帕斯卡定理背景下圓錐曲線問題的命制與解答

唐宜鐘 楚豪

【摘? 要】? 文章給出了帕斯卡定理及其退化形式、特殊情況和逆定理，并通過具體實(shí)例分析了帕斯卡定理背景下圓錐曲線問題的命制與解答.

【關(guān)鍵詞】? 帕斯卡定理；圓錐曲線；問題命制

近年來，高考要求“創(chuàng)新試題設(shè)計，加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查，突出理性思維，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科高考的選拔功能”［1］.遵循這一要求，2023年北京卷率先嘗試以帕斯卡定理為背景進(jìn)行圓錐曲線問題的命題.基于此，筆者嘗試對帕斯卡定理背景下的圓錐曲線問題進(jìn)行了挖掘.

1? 帕斯卡定理

1.1? 帕斯卡定理

圖1帕斯卡定理于公元1639年為法國數(shù)學(xué)家布萊士·帕斯卡所發(fā)現(xiàn)，其描述為：如圖1，設(shè)ABCDEF內(nèi)接于圓（與頂點(diǎn)次序無關(guān)，即ABCDEF無需為凸六邊形），直線AB與DE交于點(diǎn)X，直線CD與FA交于點(diǎn)Z，直線EF與BC交于點(diǎn)Y，則X，Y，Z三點(diǎn)共線．由射影幾何的知識可知，將圓換成任意圓錐曲線，其結(jié)論依舊成立.

1.2? 帕斯卡定理的退化形式

當(dāng)六邊形中有兩頂點(diǎn)重合，即對于內(nèi)接于圓錐曲線的五邊形，亦有結(jié)論成立.圓錐曲線內(nèi)接五邊形ABCDEF中A（與B重合）處的切線與DE的交點(diǎn)X，BC與FE的交點(diǎn)Y，CD與AF的交點(diǎn)Z三點(diǎn)共線，如圖2（1）．

圖2

當(dāng)六邊形變?yōu)樗倪呅蜛BCDEF或ABCDEF等時，如圖2（2），（3），結(jié)論仍成立．當(dāng)六邊形變?yōu)槿切蜛BCDEF時，三組邊AB，CD，EF變?yōu)辄c(diǎn)，如圖2（4），

仍有結(jié)論成立．此時三點(diǎn)所共的線也稱為萊莫恩線.

1.3? 帕斯卡定理的特殊情況

我們將兩條平行線認(rèn)為交于無窮遠(yuǎn)處，則有以下結(jié)論：

①若圓錐曲線的內(nèi)接六邊形有且只有一組對邊平行，則另外兩組對邊交點(diǎn)連線與平行對邊平行.②若圓錐曲線的內(nèi)接六邊形有兩組對邊平行，則第三組對邊也平行［2］.

1.4? 帕斯卡逆定理

帕斯卡逆定理也成立.即如圖1，設(shè)ABCDEF內(nèi)接于圓（與頂點(diǎn)次序無關(guān)，即ABCDEF無需為凸六邊形），直線AB與DE交于點(diǎn)X，直線EF與BC交于點(diǎn)Y，若直線CD與XY交于點(diǎn)Z，則點(diǎn)Z在直線FA上.

顯然，帕斯卡定理中同時涉及到圓錐曲線中的點(diǎn)、直線、曲線等基本元素和斜率、定點(diǎn)、定線等基本表征.同時，對斜率、定點(diǎn)、定線的計算或證明又是解析幾何的常見設(shè)問方式.因此，帕斯卡定理不失為圓錐曲線命題的一個良好背景.但考慮到圖形的復(fù)雜程度、計算的繁雜性、解題的切入口等問題，以帕斯卡定理為背景的題目很少出現(xiàn)在公開的資料中.筆者從不同角度，原創(chuàng)、收集整理了一些相關(guān)問題，并對命題背景進(jìn)行了探索.

直接使用圓錐曲線上的一個任意六點(diǎn)型，常規(guī)計算方法幾乎是無法完成的.因此六點(diǎn)中的某些點(diǎn)需具有一定的特殊性，如簡化橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，或者讓坐標(biāo)具有某種形式的對稱性.使用左右或上下端點(diǎn)，或者使用一組關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，是常見的命題手段.

2? 六點(diǎn)型

例1? 已知雙曲線Γ：x225-y216=1與x軸的左右交點(diǎn)分別為B，C.A，P為雙曲線上不與B，C重合的不同兩點(diǎn)，過P做雙曲線Γ漸近線方向的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，求證：EF過定點(diǎn).

