從量到算，發(fā)展學(xué)生空間想象能力

李慧敏

【教學(xué)內(nèi)容】人教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)P66—67.

【教學(xué)分析】從教材編排上看，長(zhǎng)方形、正方形的面積屬于“圖形與幾何”的領(lǐng)域.一年級(jí)下冊(cè)教材已經(jīng)直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、體會(huì)面在體上；二年級(jí)下冊(cè)教材則認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形和正方形的特征；三年級(jí)上冊(cè)探索并掌握了長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)的計(jì)算方法；三年級(jí)下冊(cè)安排學(xué)習(xí)什么是面積、面積單位、面積單位換算、長(zhǎng)方形的面積.所以，這一課的學(xué)習(xí)非常重要，為第二學(xué)段學(xué)習(xí)其他平面圖形的面積以及立體圖形的表面積儲(chǔ)備了必要知識(shí).

“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”是學(xué)生學(xué)習(xí)面積計(jì)算的起始課.在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)較好地掌握了用“數(shù)”和“算”小正方形（面積單位）個(gè)數(shù)的方法求一個(gè)圖形的面積，對(duì)于圖形大小的概念是建立在數(shù)小方格的基礎(chǔ)之上，這是本課教學(xué)的起點(diǎn).

【理論支撐】荷蘭學(xué)者范·希爾夫婦依據(jù)兒童思維發(fā)展的階段性，提出了幾何思維的五個(gè)水平：視覺(jué)、分析、非形式化的演繹、形式的演繹、嚴(yán)密性.

【學(xué)情分析】以往，對(duì)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)中發(fā)現(xiàn)：知道用“長(zhǎng)×寬”的方法計(jì)算長(zhǎng)方形面積的學(xué)生約占41%，但在“為什么可以這樣算”的問(wèn)題上，沒(méi)有一名學(xué)生能說(shuō)清楚，甚至很多表示并不知道為什么可以這樣算.從學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)看，學(xué)習(xí)本課的最大的難點(diǎn)不是記住面積計(jì)算公式，而是理解“為什么測(cè)量出長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度，相乘之后就是面積？”僅僅是通過(guò)像教材上的列表那樣用找規(guī)律就能理解嗎？從計(jì)量的角度看，從計(jì)算面積單位的個(gè)數(shù)到長(zhǎng)乘寬，是從“一維”轉(zhuǎn)向“二維”，從測(cè)量為主轉(zhuǎn)向計(jì)算為主，這是空間想象能力的跨越.對(duì)本課長(zhǎng)方形、正方形面積而言，這樣從“量”發(fā)展到“算”的過(guò)程是要通過(guò)空間推理得到的.

一、重溫舊知，導(dǎo)入新課

（一）復(fù)習(xí)

1.邊長(zhǎng)是1 cm的小正方形，面積是多少？

2.用這個(gè)面積是1平方厘米的正方形進(jìn)行測(cè)量，下面的圖形面積分別是多少？

（1）這些圖形，你是怎么看出他們的面積？

（2）為什么圖形的形狀不一樣，面積卻都是6平方厘米？

（每個(gè)圖形里面都包含了6個(gè)1平方厘米的單位面積）

（二）對(duì)比觀察：要知道一個(gè)圖形的面積，就是要知道什么？

小結(jié)：圖形的大小是由這個(gè)圖形里面包含的單位面積的個(gè)數(shù)決定的.

【設(shè)計(jì)意圖】利用單位面積求不規(guī)則圖形面積.不僅讓學(xué)生開(kāi)始熟悉將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也引導(dǎo)學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)面積的大小就是單位面積個(gè)數(shù)這一要素，使學(xué)生逐漸熟悉這一結(jié)構(gòu)的特征.活動(dòng)不僅為發(fā)現(xiàn)關(guān)系提供引導(dǎo)，還有利于學(xué)生空間觀念的發(fā)展.

二、新授展開(kāi)，理解算法

活動(dòng)一 用15個(gè)1平方厘米的小正方形測(cè)量1號(hào)長(zhǎng)方形的面積

1.這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少呢？用剛才的方法，擺一擺數(shù)一數(shù).

預(yù)案1：擺滿

師：一目了然的擺法，大家都看懂了.

板書(shū)：每行擺5個(gè)，擺了3行，一共15個(gè)（面積是15平方厘米）.

預(yù)案2：擺一行一列

師：為什么這樣擺？怎么看出有3行？

生：這里豎著排三個(gè)，說(shuō)明他們的這一邊也有小正方形（比畫(huà)著）排三個(gè)，就是有三行.

師：這是想象加上推理，真了不起.

2.反饋：隱藏的長(zhǎng)方形有多大？想一想，比畫(huà)一下.

預(yù)案：長(zhǎng)擺6個(gè)面積單位，寬擺了2行，就是2個(gè)6，一個(gè)是12個(gè)面積單位.

追問(wèn)：你怎么知道寬擺了2行，你是怎么看出來(lái)的？

這個(gè)隱藏的長(zhǎng)方形有多大？

先想一想，再比畫(huà)一下

這個(gè)隱藏的長(zhǎng)方形有多大？

先想一想，再比畫(huà)一下

3.小結(jié)：知道了長(zhǎng)擺的個(gè)數(shù)、寬擺的個(gè)數(shù)，就可以確定這個(gè)長(zhǎng)方形的面積了.

活動(dòng)二 我們能不能用更少的小正方形測(cè)量2號(hào)長(zhǎng)方形的面積（12平方厘米）

1.全班操作，匯報(bào)

預(yù)案1：擺一行一列

預(yù)案2：邊上空的地方為什么正好可以擺1個(gè)？

預(yù)案3：擺1個(gè)

思考：像這樣用一個(gè)小正方形測(cè)量的時(shí)候，會(huì)遇到什么困難？怎么解決？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用做記號(hào)的方法.

