淺談高中數(shù)學(xué)中排列組合問題的解題規(guī)律

賈豐瑞

摘要：排列組合作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和難點內(nèi)容，以計數(shù)原理為基礎(chǔ)。由于其知識本身的靈活多變性和難以理解性，作為高中生在分析和解決排列組合問題時容易出現(xiàn)思維邏輯混亂，分類不清，考慮不全，找不到解題突破口等問題。本文就高中階段遇到的排列組合問題進(jìn)行歸類總結(jié)，簡要闡述幾類排列組合問題的解題規(guī)律。

關(guān)鍵詞：高中 排列組合 解題規(guī)律

排列組合以及計算原理作為組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其應(yīng)用與我們生活聯(lián)系緊密。它不僅是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其它的學(xué)科，如計算機(jī)科學(xué)、編碼密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。尤其是在計算機(jī)科學(xué)的高速發(fā)展中，組合數(shù)學(xué)扮演的角色不可替代作為高中生深入研究排列組合問題的解題規(guī)律，掌握其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想很有必要，也為以后我們進(jìn)去大學(xué)學(xué)習(xí)專業(yè)知識打下堅實的基礎(chǔ)。

一、排列組合的發(fā)展

數(shù)學(xué)這門與生活息息相關(guān)的學(xué)科是隨著人類的進(jìn)步不斷完善的，排列組合問題最早在公元前《易經(jīng)》這本書中就出現(xiàn)了，在之后的八卦圖、干支歷紀(jì)年法和五行循環(huán)理論中都包含了先人排列組合的思維，而國外是直到12世紀(jì)印度的典籍中才出現(xiàn)了排列組合思維。其后，關(guān)于排列組合的知識框架不斷完善、理論應(yīng)用不斷豐富，在日常生活中越來越具有實際應(yīng)用價值，并有了專門的數(shù)學(xué)符號和計算表達(dá)[1]。

二、計數(shù)原理

排列組合是專門研究離散事物按照一定的規(guī)則安排或配置的不同方法數(shù)的數(shù)學(xué)[2]。下面介紹兩種主要的計數(shù)方法：

（一）加法原理 （分類計數(shù)原理）

就如螞蟻森林自2016年開始在干旱地區(qū)種樹，有梭梭樹、沙柳、樟子松等多種樹木，現(xiàn)在每年梭梭樹能種Z1棵，沙柳Z2棵，樟子松Z3棵，……，第x種樹種了Zx棵，則一年內(nèi)螞蟻森林一共種了N= Z1+Z2+Z3+……+Zx棵樹[3]。種的樹的總量就是把每一種樹種植的數(shù)量相加，這就是加法原理的簡單應(yīng)用。

（二）乘法原理（分步計數(shù)原理）

比如我們做一張試卷，有X道題，第1題有Z1個選項，第2題有Z2個選項，……以此類推，第X題有Zx種選項，所以我們完成這張試卷就有N= Z1×Z2×Z3×……×Zx種不同的可能性了[3]。

三、排列組合問題解題規(guī)律

高中考試中遇到的關(guān)于排列組合的題目往往與實際生活相連，題型多樣、靈活，這就要求考生思路要靈活。題目中的干擾信息比較多，好多都是沒用的，我們第一步就要仔細(xì)審題標(biāo)記關(guān)鍵數(shù)字，提取有效信息；第二步就是要抓住題目的本質(zhì)特征，采用相對應(yīng)的方法來解決題目。

（一）特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

解決高中階段的排列組合問題其實有很多解題的“套路”和竅門，解題時可以抓住題目中的關(guān)鍵，找出特殊元素和特殊位置，先將特殊確定，在處理其他的問題。如果題目中有特殊位置，解題時就把特殊位置空出來，先填充上合適的數(shù)，然后安排其他的位置。若遇到的題目中有很多約束條件，那要仔細(xì)看題干，把特殊元素和特殊位置都拎出來，將數(shù)字排列組合時這些條件都要考慮的到。

例1：從0，5，6，7，8，9六個數(shù)中選5個數(shù)字組成一個五位奇數(shù)，每個數(shù)字只能使用一次，一共能組成多少個這樣的奇數(shù) [4]？