分析? 如圖3，由雙曲線漸近線的性質(zhì)，假設(shè)EP，F(xiàn)P交雙曲線于無窮遠(yuǎn)處，交點(diǎn)分別記為S+∞，R+∞.由帕斯卡定理，AB∩PS+∞=E，AC∩PR+∞=F，則BR+∞∩CS+∞=T，且E，F(xiàn)，T三點(diǎn)共線.即過點(diǎn)B，C作漸近線方向的平行線BR，CS.顯然它們交于定點(diǎn)T（0，4）.本題為一個雙曲線中六點(diǎn)型的帕斯卡定理.除了選取左右頂點(diǎn)外，還選取了兩個無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn).其常規(guī)解法如下：圖3

由題可知，B（-5，0），C（5，0），由雙曲線的參數(shù)方程，設(shè)A51+t211-t21，8t11-t21，P51+t221-t22，8t21-t22，則lAB：y=45t1（x+5），lEP：y-8t21-t22=-45x-51+t221-t22，聯(lián)立解得E5t1t2-5t1+5t2+5（1+t1）（1-t2），8t1（1+t1）（1-t2）.又lAC：y=45t1（x-5），lFP：y-8t21-t22=45x-51+t221-t22，聯(lián)立解得F5t1t2-5t1+5t2+5（1-t1）（1+t2），8t2（1-t1）（1+t2）.故kEF=yE-yFxE-xF=4t1t2+4t1+4t2-45t1t2-5t1+5t2+5，則lEF：y-8t1（1+t1）（1-t2）=4t1t2+4t1+4t2-45t1t2-5t1+5t2+5·x-5t1t2-5t1+5t2+5（1+t1）（1-t2）.由對稱性易知，定點(diǎn)在y軸上，令x=0得，y=-4t1t2+4t1+4t2-45t1t2-5t1+5t2+5·5t1t2-5t1+5t2+5（1+t1）（1-t2）+8t1（1+t1）（1-t2）=-4t1t2+4t1-4t2+4（1+t1）（1-t2）=4，故定點(diǎn)為（0，4）.

3? 五點(diǎn)型

更近一步的，讓其中某兩個點(diǎn)重合，把圖形退化為一個五點(diǎn)型，以使得常規(guī)手段可以計算.

例2? （2023年北京卷）橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），離心率e=53，點(diǎn)A，C分別為E的上下頂點(diǎn)，點(diǎn)B，D分別為E的左右頂點(diǎn)，|AC|=4.

（1）求橢圓E的解析式；

（2）點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橢圓上的一個動點(diǎn)，直線PD與BC交于點(diǎn)M，直線PA與直線y=-2交于點(diǎn)N.求證：MN∥CD.

解? （1）x29+y24=1；

圖4

（2）如圖4，本題選用了上下左右四個頂點(diǎn).記lCC表示點(diǎn)C處的切線，即直線y=-2.對橢圓的內(nèi)接六邊形APDCCB，有AP∩lCC=N，PD∩BC=M，CD∩AB=T+∞（T+∞表示兩條平行直線交于無窮遠(yuǎn)處）.由帕斯卡定理得M，N，T+∞三點(diǎn)共線，進(jìn)而MN∥CD.

利用帕斯卡定理1.3的特殊情況，本題設(shè)問變?yōu)榱俗C明兩直線平行.而在常規(guī)計算中，平行的轉(zhuǎn)化手段為斜率或者向量.其常規(guī)解法為：

設(shè)P（m，n），點(diǎn)P在橢圓上，則4m2+9n2=36.又D（3，0），則lPD：y=nm-3（x-3）.由B（-3，0），C（0，-2）得：lBC：y=-23x-2.聯(lián)立兩直線解得M3（-2m+3n+6）3n+2m-6，-12n3n+2m-6.又A（0，2），則lAP：y=n-2mx+2，與y=-2聯(lián)立得N4m2-n，-2.故kMN=-12n3n+2m-6+23（-2m+3n+6）3n+2m-6-4m2-n=6n2-4mn+8m-24-9n2-8m2-6mn+12m+36.將4m2=36-9n2代入可得，kMN=23.又kCD=23，故MN∥CD.

例3? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為23，且7，103為C上的一點(diǎn).

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)，M，N為C上異于A，B的兩點(diǎn)，直線MN不與坐標(biāo)軸平行且不過坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為M′，若直線AM′與直線BN相交于點(diǎn)P，直線OP與直線MN相交于點(diǎn)Q.證明：點(diǎn)Q在定直線上.

解? （1）x29+y25=1；

圖5（2）如圖5，AB∩MM′=O，AM′∩BN=P，

O，P，Q三點(diǎn)共線，由帕斯卡逆定理可知，點(diǎn)Q為直線MN與lAA（橢圓在點(diǎn)A處的切線）的交點(diǎn)，即Q在直線lAA：x=-3上.本題是一個定線問題，結(jié)合帕斯卡逆定理，將其中四個點(diǎn)設(shè)置為左右端點(diǎn)和一組對稱點(diǎn)，將定線設(shè)置為左端點(diǎn)的切線，使得本題常規(guī)計算變成可能.常規(guī)解答如下：

