試卷講評(píng)時(shí)對(duì)較難考題的教學(xué)應(yīng)對(duì)
——以兩道北京考題及變式拓展為例

☉江蘇省如皋市港城實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部沈爭(zhēng)光

一、寫在前面

最近一次九年級(jí)的階段調(diào)研測(cè)試中，有一道“較難考題”難住了絕大多數(shù)學(xué)生，題目如下：

較難考題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（-1，2）、N（2，1），若拋物線y=ax2-x+2（a≠0）與線段MN有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍.

為了追求較好的講評(píng)效果，備課組經(jīng)過(guò)集體打磨，生成如下一份專題復(fù)習(xí)課案.本文整理出來(lái)，供分享和研討.

二、微專題教學(xué)課例

例1（2016年北京，改編）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2-2mx+m-1與x軸的交點(diǎn)為A、B.橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn).若拋物線在點(diǎn)A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖像，求m的取值范圍.

教學(xué)組織：預(yù)設(shè)如下問(wèn)題串，啟發(fā)學(xué)生思考.

問(wèn)題1：求該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（預(yù)設(shè)：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1））

問(wèn)題2：當(dāng)m=1時(shí)，分析線段AB上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù).（預(yù)設(shè)：3個(gè)）

圖1

在這兩個(gè)問(wèn)題的引導(dǎo)之下，畫出草圖分析，

如圖1，拋物線在點(diǎn)A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個(gè)整點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A應(yīng)該在（-1，0）與（-2，0）之間（包括（-1，0）），當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)（-1，0）時(shí)，m=當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0）時(shí)，m=于是可確定m的取值范圍為.教學(xué)時(shí)注意追問(wèn)學(xué)生對(duì)這里的“＜”“≤”進(jìn)行辨析.另外，還可追問(wèn)學(xué)生是否可以把右側(cè)的兩個(gè)臨界點(diǎn)（3，0）與（4，0）分別代入拋物線的解析式，求出相應(yīng)的m的值.讓學(xué)生理解根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，它們是一致的.

變式拓展：（2018年山東濟(jì)南，改編）若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)M滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)M叫作“整點(diǎn)”.例如，P（1，0）、Q（2，-2）都是“整點(diǎn)”.拋物線y=mx2-4mx+4m-2（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有7個(gè)整點(diǎn)，分析m的取值范圍.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生獨(dú)立思考后，很快能確認(rèn)拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2），對(duì)稱軸是直線x=2.可知點(diǎn)（2，0）、點(diǎn)（2，-1）、頂點(diǎn)（2，-2）一定會(huì)在“圍成區(qū)域”內(nèi)，這樣可進(jìn)一步構(gòu)造出如圖2～圖4所示的一些草圖分析.

圖2（m=時(shí)）

圖3（m=1時(shí)）

圖4（m=2時(shí)）

接下來(lái)，根據(jù)m的值越大，拋物線的開口越小，m的值越小，拋物線的開口越大，可得到＜m≤1時(shí)，該函數(shù)的圖像與x軸所圍城的區(qū)域（含邊界）內(nèi)有7個(gè)整點(diǎn).要注意引導(dǎo)學(xué)生辨析“等號(hào)”添加的位置.

例2（2018年北京，改編）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），將點(diǎn)B（0，4）向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C.若拋物線與線段BC恰有1個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，求a的取值范圍.

教學(xué)組織：預(yù)設(shè)以下問(wèn)題串，啟發(fā)學(xué)生獲得思路.

問(wèn)題1：寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（預(yù)設(shè)：B（0，4）、C（5，4））

問(wèn)題2：求出拋物線的對(duì)稱軸；（預(yù)設(shè)：直線x=1）

問(wèn)題3：當(dāng)拋物線與直線BC恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，分析a的值；（預(yù)設(shè)：此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)在BC上，可分析出頂點(diǎn)為（1，4），將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中，得a-2a-3a=4，解得a=-1）

問(wèn)題4：當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，分析拋物線與線段BC的公共點(diǎn)情況（.預(yù)設(shè)：0＜a＜-1時(shí)，拋物線與線段BC沒(méi)有交點(diǎn)；a=-1時(shí)，拋物線與線段BC只有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-≤a＜-1時(shí)，拋物線與線段BC有2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)a＜-時(shí)，拋物線與線段BC只有1個(gè)公共點(diǎn)）

在以上4個(gè)問(wèn)題的引導(dǎo)之下，學(xué)生再分析時(shí)，就知道要分三種情形討論，分別對(duì)應(yīng)著圖5～7.

圖5

圖6

圖7

①如圖5，當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解得a=；

②如圖6，當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解得a=-；

③如圖7，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在BC上時(shí)，此時(shí)頂點(diǎn)為（1，4），代入拋物線的解析式，解得a=-1.

