“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”引入新知，讓“數(shù)學(xué)課講數(shù)學(xué)”
——以“銳角三角函數(shù)”概念引入為例

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星澄學(xué)校焦小金

一、本文緣起

最近在某教學(xué)研討QQ群（該群有幾百人，多為全國(guó)各地初中數(shù)學(xué)教師）中有人提問(wèn)：

話題研討：從梯子的傾斜程度怎樣自然引出正切？大家一般怎樣處理？我想重組教材，但不知道怎么改變.

隨后群里零星有幾個(gè)老師發(fā)言，多不著邊際，未見(jiàn)說(shuō)到本質(zhì)，多屬于“教教材”層次的研討發(fā)言，這里不再引述.筆者沒(méi)有參與群內(nèi)發(fā)言討論，但感覺(jué)這個(gè)問(wèn)題是值得思考的，本著個(gè)人教研興趣，查閱不同版本教材，并進(jìn)行“學(xué)材再建構(gòu)”［1］的情境創(chuàng)設(shè)，供研討.

二、不同版本教材是如何引出“銳角三角函數(shù)”概念的

筆者查閱了幾種版本教材上關(guān)于銳角三角函數(shù)的情境創(chuàng)設(shè)，概述如下：

蘇科版教材：從體育館設(shè)計(jì)不同坡度的臺(tái)階出發(fā)，先讓學(xué)生觀察感受哪個(gè)臺(tái)階更陡，然后利用相似確認(rèn)了“如果直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定，那么這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值也確定”，然后生成正切的定義，再以大量練習(xí)訓(xùn)練學(xué)生會(huì)正切值；接下來(lái)的一小節(jié)繼續(xù)以這樣的方式引出正弦、余弦的概念，直到最后才告知學(xué)生它們就是銳角三角函數(shù).其對(duì)函數(shù)的本質(zhì)揭示不夠.

北師大版教材：與蘇科版教材類似，以一個(gè)梯子擺放在墻上的情境引出正切的概念，然后練習(xí)訓(xùn)練，第二小節(jié)再引出正弦、余弦的概念，最后“輕描淡寫”地給出：“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù)，當(dāng)銳角A變化時(shí)，相應(yīng)的正弦、余弦、正切也隨之變化.”這段描述甚至都沒(méi)有像蘇科版教材指出“隨之唯一確定”，而我們知道“單值對(duì)應(yīng)”是函數(shù)概念的本質(zhì)所在.

人教課標(biāo)版教材：出示一個(gè)生活現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，綠化荒山，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面進(jìn)行綠化與噴灌，然后出示一個(gè)截面為含30°的直角三角形，依據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”引出“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于”，然后變換不同角度，研究這個(gè)比值是否相應(yīng)的也是一個(gè)固定值，最后得出“在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值”.同樣直到第二節(jié)才明確了銳角三角函數(shù)概念，對(duì)函數(shù)的本質(zhì)也強(qiáng)調(diào)不夠.

三、基于數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯連貫、前后一致的情境創(chuàng)設(shè)

對(duì)于函數(shù)概念的深刻理解，賀信淳等老師曾指出“一個(gè)函數(shù)包括兩個(gè)方面，一是它應(yīng)有兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)、互相影響的變量，其中率先變化的叫自變量，它在一定范圍內(nèi)取值；二是它應(yīng)有一個(gè)明確的對(duì)應(yīng)法則，按照這個(gè)法則，才能找到與x對(duì)應(yīng)的唯一確定的y的值.在規(guī)定的函數(shù)的意義中，并沒(méi)有強(qiáng)調(diào)函數(shù)中的變量必須是‘?dāng)?shù)’，也沒(méi)有強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)法則必須是一個(gè)代數(shù)式，這就是說(shuō)，還會(huì)有其他形式的函數(shù)存在”［2］，并提出“三角函數(shù)就是這樣的函數(shù)，它的自變量是角的集合，而對(duì)應(yīng)法則是通過(guò)敘述一個(gè)固定的規(guī)則給出的”.基于以上認(rèn)識(shí)，我們本著初、高中數(shù)學(xué)前后一致、邏輯連貫的思考，構(gòu)思了如下銳角三角函數(shù)的情境創(chuàng)設(shè).

開課情境：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，先畫一個(gè)正比例函數(shù)y=x的圖像.

圖1

圖2

圖3

問(wèn)題1：該直線與x軸所成銳角是多少度？

預(yù)設(shè)：學(xué)生很快就答出是45°，教師追問(wèn)是怎么知道的，學(xué)生應(yīng)該能想到構(gòu)造等腰直角三角形進(jìn)行解釋，教師肯定學(xué)生的回答.注意讓學(xué)生利用圖1，任取兩點(diǎn)A、B說(shuō)明理由，可以舉特殊數(shù)據(jù)的例子，重在感受此時(shí)直角三角形的邊角關(guān)系.

