)出栽樹的棵樹與間隔數(shù)之間的關(guān)系。在第一次20米路的問題解決的模型下，學(xué)生通過在30米、40米上加以驗證。經(jīng)歷一個借助數(shù)形結(jié)合，同時讓學(xué)生充分嘗試體驗的基礎(chǔ)上通過不完全歸納總結(jié)規(guī)律，完成構(gòu)建“棵樹與間隔數(shù)之間關(guān)系”的模型。

模型的構(gòu)建，有利于學(xué)生切實理解和掌握某一類問題的解決途徑和方法。這在問題解決過程，要引導(dǎo)學(xué)生善于觀察與發(fā)現(xiàn)事物的特征，善于歸納與總結(jié)事物之間的聯(lián)系，實現(xiàn)通過一個問題的研究來形成模型，再將這類問題的模型和解題經(jīng)驗延伸到相關(guān)的問題。同時要注重生活問題與數(shù)學(xué)問題的溝通與轉(zhuǎn)化，活用模型思想解決問題。

五、結(jié)束語

小學(xué)數(shù)學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法還有很多，筆者主要以以上四種常見的思想方法為例，淺談如何結(jié)合他們提升問題解決的能力。在聯(lián)合數(shù)學(xué)思想方法時，要注重分析教材，分析學(xué)情，特別是學(xué)生已有的知識、技能和經(jīng)驗基礎(chǔ)，再選擇適合的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷一個發(fā)展經(jīng)驗——應(yīng)用經(jīng)驗——建立新經(jīng)驗的過程，旨在幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，將數(shù)學(xué)問題解決系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，逐步提高學(xué)習(xí)能力，促進全面發(fā)展。

參考文獻：

[1]吳茗.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中類比的運用[J].讀與寫：教育教學(xué)刊， 2012（9）：217.

[2]張茹華.小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)研究[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2009（2）：8-11.