基于“數(shù)學核心素養(yǎng)”視角下的解題教學*
——從波利亞解題思想出發(fā)

☉華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 魏珂

☉華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 胡典順

基于“數(shù)學核心素養(yǎng)”視角下的解題教學*
——從波利亞解題思想出發(fā)

☉華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 魏珂

☉華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 胡典順

一、背景引入

2014年3月30日，《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》頒布后，“數(shù)學核心素養(yǎng)”一詞迅速引起數(shù)學教育界的熱議.一般認為，六大數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.六大數(shù)學核心素養(yǎng)是一個相互獨立又相互交融的有機整體，數(shù)學核心素養(yǎng)不僅能衡量一個中學生的數(shù)學綜合能力，也是幫助中學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題、進行數(shù)學解題、歸納數(shù)學結論的重要素養(yǎng).因此，如何培養(yǎng)初中生的數(shù)學核心素養(yǎng)并將其運用于解題教學是當今數(shù)學教育界值得重視的一個問題.

美國著名數(shù)學家、數(shù)學教育家喬治·波利亞（George Polya，1887—1985）一生中在數(shù)學界眾多領域都作出了開創(chuàng)性的貢獻，著名代表作《怎樣解題》對中學數(shù)學教育產生了極大的影響.他的解題思想集中體現(xiàn)在他創(chuàng)立的“怎樣解題表”中，他將解題過程分為四個階段，即：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧.

下面，筆者以一道中考幾何題為例，在波利亞“怎樣解題表”的框架下，對六大數(shù)學核心素養(yǎng)如何在各階段發(fā)揮作用并引導解題展開分析.

二、解題分析

（2016福建福州，25）如圖1，△ABC中，∠A=30°，AB=AC，以B為圓心、BC長為半徑畫弧，交AC于點D，交AB于點E.

（1）求∠ABD的度數(shù)；

圖1

1.理解題目階段.

理解題目即審題.在審題階段，可以通過數(shù)學抽象素養(yǎng)，將已知信息具體化，可以引導出隱含信息，通過直觀想象素養(yǎng)對給出的圖形進行分析和發(fā)現(xiàn)，再通過數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)引導解題的方向.

分析：就本題而言，對于第（1）問，從題目中的已知條件“AB=AC”可以抽象出隱含條件“△ABC是等腰三角形”，從“以B為圓心、BC長為半徑畫弧”可以抽象出隱含條件“BD=BC”，再通過對已知數(shù)據(jù)的分析，即可為“求出∠ABD的度數(shù)”作準備.對于第（2）問，題目中的隱含條件有“以B為圓心、BC長為半徑畫弧”，再通過觀察圖形，運用直觀想象素養(yǎng)引導，容易看出所求陰影部分與△AED和扇形BED有關系，如圖2所示，從而確定第（2）問的解題思路.

圖2

2.擬定方案階段.

審題結束后，即進入分析所有條件并擬定解題方案階段.主要運用邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng)引導擬定解題方案.

分析：對于第（1）問，運用邏輯推理素養(yǎng)，可以找到未知角∠ABD與∠ABC之間的關系“∠ABD=∠ABC-∠DBC”，再運用數(shù)學建模素養(yǎng)確定邏輯嚴謹?shù)慕忸}方向和方案：由理解題目階段發(fā)現(xiàn)的隱含條件“△ABC是等腰三角形”和已知條件“∠A=30°”可以通過數(shù)學運算求出∠ABC和∠BCD的度數(shù)；再通過隱含條件“BC=BD”容易求出∠DBC的度數(shù)，從而求出未知角∠ABD的度數(shù).對于第（2）問，從理解題目階段運用直觀想象素養(yǎng)分析可知“S陰影=S△ABD-S扇形BDE”，從題中的已知條件“BD=”并運用扇形面積公式容易求出扇形BDE的面積，這一問的難點就在于求△ABD的面積.由于AB×高，通過直觀想象素養(yǎng)的引導，可以看出這里需要構造輔助線，即△ABD的邊AB上的高DF（如圖3所示）.最后通過邏輯推理和數(shù)學運算我們可以根據(jù)已知條件BD=和第（1）問中求出的∠ABD的度數(shù)求出AB和DF的長度，從而△ABD的面積可以求出.

圖3

3.執(zhí)行方案階段.

擬定方案結束后進入執(zhí)行方案階段.本階段主要運用數(shù)學運算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)對解題過程進行書寫.