問(wèn)題2：現(xiàn)在把直線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)直線與x軸所夾銳角恰為30°時(shí)，能求出此時(shí)直線對(duì)應(yīng)的正比例函數(shù)的解析式嗎？

預(yù)設(shè)講授：上面我們只把目光投向第一象限，在正比例函數(shù)圖像上任取一點(diǎn)，向x軸作垂線，主要研究了縱、橫坐標(biāo)之比值的變化情況.學(xué)生通過(guò)舉例發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與x軸所夾銳角的度數(shù)確定后，圖像上任意一點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)之比值也隨之唯一確定.可以發(fā)現(xiàn)在這個(gè)變化過(guò)程中，本質(zhì)上有兩個(gè)變量，“角度”（直線與x軸所夾銳角）在變和“縱、橫坐標(biāo)之比值”隨之唯一確定，符合八年級(jí)函數(shù)定義（一個(gè)變化，兩種變量，單值對(duì)應(yīng)），可以確定它是某種函數(shù).它不同于我們已學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)，數(shù)學(xué)上稱它為三角函數(shù).由于初中階段只研究銳角范圍，所以初中階段稱它為銳角三角函數(shù)，而且只研究三種銳角三角函數(shù)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù).以下介紹相關(guān)的定義……（教師借助板書，對(duì)照黑板上已有圖形，進(jìn)行銳角三角函數(shù)概念的定義，限于篇幅，本文略去）

設(shè)計(jì)意圖：與教材上引出三角函數(shù)概念相比，我們不跟學(xué)生“故弄玄虛、遮掩拖沓”，選擇了開門見(jiàn)山，直接在坐標(biāo)系中通過(guò)師生簡(jiǎn)單的舉例互動(dòng)，定義新函數(shù)，這種創(chuàng)意來(lái)自高中階段三角函數(shù)的引入，因?yàn)樵诟咧须A段三角函數(shù)的自變量的角度可以推廣到任意角度，選擇在坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)背景來(lái)引入新課，有利于學(xué)生高中階段知識(shí)的擴(kuò)充.另外，對(duì)于定義教學(xué)，關(guān)鍵是讓學(xué)生感受定義生成的自然而然、和諧一致，然后就是理解定義的本質(zhì)，并不需要過(guò)多進(jìn)行所謂的探究發(fā)現(xiàn)、猜想歸納或驗(yàn)證確認(rèn).

四、關(guān)于數(shù)學(xué)概念引入的進(jìn)一步思考

1.基于“深刻理解”的高度，大膽開展“學(xué)材再建構(gòu)”

這里所指的“深刻理解”是旅美數(shù)學(xué)教育學(xué)者馬立平博士倡導(dǎo)的基于數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解（追求知識(shí)的寬度、廣度及貫通度），以上文提及的銳角三角函數(shù)為例，這個(gè)概念在初中階段主要服務(wù)于直角三角形的邊角關(guān)系，常常被用于幾何問(wèn)題的簡(jiǎn)便計(jì)算，然而作為它更本質(zhì)的函數(shù)屬性，在初中階段沒(méi)有深入挖掘，但是從深刻理解三角函數(shù)的角度來(lái)看，我們并不能忽略對(duì)學(xué)生滲透它的函數(shù)屬性，因?yàn)殡S著多數(shù)學(xué)生進(jìn)入高中，將會(huì)學(xué)習(xí)與初中階段“不一樣”的三角函數(shù)，如果初中階段完全使用它的邊角關(guān)系，而不提及銳角三角函數(shù)的一些函數(shù)性質(zhì)，則不利于學(xué)生進(jìn)入高中后的知識(shí)自然生長(zhǎng)、擴(kuò)充.基于上述理解，我們選擇了在平面直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù)的情境創(chuàng)設(shè)，大膽開展“學(xué)材再建構(gòu)”，教學(xué)實(shí)踐下來(lái)，效果很好，學(xué)生完全能理解、接受.

2.重視數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的情境創(chuàng)設(shè)，踐行“數(shù)學(xué)課應(yīng)當(dāng)講數(shù)學(xué)”

最近李袆教授在數(shù)學(xué)通報(bào)上對(duì)本世紀(jì)之初以來(lái)的數(shù)學(xué)課堂新知導(dǎo)入進(jìn)行了評(píng)析（詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)［3］），給出商榷建議，數(shù)學(xué)教育研究者們的良苦用心值得我們傾聽(tīng).李教授建議要重視從學(xué)科知識(shí)角度來(lái)思考教學(xué)導(dǎo)入的意義和方法，特別是要注意學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)屬性，淡化導(dǎo)入的外在形式和非認(rèn)知因素功能，強(qiáng)化知識(shí)的意義建構(gòu).檢閱相關(guān)文獻(xiàn)也發(fā)現(xiàn)，單墫教授在《數(shù)學(xué)課應(yīng)當(dāng)講數(shù)學(xué)》中也批判了有些數(shù)學(xué)課堂過(guò)分強(qiáng)調(diào)創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入、片面聯(lián)系實(shí)際等現(xiàn)象，并教導(dǎo)我們數(shù)學(xué)課的主要任務(wù)是教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，而不是解決實(shí)際問(wèn)題（詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)［4］）.當(dāng)前有些初中教材在改版、修正之后漸漸恢復(fù)了數(shù)學(xué)新知引入的本來(lái)面目，淡化了生活現(xiàn)實(shí)的引入，但還有不少章節(jié)過(guò)分依賴生活現(xiàn)實(shí)的方式?jīng)]有改進(jìn)，一定程度上也影響了教師在備課時(shí)的價(jià)值取向.

五、寫在后面

我們知道，教師是專業(yè)技術(shù)人員，但是從一些教研現(xiàn)狀來(lái)看，很多教師并沒(méi)有真正自覺(jué)的專業(yè)自主性，教學(xué)活動(dòng)時(shí)充滿各種“迷信”（如迷信教材、迷信名師、迷信權(quán)威，等等），而這種迷信與數(shù)學(xué)學(xué)科所追求的學(xué)科精神或數(shù)學(xué)文化恰恰形成鮮明的反差，確實(shí)是值得我們反思的.寫作本文時(shí)，筆者深有感觸，如果教師不能深刻理解、體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科精神、數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)與精髓，不能在自身教育教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)、貫徹?cái)?shù)學(xué)文化，如何能用數(shù)學(xué)文化來(lái)熏陶、感染學(xué)生呢？