預(yù)案4：出示用尺子測(cè)量.

引導(dǎo)觀察，你們剛才做的記號(hào)與尺子的刻度有什么關(guān)系？

課件呈現(xiàn)做記號(hào)的方法.

歸納長(zhǎng)方形面積=每行擺的個(gè)數(shù)×行數(shù).

課件呈現(xiàn)用尺子測(cè)量.

明確長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊厘米數(shù)與每行擺小正方形的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)，長(zhǎng)方形的寬邊厘米數(shù)與擺的行數(shù)對(duì)應(yīng).

在討論中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)和寬的厘米數(shù)對(duì)應(yīng)的是沿著長(zhǎng)和寬可放的單位面積個(gè)數(shù).

活動(dòng)三 驗(yàn)證推理，夯實(shí)結(jié)論

這個(gè)推理結(jié)果也可以用在其他長(zhǎng)方形面積計(jì)算中嗎？現(xiàn)在，我們用這個(gè)方法算一算剛才測(cè)量過(guò)的1號(hào)圖和2號(hào)圖的面積.

活動(dòng)四 應(yīng)用理解，回顧發(fā)現(xiàn)

1.歸納長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法.

通過(guò)剛才的活動(dòng)，我們知道了長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度就知道一行擺幾個(gè)，知道了寬邊的長(zhǎng)度就知道可以擺幾行.

2.獨(dú)立完成以下練習(xí).

學(xué)生匯報(bào)時(shí)師追問(wèn)：長(zhǎng)是9，標(biāo)識(shí)每行擺幾個(gè)面積單位？寬是4呢？

回顧與反思：剛才我們是怎樣確定長(zhǎng)方形面積的？

仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

板：長(zhǎng)×寬=長(zhǎng)方形面積

反饋練習(xí)：這個(gè)變化中的長(zhǎng)方形面積分別是多少？（動(dòng)畫(huà)出示長(zhǎng)方形，長(zhǎng)邊不變，寬邊不斷在變）課件列表

預(yù)案：長(zhǎng)不變，寬不斷減少，面積也少了.

4.推導(dǎo)正方形面積

正方形的面積計(jì)算也存在邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度和面積單位個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的問(wèn)題嗎？（課件繼續(xù)變化，長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬一齊減少至相等）

板：邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=正方形面積.

小結(jié)：無(wú)論是長(zhǎng)方形還是正方形的面積計(jì)算方法，都是計(jì)算它包含了幾個(gè)小正方形（面積單位）.

【設(shè)計(jì)意圖】在這樣不同層次的活動(dòng)過(guò)程里，用作測(cè)量的單位面積經(jīng)歷了從夠用到不夠用（逐漸減少），再到棄用，逐漸減少了直觀促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)預(yù)設(shè)，力圖抓住聯(lián)結(jié)點(diǎn)——6個(gè)小方塊的不同擺法.這樣不僅僅是讓學(xué)生多樣化地解決問(wèn)題，更重要的是讓學(xué)生從已擺的位置推測(cè)出未擺的小方塊的位置和數(shù)量，從而通過(guò)思考1個(gè)長(zhǎng)度單位和1個(gè)面積單位之間量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)在長(zhǎng)方形中長(zhǎng)與寬之積的量與面積的量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

三、鞏固練習(xí)，拓展應(yīng)用

剛才我們學(xué)會(huì)了計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形面積的新方法，一起來(lái)試一試.

1.計(jì)算下面圖形的面積

長(zhǎng)： 厘米邊長(zhǎng)： 厘米

寬： 厘米面積： 平方厘米

面積： 平方厘米

引導(dǎo)1：要求面積，要知道什么？

引導(dǎo)2：對(duì)比觀察，發(fā)現(xiàn)了什么？

2.你能算出下邊的面積是多少平方厘米嗎？

提示：每個(gè)藍(lán)色小正方形表示1平方厘米

思考：長(zhǎng)是多少？寬是多少？

3.應(yīng)用：這塊打破的玻璃面積是多少？

4.拓展：出示一個(gè)三角形，它的面積是多少？你有什么辦法解決？

【設(shè)計(jì)意圖】在應(yīng)用中思考，在思考中應(yīng)用.學(xué)生積累了應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，教師與學(xué)生共同總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行概括提升，進(jìn)而再回到應(yīng)用中.

四、全課總結(jié)

五、課后作業(yè)

1.完成書(shū)本P68第2、3題.

2.和爸爸媽媽說(shuō)一說(shuō)長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算的道理.

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算

長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬

長(zhǎng)方形面積=每行擺的個(gè)數(shù)×行數(shù)

一共擺了15個(gè)=每行擺5個(gè)×擺了3行

一共擺了12個(gè)=每行擺6個(gè)×擺了2行

一共擺了12個(gè)=每行擺4個(gè)×擺了3行

一共擺了4個(gè)=每行擺2個(gè)×擺了2行

正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)

正方形面積=每行擺的個(gè)數(shù)×行數(shù)

一共擺了4個(gè)=每行擺2個(gè)×擺了2行

教學(xué)反思：從“量”發(fā)展為“算”的發(fā)展，意味著知識(shí)的發(fā)生發(fā)展可擺脫直接經(jīng)驗(yàn)的局限，有可能成為一個(gè)獨(dú)立的發(fā)展體系.

對(duì)長(zhǎng)方形、正方形的面積來(lái)說(shuō)，從“量”發(fā)展為“算”的過(guò)程是通過(guò)空間推理得到的，所以本課重點(diǎn)是讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程.