分析：對于第（1）問，因為AB=AC，∠A=30°，所以∠ABC=∠ACB=75°.由已知條件知BC=BD，所以∠BDC=∠BCD=75°，∠DBC=30°，從而∠ABD=∠ABC-∠DBC= 45°.

對于第（2）問，過點D作DF⊥AB于F.在Rt△BDF中，∠FBD=45°，BD=BC=，所以BF=DF=BD·sin45°==1.在Rt△ADF中，∠A=30°，所以AD=2DF= 2，AF=，所以AB=AF+BF=+1.所以S陰影=S△ABD-

4.回顧階段.

這道題是對初中幾何中“三角形”及“扇形”的考查，因此在回顧階段可以利用三角形和扇形的基本性質進行檢查反思.

分析：首先，要利用數(shù)學建模素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)對這道題的解題思路和解題方案進行整體梳理；其次，對題目中的隱含條件和結論數(shù)據(jù)進行分析和檢驗，看是否符合實際情況，這里既需要數(shù)學抽象素養(yǎng)的引導，也需要數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算素養(yǎng)的運用.對于第（2）問，也要對三角形和扇形的面積公式進行檢查，并對計算出的數(shù)據(jù)檢驗和分析，看數(shù)據(jù)結果是否合理.這道題的難點之一就是運用直觀想象素養(yǎng)將第（2）問中要求的陰影面積轉化成另外兩個圖形的面積差，通過體會這一過程的發(fā)現(xiàn)，真正掌握解決此類問題的方法和技巧.可以看出，在回顧的過程中，六大核心素養(yǎng)都發(fā)揮了一定的引導作用，因此回顧階段是綜合提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效途徑，不容忽視.

三、六大核心素養(yǎng)在解題教學中的運用

1.運用數(shù)學抽象發(fā)掘信息.

數(shù)學抽象是指舍去事物中的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).通常在理解題目階段運用數(shù)學抽象素養(yǎng)對題目中的隱含條件和信息進行發(fā)掘，將抽象變具體，將隱含變清晰.以上面這道中考題為例，通過數(shù)學抽象素養(yǎng)可以從題目中的已知條件“AB=AC”發(fā)掘出隱含條件，即“△ABC是等腰三角形”，這對問題的解決是至關重要的第一步.

2.運用數(shù)據(jù)分析找出本質.

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計、計算等方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養(yǎng).題目中的圖表或數(shù)據(jù)往往有著內在的聯(lián)系并隱含著重要的信息，在理解題目的過程中，可運用數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)引導和分析已知數(shù)據(jù)，通過整理數(shù)據(jù)，找出問題的本質，從而解決問題.比如，將這道中考題中的已知數(shù)據(jù)“∠A=30°”與已知條件結合起來分析，就是第（1）問的求解的關鍵所在.

3.運用直觀想象發(fā)現(xiàn)思路.

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).通過建立數(shù)與形的關系，引導學生建立數(shù)學解題的直觀模型，再運用邏輯推理和數(shù)學建模探索解決問題的思路和模型.比如，這道中考題的第（2）問無法直接求解，通過直觀想象素養(yǎng)的運用可以看出圖形面積之間的關系，從而作出輔助線，發(fā)現(xiàn)解題思路.

4.運用邏輯推理探索思路.

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推理出其他命題的素養(yǎng).邏輯推理是解題中的基本思維品質，既要保證解題的嚴謹性，又要把握事物之間的關聯(lián)并引導出進一步的解題思路.邏輯推理一般運用于擬定方案和執(zhí)行方案的過程中，即對解題過程的書寫，不僅要用正確的公式或文字進行表達，頭腦中還要通過邏輯推理素養(yǎng)對整個解題思路進行一步步推理與探索，從而完成解題.

5.運用數(shù)學建模設計方案.

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學模型的搭建是數(shù)學解題的重要形式，也是解決實際問題的基本手段.通過數(shù)學模型的建構引導，設計出解題方案，為下一階段的執(zhí)行方案奠定基礎.數(shù)學建模素養(yǎng)主要運用于擬定方案階段，通過對邏輯推理出的思路進行整理和建構，在頭腦中設計出一個完整的解題模式和方案，為下一步的書寫和計算打下良好的基礎.

6.運用數(shù)學運算得出結果.

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).只有具備了一定的數(shù)學運算素養(yǎng)，才能依據(jù)已經建立的數(shù)學模型和數(shù)學思路引導運算進而得出結論.因此，數(shù)學運算素養(yǎng)在解題過程中也是至關重要的，它不僅貫穿于整個解題過程，而且在執(zhí)行方案和回顧階段發(fā)揮著重要的作用，也是整個題目的結論是否正確的關鍵所在.

