一次“說題”活動(dòng)的實(shí)錄與思考

谷紅霞 謝輝

【摘? 要】? 針對教育教學(xué)研討中的“說題”活動(dòng)進(jìn)行了研究，以實(shí)錄的形式對“說題”這類活動(dòng)涉及的關(guān)鍵環(huán)節(jié)展開分析，結(jié)合教育教學(xué)實(shí)踐深入探討：題目命制的來源、析題過程中的問題設(shè)置、反思過程中的聯(lián)系性，基于整體觀下將微專題意識(shí)貫穿說題活動(dòng)始終.

【關(guān)鍵詞】? 說題；立體幾何；動(dòng)點(diǎn)；微專題

當(dāng)前，教研活動(dòng)中有一類“說題活動(dòng)”受到廣泛關(guān)注，旨在將“命題”“解題”“教題”“教學(xué)反思”融為一體，是一種反思性的教學(xué)活動(dòng)［1］.由于題目本身既要講給學(xué)生又要說給同行，因此，既要考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)的實(shí)際情況，又要從高等數(shù)學(xué)的視角下揭示題目背后數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，非常利于促進(jìn)教師的專業(yè)成長.

說題一般包括如下環(huán)節(jié)：說背景分析、說題目來源、說思路分析、說教學(xué)啟示.目前，對于說題的一般流程，還沒有公認(rèn)的模式，因此說題的具體過程往往含有教師的個(gè)人色彩，是一種再創(chuàng)造的過程.因此“說題”這一教研活動(dòng)能夠引領(lǐng)教師更好地思考“如何命題能夠考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解”.長此以往，可以間接促進(jìn)教師對教、學(xué)、評一體化的思考.

下面以“立體幾何中的一類動(dòng)點(diǎn)問題”為例，從“背景分析與教學(xué)體會(huì)、思路分析與教學(xué)聯(lián)想、拓展分析與教學(xué)啟示”三個(gè)方面對一道題目展開說明.其中，背景分析與教學(xué)體會(huì)中包含題目所涉及的教學(xué)內(nèi)容和考試方向的分析，也含有教師在教學(xué)實(shí)踐中了解到的學(xué)情、及根據(jù)學(xué)情應(yīng)如何析題.思路分析與教學(xué)聯(lián)想中包含試題編制的始末，以命題立意為主要脈絡(luò)、一般方法為抓手，不同的解決思路與方法層層遞進(jìn)，從“好想”（直觀）到“好算”（抽象），逐漸明晰“利用投影向量的模求距離”這一通法，實(shí)現(xiàn)“陌生問題熟悉化”及“瑣碎知識(shí)系統(tǒng)化”.拓展分析與教學(xué)啟示中包含問題變式和教學(xué)啟示，既能突出對所討論問題的強(qiáng)化、引申雙重功能，又可凸顯教師對析題教學(xué)的認(rèn)識(shí).

圖1題目? 如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線AD1上動(dòng)點(diǎn)P與直線A1C1上動(dòng)點(diǎn)Q間距離的最小值為（? ）.

A.1??? B.22

C.64

D.33

1? 背景分析與教學(xué)體會(huì)

1.1? 內(nèi)容分析

從知識(shí)體系上看，“幾何與代數(shù)”是高中數(shù)學(xué)的主線之一.

必修課程中“幾何與代數(shù)”包括平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)、立體幾何初步三部分.其中立體幾何初步要求學(xué)生：能夠運(yùn)用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果，能夠證明簡單的幾何命題，并會(huì)進(jìn)行簡單應(yīng)用.選擇性必修課程中“幾何與代數(shù)”包括空間向量與立體幾何、平面解析幾何兩部分.其中空間向量與立體幾何部分要幫助學(xué)生：運(yùn)用空間向量研究立體幾何中圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會(huì)向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，運(yùn)用向量方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題［2］.

因此，在命題中應(yīng)突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的理解.

1.2? 考試分析

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020修訂）》明確指出：這一主線的教學(xué)重點(diǎn)是要提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).

從近三年高考試題和模擬試題的選填題看，命題都突出對“靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合幾何方法”的考查（具體題目略）.

1.3? 學(xué)情分析

在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生面對立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，常望而生畏.一方面，運(yùn)用綜合法解決立體幾何問題，往往需要挖掘位置關(guān)系，而學(xué)生卻經(jīng)常想不到；另一方面，運(yùn)用向量法解決立體幾何問題，則需要恰當(dāng)?shù)亟柚蛄繉缀螁栴}轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，而運(yùn)動(dòng)變化使得運(yùn)算過程中含有一個(gè)或多個(gè)變量，這也是一些同學(xué)感到棘手之處.

