淺談空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

摘要：本文主要討論如何利用空間向量的知識考查高中階段立體幾何問題。旨在進一步深入了解空間向量中的應(yīng)用，拓展解決幾何問題的技巧與方法，從而提高解決高中立體幾何問題的能力，提升數(shù)學思維能力，進而在高考中取得更優(yōu)異的成績。并為今后學好高等代數(shù)與解析幾何打下良好堅實的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：空間向量 高中立體幾何 應(yīng)用

在大部分的高中幾何問題中，不管是平面幾何還是立體幾何，作為高中的常用幾何問題，一般的解題技巧和解題方式都是用傳統(tǒng)的歐幾里得幾何的解決方式，很少會用到空間向量的知識去考查幾何問題。究其原因，主要是對于使用傳統(tǒng)歐幾里得方式去解決幾何問題時，無論是直觀上的解題，還是問題的思考和理解上，都顯得淺顯易懂。然而易于理解的方式，并不代表是最好的解題方式，這樣的思考方式往往伴隨著大量而復雜的計算過程，俗話說的好，對于問題思考得愈多，計算的過程相對就會少一些，反之，思考的越少，那么計算過程就會更復雜一些?？臻g向量作為高等代數(shù)與解析幾何兩門數(shù)學學科交叉結(jié)合的知識紐帶，可以說是高等代數(shù)重不可或缺的，是高等數(shù)學研究的基礎(chǔ)知識，為使用代數(shù)方法來研究立體幾何提供了簡便高效的途徑，所以本文主要討論空間向量在解決高中立體幾何中的應(yīng)用，主要目的在于提高數(shù)學思維，提升數(shù)學成績，為今后數(shù)學學習打下良好的基礎(chǔ)。

一、考查空間幾何問題時的空間向量定義方法

在高中階段的教程中，向量的基本定義是把既有大小、又有方向的量叫做向量，基本概念等同于高中物理學中的矢量，舉一個簡單的例子，物理學中力的表示方式就可以稱作矢量，也就等同于數(shù)學中所說的向量，這樣理解更直觀，因為經(jīng)典力學中的力既有大小又有方向，滿足向量具有二元性的基本定義。作為單純的代數(shù)知識，向量用何種方式來表示都不影響它的代數(shù)性質(zhì)和代數(shù)作用，但是如果想用向量知識去考查幾何問題，特別是立體幾何問題，最好的表示方法應(yīng)該是在費馬和笛卡爾坐標系下定義向量，這樣一來，無論是向量的代數(shù)性質(zhì)還是幾何的立體感官都不會受到太大的影響，從而使得考查的幾何問題直觀性不存在差異的變化。淺顯易懂的說法就是用坐標系來表示向量。在高中數(shù)學教程中關(guān)于幾何問題一般都是二維或者是三維的，即平面幾何或是立體幾何。所以在本文中為了討論的方便，我們建立的坐標系為三維右手直角坐標系（圖1）。

從人民教育出版社的高中教材中可以得知，給定平面上兩個不共線（即線性無關(guān)）的向量a和b，則該平面中任意的第三個向量c都可以由向量a和向量b表示出來。那么，同樣的道理可以得出，在我們建立的坐標系為三維右手直角坐標系中，給定空間中三個不共面的向量，則對于空間內(nèi)的任意向量必可以由這三個向量表示出來。所以說只要在三維右手直角坐標系中確定三個不共面（即線性無關(guān)）的基向量，那么該空間內(nèi)的任意向量都有其表示方法。也就是說，空間中的向量可以有空間坐標進行表示。利用數(shù)學語言進行表述：在空間中任意取線性無關(guān)的三個向量a，b，c作為該坐標系的基向量，在該坐標系中任意取向量r，那么r一定會被表示為r=xa+yb+zc（其中x，y，z為唯一確定的實數(shù)）。

二、如何使用空間向量知識考查解決空間幾何問題

空間向量的坐標表示方式已經(jīng)給出，那么我們?nèi)绾芜\用它的相關(guān)知識對空間幾何進行考查呢。下面舉具體例子說明，如何使用空間向量來解決幾何問題，以便對相關(guān)知識進行進一步了解。

若想利用空間向量考查立體幾何問題，首先要構(gòu)造三維的坐標系，利用坐標系對向量進行表示，然后將立體幾何圖形放入坐標系中進行考量，從而解決立體幾何所提出的問題。舉例闡述空間向量在考查幾何問題中的應(yīng)用。

例題1：在同一個三維例題坐標系下，考查兩個直線是否垂直。

利用空間向量知識我們可以知道該直線的兩個空間的乘積等于0（即a*b=||a|b|cos=0），那么如果用直角坐標系表示空間向量的話，a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b3），則乘積不用考慮兩直線或者說是兩個向量之間的夾角問題，只考慮乘積即可，即a*b=a1b1+a2b2+a3b3=0，說明向量垂直，從而說明兩條直線相互垂直。這個例題說明，利用空間向量來考慮幾何位置關(guān)系的問題，通常會省去畫圖或者是做輔助線的步驟，可將復雜圖形的幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚拇鷶?shù)計算問題。從而簡化考查幾何問題的過程?？臻g向量不僅可以考查兩條直線是否垂直，也可以考查兩條直線是否平行，或者相交，或者異面問題。

例題2：在同一直角坐標系下考查某一條直線是否在一個特定的面內(nèi)。

這里先闡述普通的歐幾里得幾何關(guān)于該問題的解題方法，首先，在特定面內(nèi)取兩條相交的直線，然后看給定的直線是否與兩條直線同時相交于兩個不同的點，切相交點在特定面內(nèi)，從而命題得證。這里對證明過程不做過多的闡述。

如果利用空間向量知識來考查該問題，首先確定給定直線的方向向量a（a1，a2，a3），然后在特定面上取兩個相交的向量b（b1，b2，b3），c（c1，c2，c3），那么根據(jù)教材上的定理可以得到，若a（a1，a2，a3），可以由向量b（b1，b2，b3），c（c1，c2，c3），表示，那么即說明向量a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b3），c（c1，c2，c3），線性相關(guān)，也就是說，向量a在特定的平面上，即給定直線在該平面上。若轉(zhuǎn)化為代數(shù)即是方程組a1x1+a2x2+a3x3=0；b1x1+b2x2+b3x3=0；c1x1+c2x2+c3x3=0，存在非0解，原題目得以證明。

三、結(jié)語

可以看出考查解決問題的原理是一樣的，但是運用的方式方法不同，解決問題的過程就不同，運用空間向量知識解決問題時運算過程相對簡單，思考過程也相對明晰?？梢哉f這就是向量在解決幾何問題中的優(yōu)勢，它把立體幾何問題完全可以轉(zhuǎn)化數(shù)學代數(shù)問題，然后通過計算得以解決。

參考文獻：

[1]陳志杰 主編.《高等代數(shù)與解析幾何（上）》[M].高等教育出版社，2000.

[2]陳志杰 主編.《高等代數(shù)與解析幾何（下）》[M].高等教育出版社，2000.

[3]中學數(shù)學教材實驗研究組 編著. 《數(shù)學（選修2-1）》[M].人民教育出版社，2007.

（作者簡介：陳垣希，浙江省平陽中學，高中學歷，研究方向：數(shù)學方向。）