極值點偏移問題的探源、拓展及應(yīng)用

程漢波 黃嵩濤

【摘? 要】? “極值點偏移問題”作為導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用之一，近年來在教研中受到廣泛關(guān)注．利用泰勒展開這一工具探究后得出：極值點偏移問題是中值點偏移問題的特殊情形，滿足羅爾中值定理（或拉格朗日中值定理）條件的至少三階可導(dǎo)函數(shù)中可能會存在“極值點偏移”（或“中值點偏移”）現(xiàn)象，而且，在其三階導(dǎo)數(shù)恒為0時，極值點（或中值點）不偏；在三階導(dǎo)數(shù)不為零且正負(fù)性確定的條件下，當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)與三階導(dǎo)數(shù)乘積的為正時，極值點（或中值點）右偏；當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)與三階導(dǎo)數(shù)乘積的為負(fù)時，極值點（或中值點）左偏．最后利用探究所得的結(jié)果解答三道全國卷中出現(xiàn)的極值點偏移問題，并給出關(guān)于高觀點對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作用的一點感悟．

【關(guān)鍵詞】? 極值點偏移；泰勒展開；三階導(dǎo)數(shù)；中值點偏移

“極值點偏移問題”作為導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用之一，近年來在教研中受到廣泛關(guān)注，在“中國知網(wǎng)”以“極值點偏移”為主題進(jìn)行搜索可發(fā)現(xiàn)，僅標(biāo)題中含有“極值點偏移”字樣的文獻(xiàn)就有逾200篇，但細(xì)看不難發(fā)現(xiàn)，以“例題+解法”居多，如構(gòu)造對稱函數(shù)、利用對數(shù)平均不等式、比值代換法等處理策略在教研中得到廣泛普及且變得愈發(fā)成熟．然而，教研文章的數(shù)量并不意味著對極值點偏移問題的研究已算圓滿．恰恰相反，之所以會有如此多的文章探究這類問題，在一定程度上說明大家對其已有的研究并不完全滿意．而且，解法的普及與成熟也說明這類問題具有較強(qiáng)的共性，理應(yīng)進(jìn)一步抽象概括出通用解法背后的深層本質(zhì)．

1? 極值點偏移問題簡介

已知f（x）在閉區(qū)間［x1，x2］上連續(xù)，在開區(qū)間（x1，x2）內(nèi)可導(dǎo)，f（x1）=f（x2），且f（x）在區(qū)間（x1，x2）內(nèi)有且只有一個極值點x0．若x0＜x1+x22，稱為“極值點左偏”，如圖1，2；若x0＞x1+x22，稱為“極值點右偏”，如圖3，4；若x0=x1+x22，稱為“極值點不偏”，如圖5，6．可見，“極值點偏移”是函數(shù)極值點x0偏向于區(qū)間中點x1+x22哪一側(cè)的直觀描述，是函數(shù)圖象不對稱性（或?qū)ΨQ性）的直接體現(xiàn)，而且，極值點偏移現(xiàn)象在函數(shù)問題中廣泛存在．例如，在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中，可以證明，常見函數(shù)y=xex，y=exx，y=xlnx，y=xlnx，y=lnxx的圖象均會出現(xiàn)極值點左偏的現(xiàn)象，而函數(shù)y=xex的圖象則會出現(xiàn)極值點右偏的現(xiàn)象，二次函數(shù)的圖象顯然會出現(xiàn)極值點不偏的現(xiàn)象．

2? 極值點偏移問題探源

要比較極值點x0與區(qū)間中點x1+x22的大小，注意到f′（x0）=0，故可以先判斷出f′x1+x22的正負(fù)性，再根據(jù)f′（x）的單調(diào)性（由f″（x）的正負(fù)性決定）得出x1+x22與x0的大小關(guān)系．由圖1—6可以大致猜測，極值點偏移規(guī)律與函數(shù)的單調(diào)性（一階導(dǎo)數(shù)刻畫）及函數(shù)的凹凸性（二階導(dǎo)數(shù)刻畫）有關(guān)，因為函數(shù)圖象的不對稱性（或?qū)ΨQ性）本身就與其單調(diào)性、凹凸性聯(lián)系緊密．然而，也不難發(fā)現(xiàn)，圖1，3，5中函數(shù)均為上凸函數(shù)，且先增后減，但卻出現(xiàn)了不同的極值點偏移現(xiàn)象；同樣地，圖2，4，6中函數(shù)均為下凸函數(shù)，且先減后增，也出現(xiàn)了不同的極值點偏移現(xiàn)象．這表明直接由圖1—6歸納出極值點偏移規(guī)律稍顯困難，還需更精細(xì)化的考察，下面用泰勒展開這一高等數(shù)學(xué)工具探究f′x1+x22的正負(fù)性的判定條件，并進(jìn)一步得到極值點偏移規(guī)律更本源的刻畫方式，具體過程與結(jié)果如下．