變式拓展：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M（-1，2）、N（2，1），若拋物線y=ax2-x+2（a≠0）與線段MN有2個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍.

教學(xué)預(yù)設(shè)：由于這道較難題多數(shù)學(xué)生都不會(huì)，所以預(yù)設(shè)以下詳細(xì)講評(píng).需要分兩種情況研究.

情況1：當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，且經(jīng)過(guò)y軸正半軸上的定點(diǎn)（0，2），這樣，只要考慮拋物線經(jīng)過(guò)線段MN的左端點(diǎn)M（-1，2）就行了，只要經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，則右側(cè)線段MN一定會(huì)有另一個(gè)交點(diǎn)存在.把M（-1，2）的坐標(biāo)代入y=ax2-x+2中，解得a=-1.再想清只要a≤-1時(shí)，拋物線的張口就很小，一定會(huì)與線段MN有2個(gè)不同交點(diǎn).

情況2：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，這里先要考慮拋物線與直線MN有兩個(gè)不同交點(diǎn)的情況，這需要聯(lián)立它們的解析式（注意直線方程是y=-，得到關(guān)于x的一元二次方程，計(jì)算Δ＞0，得a＜；進(jìn)一步，再考慮線段MN的端點(diǎn)，這時(shí)不需要考慮點(diǎn)M，因?yàn)辄c(diǎn)M在（0，2）的左側(cè)，只要考慮線段NM的右端點(diǎn)N（2，1），代入拋物線的解析式，求出a=.故這樣綜合想清≤a＜.

另外，還可借助電腦上一些繪圖軟件生成一些臨界圖形，幫助學(xué)生直觀感知上述臨界值的確定，如圖8-12.

圖8（a=0.9時(shí)）

圖9（a=時(shí)）

圖10（a=時(shí)）

三、教后反思

1.“含參”函數(shù)題講評(píng)時(shí)要注意數(shù)形互助

近年來(lái)，“含參”函數(shù)題連續(xù)出現(xiàn)在北京、河北、福建等省級(jí)中考試題中的把關(guān)題或較難題位置，帶來(lái)強(qiáng)烈的導(dǎo)向，很多地區(qū)的中考命題都積極跟進(jìn)，產(chǎn)生了很多“含參”函數(shù)考題.這類試題的特點(diǎn)就是不給圖像，需要隨著對(duì)條件的分析，選取一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定一些臨界圖形的位置，再數(shù)形結(jié)合分析出字母參數(shù)的取值范圍.在上面的復(fù)習(xí)課例中，我們不但預(yù)設(shè)了問(wèn)題串鋪墊設(shè)問(wèn)，也提供了一些“臨界圖形”促進(jìn)學(xué)生更好地直觀理解.值得一提的是，提供臨界圖形要盡可能精準(zhǔn)，因?yàn)橐粋€(gè)精準(zhǔn)的圖形往往能啟示解題方向、校正思路，這也是上面我們運(yùn)用電腦軟件作圖的原因，可以讓學(xué)生獲得更好的“視覺(jué)”效果.

圖11（a=-1時(shí)）

圖12（a=-3時(shí)）

2.中考微專題復(fù)習(xí)宜同類題組變式呈現(xiàn)

《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）最近兩年刊發(fā)了很多中考微專題復(fù)習(xí)課，對(duì)我們的日常教學(xué)非常有幫助，這些課例文章中的教學(xué)設(shè)計(jì)詳細(xì)，既有各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的例題呈現(xiàn)，又有教學(xué)預(yù)設(shè)下的具體的鋪墊設(shè)問(wèn)，有些課例還提供了變式檢測(cè)，是非常實(shí)用、接地氣的微專題課例，可以直接“拿來(lái)”使用.像上文中的這份習(xí)題課的教學(xué)課例一樣，也是得到相關(guān)課例文獻(xiàn)的啟示，對(duì)較難題的講評(píng)進(jìn)行了精心準(zhǔn)備，收集了同類問(wèn)題，并以題組形式歸類呈現(xiàn)，漸次推進(jìn)，變式拓展，通過(guò)一系列同類問(wèn)題的層層遞進(jìn)，再組織學(xué)生共同思考“較難題”，起 到了較好的教學(xué)效果，一些成績(jī)中等的學(xué)生也紛紛表示能理解這道“較難題”.

四、寫在后面

在本文最后，想提及所謂的課題研究，特別是一些“高、大、上”的省、市級(jí)課題研究，普通一線教師往往“望而卻步、敬而遠(yuǎn)之”.像本文這樣從日常教學(xué)中較難題的講評(píng)出發(fā)，檢索、搜集同類題組，并構(gòu)思成主題聚焦的微專題教學(xué)，想來(lái)不但是我們力所能及的，而且能切實(shí)解決教學(xué)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，這大概也是值得我們重視的“手邊課題”吧.