1.4? 教學(xué)體會(huì)

在析題過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生用自然語言描述運(yùn)動(dòng)變化的過程、分析引起變化的關(guān)鍵對象、用符號(hào)表示幾何對象、抓住特殊位置與特殊關(guān)系、探索運(yùn)動(dòng)變化中的不變性，通過幾何綜合法或代數(shù)運(yùn)算法解決問題.

2? 思路分析與教學(xué)聯(lián)想

2.1? 試題來源

《人教A版高中數(shù)學(xué)第二冊》拓廣探索［3］中：啟發(fā)學(xué)生在運(yùn)動(dòng)變化中思考位置關(guān)系的不變性（如圖2），這使筆者聯(lián)想到是否可以創(chuàng)編試題：啟發(fā)學(xué)生在運(yùn)動(dòng)變化中思考度量關(guān)系的變化規(guī)律.

21.如圖，在四棱錐P-ABCD中， 底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面AEF與平面PBC是否互相垂直？如果垂直，請證明，如果不垂直，請說明理由.

17.如圖，兩條異面直線a，b所成的角為θ，在直線a，b上分別取點(diǎn)A′，E和點(diǎn)A，F(xiàn)，使AA′⊥a，且AA′⊥b.已知A′E=m，AF=n，EF=l，求線段AA′的長.

圖3

《人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》拓廣探索［4］中：啟發(fā)學(xué)生用綜合幾何法求兩異面直線間公垂線段的長（如圖3），這使我聯(lián)想到是否可以創(chuàng)編試題：啟發(fā)學(xué)生在運(yùn)動(dòng)變化中探求兩動(dòng)點(diǎn)間距離變化規(guī)律.

一方面，正方體是研究空間位置關(guān)系的重要模型，以其為載體考查位置關(guān)系和度量關(guān)系，利于學(xué)生靈活運(yùn)用多種方法解決問題，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng).另一方面，借助其各條面對角線，可討論線與線間的平行、相交、異面三種位置關(guān)系.而本題目正是以異面直線為依托引出的動(dòng)點(diǎn)問題，考查靈活運(yùn)用向量法與綜合幾何法解決問題的能力.

2.2? 思路分析

針對這一問題，首先，要利用圖形描述、分析問題，建立起形與數(shù)的聯(lián)系，探索解決問題的思路.

問題1? 你能建立坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩動(dòng)點(diǎn)間距離的最小值嗎？

思路與方法1? ?直接用兩點(diǎn)間的距離公式.

圖4分析? 如圖4，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

設(shè)AP=λAD1=λ（－1，0，1）=（－λ，0，λ），λ∈R，則DP=DA+AP=（1－λ，0，λ）.

設(shè)A1Q=μA1C1=μAC=μ（－1，1，0）=（－μ，μ，0），μ∈R，則DQ=DA1+A1Q=（1，0，1）+（－μ，μ，0）=（1－μ，μ，1），

那么QP=DP－DQ=（μ－λ，－μ，λ－1），QP 2=（μ－λ）2+μ2+（λ－1）2=2μ2－2λμ+2λ2－2λ+1.

這里，先將μ看作主元，將上述二元二次函數(shù)看作關(guān)于μ的一元二次函數(shù)，配方：

QP 2=2（μ－12λ）2+（32λ2－2λ+1）.

當(dāng)μ=12λ時(shí)，QP 2=32λ2－2λ+1，此時(shí)，當(dāng)λ=23時(shí)，函數(shù)取得最小值.

故λ=23，μ=13時(shí)，QP 2=13，即動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)點(diǎn)Q的距離的最小值為33.

此題中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于是距離的函數(shù)中含兩個(gè)變量，可以將其中一個(gè)看作主元，再進(jìn)行配方等代數(shù)運(yùn)算.

當(dāng)構(gòu)建了這一解決問題的思路后，就加深了對異面直線這一類位置關(guān)系的認(rèn)識(shí).而這種直觀想象會(huì)促進(jìn)我們發(fā)現(xiàn)和提出問題，是進(jìn)一步分析和解決問題的重要手段.

將μ看作主元就是點(diǎn)Q動(dòng)，將λ看作常數(shù)就是將動(dòng)點(diǎn)P看作定點(diǎn)，將兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題化歸為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將幾何中動(dòng)中覓靜的策略與代數(shù)運(yùn)算中確定主元的方法相聯(lián)系，從而引發(fā)進(jìn)一步思考.

問題2? 當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，定點(diǎn)P與動(dòng)點(diǎn)Q的最小距離是什么呢？

思路與方法2? 利用點(diǎn)到直線的距離公式.

分析? 建系同法一，A1C1=（－1，1，0），AP=（－λ，0，λ），AA1=（0，0，1）.

A1P=AP－AA1=（－λ，0，λ－1）.

與A1C1共線的單位向量e=A1C1A1C1=12（－1，1，0）=（－12，12，0）.