假定f（x）至少三階可導(dǎo)，記m=x1+x22，將f（x1）與f（x2）分別在x=m處泰勒展開得，

f（x1）=f（m）+f′（m）（x1-m）+f″（m）2（x1-m）2+f（ξ1）6（x1-m）3（x1＜ξ1＜m）;

f（x2）=f（m）+f′（m）（x2-m）+f″（m）2（x2-m）2+f（ξ2）6（x2-m）3（m＜ξ2＜x2）．

因為f（x1）=f（x2），將以上兩式相減可解得，

f′（m）=-f（ξ1）+f（ξ2）48·（x1-x2）2.（*）

（1）當(dāng)f（x）=0時，由于f（x）在區(qū)間（x1，x2）內(nèi)只有一個極值點x0，因此f″（x）為非零常數(shù)，則f′（x）為單調(diào)函數(shù)．由（*）式知，f′（m）=0=f′（x0），所以m=x1+x22=x0．

（2）當(dāng)f（x）＞0時，由（*）式知，f′（m）＜0=f′（x0），則

①當(dāng)f″（x）＞0時，f′（x）單調(diào)遞增，則m=x1+x22＜x0；

②當(dāng)f″（x）＜0時，f′（x）單調(diào)遞減，則m=x1+x22＞x0．

（3）當(dāng)f（x）＜0時，由（*）式知，f′（m）＞0=f′（x0），則

①當(dāng)f″（x）＞0時，f′（x）單調(diào)遞增，則m=x1+x22＞x0；

②當(dāng)f″（x）＜0時，f′（x）單調(diào)遞減，則m=x1+x22＜x0．

綜上所述，當(dāng)f（x）=0時，x1+x22=x0；當(dāng)f（x）·f″（x）＞0時，x1+x22＜x0；當(dāng)f（x）·f″（x）＜0時，x1+x22＞x0．

值得一提的是，以上綜述結(jié)果中f（x）·f″（x）＞0是指f″（x）＞0，f（x）＞0或f″（x）＜0，f（x）＜0兩種情形，并不包括f″（x）或f″（x）的正負(fù)性不完全確定的情形；類似地，f（x）·f″（x）＜0是指f″（x）＞0，f（x）＜0或f″（x）＜0，f（x）＞0兩種情形．下文與之類似，不再贅述．

因此，至少三階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的極值點偏移問題可用其二階導(dǎo)數(shù)與三階導(dǎo)數(shù)共同刻畫．具體地，三階導(dǎo)數(shù)是否為0可斷定極值點是否會發(fā)生偏移，在三階導(dǎo)數(shù)不為零且正負(fù)性確定的條件下，二階導(dǎo)數(shù)與三階導(dǎo)數(shù)乘積的正負(fù)性可斷定是極值點左偏還是極值點右偏．例如，二次函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)恰好等于0，會出現(xiàn)“極值點不偏”的現(xiàn)象，這與其圖象是軸對稱圖形的直觀相一致；函數(shù)y=xlnx的二階、三階導(dǎo)數(shù)分別為y″=1x＞0， y=-1x2＜0，則

y″y=-1x3＜0，這與其圖象在區(qū)間0，1上會出現(xiàn)“極值點左偏”（即x0=1e＜x1+x22）的現(xiàn)象相一致；函數(shù)f（x）=xex的二階、三階導(dǎo)數(shù)分別為f″（x）=（x+2）ex，f（x）=