由題可知A（-3，0），B（3，0），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則M′（-x1，-y1）.設(shè)lMN：x=my+n，聯(lián)立x=my+n，x29+y25=1，消去x得，5m2+9y2+10mny+5n2-9=0，y1+y2=-10mn5m2+9，y1y2=5（n2-9）5m2+9.又易得，lAM′：y=y1x1-3（x+3），lBN：y=y2x2-3（x-3）.由點(diǎn)P為直線AM′和BN的交點(diǎn)得，x1-3y1·yP=xP+3，x2-3y2·yP=xP-3，兩式相加可得，2xP=x1-3y1+x2-3y2yP.化簡得，xP=3mn+3yP，故lOP：x=3mn+3y.由圖像的對稱性知lOP與lMN的交點(diǎn)在一條垂直于x軸的直線上，聯(lián)立lOP與lMN得，x=3mn+3y，x=my+n，消去y得，xQ=-3.因此點(diǎn)Q在定直線x=-3上.

4? 四點(diǎn)型

讓其中的兩組點(diǎn)重合，就可將問題轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)型帕斯卡定理.

例4? 橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率e=32，a+b=3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖6，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M.求證：直線MN過定點(diǎn).

解? （1）x24+y2=1；

圖6

（2）如圖6，AD∩BP=M，AB∩DP=N，lDD∩lBB=T，由帕斯卡定理，點(diǎn)T在直線MN上.本題選用上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)，使得切線交點(diǎn)容易被找到.其常規(guī)解法為先設(shè)出lBP：y=k（x-2），聯(lián)立lBP與橢圓，計算出P8k2-21+4k2，-4k1+4k2，進(jìn)而得lDP：y=-2k+12（2k-1）x+1，N2（2k-1）2k+1，0.聯(lián)立lBP與lAD得到M4k+22k-1，4k2k-1.利用M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)得出lMN：y=2k+14x-2（2k-1）2k+1，進(jìn)而得到定點(diǎn)T（2，1）（此處具體解答過程從略）.

5? 三點(diǎn)型

例5? 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線Γ：x2=4y上不同的兩點(diǎn)A（4，4），Bb，b24（b≠0）.過A，B兩點(diǎn)做Γ的切線交BO，AO于點(diǎn)M，N.直線MN交x軸于點(diǎn)T（t，0）.當(dāng)∠AOB為鈍角時，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.圖7

解? 如圖7，顯然x軸為拋物線在點(diǎn)O處的切線，lAA∩BO=M，lBB∩AO=N，M，N，T三點(diǎn)共線，由帕斯卡逆定理知：lOO∩AB=T.顯然，當(dāng)b∈（-4，0）時，∠AOB為鈍角.對應(yīng)的，t∈（-∞，0）.本題中，直線MN為△ABO的萊莫恩線.其常規(guī)解法如下：

由y=x24得y′=12x，故kAM=2，進(jìn)而lAM：y=2x-4.又lOB：y=b4x.聯(lián)立lAM與lOB得，y=2x-4，y=b4x，x=168-b，y=4b8-b，即M168-b，4b8-b.同理，lBN：y=b2x-b24，lOA：y=x.聯(lián)立lBN與lOA得，y=b2x-b24，y=x，x=b22b-4，y=b22b-4，即Nb22b-4，b22b-4.故TM=168-b-t，4b8-b，TN=b22b-4-t，b22b-4.由TM∥TN得，168-b-t·b22b-4=b22b-4-t·4b8-b，化簡得，t=4bb+4=4-16b+4.又當(dāng)b∈（-4，0）時，∠AOB為鈍角.故t∈（-∞，0）.

通過上述例證不難發(fā)現(xiàn)，以帕斯卡定理為背景的圓錐曲線問題，立足點(diǎn)、直線、圓錐曲線、平行等基礎(chǔ)知識，充分調(diào)度直曲相交、韋達(dá)定理、切線求解等基本技能，突出對邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的考查.題設(shè)豐富，蘊(yùn)含了圓錐曲線中最常見的定點(diǎn)、定值、定線、范圍、證明等問題.兼顧技巧，如例1中通過觀察圖象的對稱性使得定點(diǎn)簡化，例3中通過合理求解規(guī)避非對稱韋達(dá)等.在高考強(qiáng)調(diào)“反套路、反機(jī)械刷題，突出強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活掌握，注重考查學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力，落實(shí)中國高考評價體系中‘四翼的考查要求”［1］的今天，帕斯卡定理是一座亟待開發(fā)的寶庫.

參考文獻(xiàn)

［1］? 教育部教育考試院.深入考查基礎(chǔ)知識和能力? 助力人才選拔和“雙減”落地：2023年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析［J］.中國考試，2023（07）：15-21.

［2］? 羅碎海，羅家平，麻紅雷.帕斯卡定理的初等證明與高考題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（07）：17-20.

作者簡介? 唐宜鐘（1988—），男，陜西漢中人，中學(xué)一級教師；主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和競賽培訓(xùn)工作.

楚豪（1996—），男，陜西漢中人，中學(xué)二級教師；主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和競賽培訓(xùn)工作.