解析：審題可以發(fā)現(xiàn)這一題有很多限制條件。首先是位置，五位奇數(shù)的末位只能從5，7，9中挑選；題目要求組成的數(shù)是五位數(shù)，所以第一個數(shù)字不能為0，只能從6，8和剩余的奇數(shù)中任選一個；首位和末位確定后，中間的位置就可以用剩余數(shù)字任意填充了，有 種選法；∴根據(jù)乘法原理解題得，共

中選擇方法。

（二）相鄰元素“捆綁”策略

如果做到的題目中要求某兩個或多個數(shù)字必須相連，那就可以用“捆綁”思維來解答這道題。“捆綁”策略就是將必須相鄰的元素按照題目要求的順序排列組合成一個組，將這個組看成一個元素，再與其它元素排列。

例2：將紅橙黃綠青藍(lán)紫七種顏色的小球排成一行，其中紅球要與橙球相鄰，黃球要與綠球相鄰，那么一共有多少種排序方式？

解析：依照“捆綁”法解題，首先將紅色小球與橙色小球“捆綁”成一個組，黃色小球和綠色小球“捆綁”成一個組，然后將這兩個組與其它元素排列，同時紅球橙球，黃球和綠球的順序也可以互相調(diào)換，計算 得到不同顏色小球排列的不同方法。

（三）相鄰問題“插空”策略

如果題目要求兩個元素要按照一定的順序排列但是不能相鄰，那就可以先隨意排列沒有特殊要求的元素，然后再將有要求的元素插入已拍好順序的元素的中間或兩端。

例3：現(xiàn)有9張撲克牌，2張梅花，3張黑桃，4個紅桃，將它們排成一行，但不能連排兩張紅桃，9張撲克牌共有幾種排列方法？

解析：根據(jù)相鄰問題“插空”策略，要先排列2張梅花和3張黑桃，共有 種排列方法，將4張紅桃插入已排好的五張撲克牌有 種排列方法，計算 即為答案。

（四）重復(fù)排列問題“求冪”策略

若一個題目是只考慮元素，與位置沒有任何關(guān)系，元素的位置可以重合沒有限制，這就成了“求冪”排列問題。若果將X種不同的元素沒有任何限制地安排在Y個位置上，則有YX種放置方式。

例5：夏天到了，小紅家開了一家冰淇淋店，冰淇淋有香草、巧克力、草莓等8種口味，在5分鐘內(nèi)就來了10名顧客，那請問小紅在五分鐘內(nèi)做的冰淇淋可能有多少種？

解析：第一位顧客可能選擇8種口味中任意一種，

第二位顧客也有8種口味可以選擇，

……

依此類推，小紅在5分鐘內(nèi)有810種可能的冰淇淋做法。

以上是在高中階段排列組合單元常見的例題，通過對這些典型例題的解析希望可以幫助大家對排列組合問題有更深刻的了解，能夠具體問題具體分析，整理出一套有用、有效率的解題思路，能把復(fù)雜的問題簡單化，能在考試中獲得更高的分?jǐn)?shù)。

四、結(jié)語

排列組合作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在實際生活中應(yīng)用廣泛，而且在培養(yǎng)人的數(shù)學(xué)能力，思維能力，提高人的綜合素質(zhì)上發(fā)揮著不可代替的作用。而對高中生而言，學(xué)習(xí)排列組合時我們要認(rèn)真對待，從中得到解題規(guī)律，為以后學(xué)習(xí)專業(yè)知識打下基礎(chǔ)，從而更好地服務(wù)于社會。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉明君.高中生排列組合認(rèn)知水平研究[D].西北師范大學(xué)，2016.

[2]張國平.從排列組合中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法[J].師范教育，2003，（05）：15.

[3]許娟.高中排列組合的教學(xué)研究與時間[D].西北師范大學(xué)，2006.

[4]武蕊紅.排列組合中常見的問題及解題方法[M].山西師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）研究生論文?？?，2013，（27）：5-7.

（作者單位：鄭州外國語學(xué)校）