點(diǎn)P到直線A1C1的距離：

d=A1P 2－（A1P·e）2=λ2+（λ－1）2－λ22=32λ2－2λ+1.

問題3? 而點(diǎn)P實(shí)際上是動(dòng)點(diǎn)，每當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，它與動(dòng)點(diǎn)Q的最小距離都會(huì)隨之變化，這個(gè)變化過程中，動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)點(diǎn)Q距離的最小值是多少？

當(dāng)λ=23時(shí)，點(diǎn)P到直線A1C1的距離d取最小值33.

這樣，以代數(shù)運(yùn)算為依托，借助幾何直觀和空間想象感知運(yùn)動(dòng)過程中兩點(diǎn)間距離的變化，體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化中的對稱美，在運(yùn)算中深入理解空間中的兩條直線異面這種位置關(guān)系.通過體會(huì)幾何圖形與代數(shù)運(yùn)算間的緊密聯(lián)系，感受代數(shù)與幾何之間的和諧關(guān)系，發(fā)展學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)、空間想象能力.直觀想象也是探索、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

基于上述分析啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：

問題4? 直線AD1與直線A1C1是異面直線，要求兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P與Q間距離的最小值.是不是對于任意兩條異面直線，都存在類似距離問題呢？你能結(jié)合圖形說一說嗎？

這個(gè)問題就是要啟發(fā)學(xué)生再次展開空間想象、作圖并深度思考.實(shí)質(zhì)上就是考查兩條異面直線間的距離的概念.什么是兩條異面直線間的距離呢？這里可以利用高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合幾何圖形來說明兩異面直線之間存在公垂線段，且公垂線段唯一.

圖5存在性：如圖5，設(shè)l1，l2是異面直線，我們在l1上任取一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作l′2∥l2，那么l′2與l1確定平面α.過l2向平面α作垂面γ，γ∩α=l，l∩l1=A，在面γ內(nèi)過A向l2作垂線，垂足為B，易知AB⊥α，所以AB⊥l1且AB⊥l2.

唯一性：因?yàn)檫^l2向平面α所作垂面γ唯一確定，γ與α的交線l唯一確定，那么l與l1交點(diǎn)A也唯一確定，所以面γ內(nèi)過A向l2作垂線得到的垂足B唯一確定.因此兩異面直線之間的垂線段AB唯一確定.

通過上述分析，可知線段AB的長就是直線l2與平面α之間的距離，即：線l2到面α的距離就是公垂線段的長度.因此，直線l2上任意一點(diǎn)到平面α的距離就是兩異面直線l1與l2間的距離.

于是有如下兩個(gè)定義［5］：

定義1? 兩條直線上的點(diǎn)之間的最短距離稱為這兩條直線間的距離.

定義2? 分別與兩條異面直線垂直相交的直線稱為兩條直線的公垂線，兩垂足的連線段稱為公垂線段.

這樣，引導(dǎo)學(xué)生聚焦重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性與綜合性，注重對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)對通性通法的概括總結(jié).

問題5? 過l2也能作出與l1平行的平面β，記平面α與平面β間的距離d′，那么d′與公垂線段AB的長度有什么關(guān)系？

圖6如圖6，設(shè)l1，l2是異面直線，兩異面直線l1與l2間的距離就是公垂線段AB的長.下面，我們在l1上任取一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作l2′∥l2，那么l2′與l1確定平面α.在l2上任取一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作l1′∥l1，那么l1′與l2確定平面β.那么兩平面間的距離就是公垂線段的長度.也就是平面β上任意一點(diǎn)到平面α的距離就是兩異面直線l1與l2間的距離.

基于以上分析可知，兩異面直線間的距離既能轉(zhuǎn)化為直線與平面間的距離，也能轉(zhuǎn)化為兩平行平面間的距離.

思路與方法3? 借助點(diǎn)到平面的距離公式.

分析? 在圖4中，連接C1B，有AD1∥C1B，那么AD1∥面A1C1B，面A1C1B的一個(gè)法向量為n=（1，1，1），AA1=（0，0，1），點(diǎn)A到平面A1C1B的距離為d=AA1·nn=33.

與方法一和方法二相比較，方法三將異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，使得運(yùn)算得到了簡化.但其弊端也較明顯，那就是：需要我們過其中一條直線A1C1作出與另一條直線AD1平行的平面A1C1B.

思路與方法4? 求出兩平行平面間的距離.

面ACD1∥面A1C1B，兩平面三等分體對角線B1D，而B1D=3，所以兩平行平面間的距離是33.

問題6? 不畫出平面α，能求出l2上任意點(diǎn)到平面的距離嗎？你有什么辦法？

實(shí)際上，我們并不需要作出上述平面A1C1B.在運(yùn)算中，由于我們只需面A1C1B的法向量，而空間中向量是自由向量，所以只需求與兩條異面直線的方向向量C1A1和AD1都垂直的向量，就是所需的面A1C1B的法向量.這樣，不用做出平面，也可以利用點(diǎn)到平面的公式來求出異面直線間的距離.