四、在解題教學中培養(yǎng)“數(shù)學核心素養(yǎng)”的建議與思考

1.加強概念教學，強化數(shù)學抽象.

在初中解題教學中，想要提高數(shù)學抽象素養(yǎng)就應該重視題目中基本概念的提取.比如，上文這道中考幾何題中的基本概念就是“三角形”和“扇形”.學生只有理解了這兩個基本概念，并通過找出這些概念和圖形的內涵和外延，結合概念的一些特殊性質，才能抽象出題目的深層含義.當然，基本概念的提取離不開平時課堂中的概念教學，因此，要想很好地培養(yǎng)學生在解題中的數(shù)學抽象素養(yǎng)，就應該加強初中階段的概念教學，在教學過程中重視對基本概念的積累與記憶，讓學生學會在解題中提煉基本概念，從而簡化條件找到本質.

2.重視計算訓練，提高運算分析.

在初中解題教學中，可以通過對學生計算能力的鍛煉提高學生的數(shù)學運算素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).在解題教學過程中，要讓學生從理解運算的基本知識出發(fā)形成一定的運算技能，可以采用“先慢后快”的原則，即剛開始練習時運算步驟和依據(jù)必須明確、清晰，運算過程必須規(guī)范，待學生熟練后可適當加快運算速度或簡化步驟.另外，還可以通過引導學生對運算規(guī)律和基本類型進行分類整理，使學生頭腦中建構出完善的運算知識系統(tǒng)，最終達到加快解題速度和提高正確率的效果.當然，這些題目最好具有一定的規(guī)律性和趣味性，也可以作為思考題留給學生課下進行思考，從而使學生的數(shù)學運算素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)得到潛移默化的提升.

3.強調數(shù)形結合，提升直觀想象.

在初中解題教學過程中，對學生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)可以從以下幾個方面進行.第一，在教學過程中注重基本圖形的理解和積累.一般來說，任何一個幾何問題都是由基本圖形組成的，在解題過程中如果學生看到一個幾何圖形時能夠快速觀察、發(fā)現(xiàn)、分解出它蘊含的基本圖形，無疑能達到事半功倍的解題效果.第二，讓學生體會并學習數(shù)形結合的思想和方法.如果學生學會了在解題時盡可能用畫圖來解決問題，化數(shù)為形，將代數(shù)問題與幾何問題聯(lián)系起來，找到本質，就可使復雜的問題簡單化.第三，利用多媒體教學化靜為動.像幾何畫板、超級畫板Z+Z、GeoGebra、3D數(shù)學教學平臺等動態(tài)幾何軟件，有助于教師生動、形象地展示幾何圖形的各種性質和演示幾何變化的動態(tài)效果，帶給學生直觀視覺上的沖擊，有利于培養(yǎng)學生觀察、認識周圍事物間的數(shù)量關系和形體特征的興趣和意識.

4.注重邏輯練習，鍛煉推理能力.

提高學生的邏輯推理素養(yǎng)對數(shù)學解題也是很有必要的.對學生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)能夠保證學生在解題時的正確性和嚴謹性，在教學過程中可以通過對類比法、分析法（包括逆證法）、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法（要求分類討論）等邏輯數(shù)學方法的講解對學生的邏輯推理素養(yǎng)進行有意識培養(yǎng)，并通過一些邏輯思維的練習題進一步提升學生的邏輯推理素養(yǎng).

5.生活聯(lián)系實際，建構數(shù)學模型.

數(shù)學建模，顧名思義就是要培養(yǎng)學生對數(shù)學模型的建立，這一素養(yǎng)的培養(yǎng)來源于生活又高于生活.在教學過程中可以將現(xiàn)實生活中與數(shù)學學習有關的素材引入課堂，通過一定的趣味性滿足學生好奇的心理要求，從而在學生頭腦中建立起一個個數(shù)學模型，從而方便他們在解題中使用并建立相關模型.通過建立模型全面理解題目并引導設計解題方案，達到解題目的.

1.G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.

2.朱立明.基于深化課程改革的數(shù)學核心素養(yǎng)體系構建［J］.中國教育學刊，2016（5）.

3.劉錦，李龍安，侯學萍.基于核心素養(yǎng)導向的中學數(shù)學教學思考［J］.現(xiàn)代中小學教育，2016（10）.

全國教育科學規(guī)劃教育部重點課題——TPACK視角下卓越教師培養(yǎng)的理論研究與實踐探索（課題編號DHA150287）.