問題7? 在立體幾何中，點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離都可以利用投影向量的模推出公式.我們能否也從投影向量的角度來思考兩異面直線間的距離呢？

思路與方法5? 巧用投影向量的模.

分析? 如圖7，l1，l2是兩異面直線，n是l1，l2的公垂線段AB的方向向量.C，D分別是l1，l2上的任意兩點(diǎn)，則CD在n上投影向量的模即為l1與l2之間的距離.

圖7 ??????????圖8

結(jié)合圖8，具體運(yùn)算過程如下：

AD1=（－1，0，1），A1C1=（－1，1，0），設(shè)n=（x，y，z），

令A(yù)D1·n=0，A1C1·n=0，即－x+z=0，－x+y=0，取n=（1，1，1）.

AA1=（0，0，1），則d=AA1·nn=33.

問題8? 結(jié)合這個(gè)具體問題的解決過程，你能總結(jié)求異面直線間距離的具體步驟嗎？

①在直線l1上取點(diǎn)A和C，在直線l2上取點(diǎn)B和D；

②通過AC和BD計(jì)算公垂線段的方向向量n；

③計(jì)算CD在n上的投影向量的模d=CD·nn.

3? 拓展分析與教學(xué)啟示

3.1? 問題變式與拓展

圖9如圖9，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在線段AD1和B1C1上．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①M(fèi)N的最小值為2；

②有且僅有一條直線MN與AD1垂直；

③四面體NMBC的體積為83；

④存在點(diǎn)M，N，使△MBN為等邊三角形．

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是??? ．

一方面以面對角線和棱為背景，考查度量和位置關(guān)系；另一方面以正方體為依托討論動(dòng)線段相等的問題.突出對“靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合幾何方法”的考查.

3.2? 教學(xué)啟示

第一，試題設(shè)計(jì)要低起點(diǎn)以突出基礎(chǔ)知識(shí)，問題設(shè)置要有層次以凸顯知識(shí)聯(lián)系.本題在正方體中，循序漸進(jìn)地分析兩動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中，所對應(yīng)線段長度的變化規(guī)律，體現(xiàn)了知識(shí)間的聯(lián)系性，利于深入理解異面直線的位置關(guān)系，對于研究其它空間位置關(guān)系具有啟發(fā)性.

第二，思路與方法的分析過程要具有微專題意識(shí)，求實(shí)、求透、求通.立體幾何中常計(jì)算點(diǎn)到面的距離、線與面的距離、兩平行平面間的距離，都可以用一個(gè)公式d=MN·nn，其中M與N兩點(diǎn)分別在兩個(gè)對象上，而n是平面的法向量.對于異面直線間的距離，也具有相通的方法，而n是與兩異面直線的方向向量都垂直的向量.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性和統(tǒng)一美.

第三，反思要有整體意識(shí)，挖掘問題背后的本質(zhì)和研究對象間的聯(lián)系.本題中，引導(dǎo)學(xué)生建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)對象間的聯(lián)系.幫助學(xué)生提升數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，養(yǎng)成勤于反思的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，在立體幾何這一具體的情境中感悟問題背后的本質(zhì).

參考文獻(xiàn)

［1］? 洪夢，吳立寶，王富英.數(shù)學(xué)說題的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（11）：58-63.

［2］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京，人民教育出版社，2020：29-42.

［3］? 人民教育出版社? 課程教材研究所? 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修：第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2019：163-164.

［4］? 人民教育出版社? 課程教材研究所? 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)·選擇性必修：第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2019：48-49.

［5］? 丘維聲.解析幾何［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1996：68-71.

作者簡介? 谷紅霞（1984—）女，中學(xué)一級教師，曾獲順義區(qū)優(yōu)秀教育工作者、朝陽區(qū)骨干教師、朝陽區(qū)骨干班主任等稱號(hào)；榮獲第八屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)一等獎(jiǎng)、北京市第二屆京教杯青年教師教學(xué)基本功培訓(xùn)與展示活動(dòng)一等獎(jiǎng)、北京市示范性教研活動(dòng)一等獎(jiǎng)；主持并參與多項(xiàng)課題，發(fā)表文章10余篇.

謝輝（1974—）女，中學(xué)高級教師，任高中數(shù)學(xué)備課組長，朝陽區(qū)資源課程評審專家組成員；曾獲朝陽區(qū)師德先進(jìn)個(gè)人、朝陽區(qū)骨干教師、陽光杯班主任等稱號(hào)；多次參與市、區(qū)級課程展示活動(dòng)，參與朝陽區(qū)《高三目標(biāo)檢測》的編寫.