（x+3）ex，則f″（x）·f（x）=（x+2）（x+3）e2x，由f（x1）=f（x2）可推得x1，x2＜0，當(dāng)x1，x2中有變量小于等于-2時，“極值點右偏”（即x0=-1＞x1+x22）顯然成立；當(dāng)-2＜x1，x2＜0時，有f″（x）＞0， f（x）＞0，則f″（x）f（x）＞0，“極值點右偏”也成立．因此，這三個特例恰好印證了前面所得的結(jié)論．

3? 極值點偏移問題拓展

由極值點偏移問題的條件和結(jié)論不難聯(lián)想起羅爾中值定理：若閉區(qū)間［x1，x2］上的連續(xù)函數(shù)f（x）在開區(qū)間（x1，x2）內(nèi)可導(dǎo)，且f（x1）=f（x2），則在（x1，x2）內(nèi)至少存在一點ξ（稱其為中值點），使得f′（ξ）=0．上文討論結(jié)果表明，在中值點唯一的前提下，有時可以根據(jù)f（x）的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）與三階導(dǎo)數(shù)f（x）的正負(fù)性，得到中值點ξ與區(qū)間中點x1+x22的大小關(guān)系．因此，極值點偏移問題也可以看作中值點偏移問題的特殊情形，都是比較極值點（或中值點）ξ與區(qū)間中點x1+x22的大小關(guān)系，進(jìn)而得出極值點（或中值點）ξ相對于區(qū)間中點x1+x22的偏移方向，它是對羅爾中值定理中存在性結(jié)果的進(jìn)一步深入細(xì)致的探究．

于是，不禁又聯(lián)想起拉格朗日中值定理：若閉區(qū)間［x1，x2］上的連續(xù)函數(shù)f（x）在開區(qū)間（x1，x2）內(nèi)可導(dǎo)，則在（x1，x2）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=f（x2）-f（x1）x2-x1．在中值點ξ唯一的條件下，能否類似地探究中值點ξ與區(qū)間中點x1+x22的大小關(guān)系呢？不難發(fā)現(xiàn)，該問題是極值點偏移問題的拓展推廣，它的解決可以進(jìn)一步的揭示極值點偏移問題的本質(zhì)．經(jīng)歷一番探究，得到以下結(jié)果：

定理? 若閉區(qū)間［x1，x2］上的連續(xù)函數(shù)f（x）在（x1，x2）內(nèi)至少三階可導(dǎo)，且f′（x）不為常數(shù)，則

（1）若f（x）=0，則存在唯一ξ=x1+x22，使得f′（ξ）=f（x2）-f（x1）x2-x1；

（2）若f（x）·f″（x）＞0，則存在唯一ξ∈x1+x22，x2，使得f′（ξ）=f（x2）-f（x1）x2-x1；

（3）若f（x）·f″（x）＜0，則存在唯一ξ∈x1，x1+x22，使得f′（ξ）=f（x2）-f（x1）x2-x1．

證明? 記x1+x22=m，將f（x1）與f（x2）分別在x=m處泰勒展開得，

f（x1）=f（m）+f′（m）（x1-m）+f″（m）2（x1-m）2+f（ξ1）6（x1-m）3（x1＜ξ1＜m）;

f（x2）=f（m）+f′（m）（x2-m）+f″（m）2（x2-m）2+f（ξ2）6（x2-m）3（m＜ξ2＜x2）．

將以上兩式相減可得，

f（x1）-f（x2）=f′x1+x22（x1-x2）+f（ξ1）+f（ξ2）48（x1-x2）3．

在區(qū)間［x1，x2］上由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈（x1，x2），使得

f′（ξ）=f（x1）-f（x2）x1-x2=f′x1+x22+f（ξ1）+f（ξ2）48（x1-x2）2.（**）

（1）當(dāng)f（x）=0時，結(jié)合f′（x）不為常數(shù)，則f″（x）為非零常數(shù)，因此f′（x）為單調(diào)函數(shù)．由（**）式知，f′（ξ）=f′x1+x22，所以存在唯一ξ=x1+x22．

（2）當(dāng)f（x）·f″（x）＞0時，則可分兩種情況：

①當(dāng)f（x）＞0， f″（x）＞0時，由（**）知，f′（ξ）＞f′x1+x22，且f′（x）單調(diào)遞增，所以存在唯一ξ∈x1+x22，x2；

②當(dāng)f（x）＜0， f″（x）＜0時，由（**）知，f′（x0）＜f′x1+x22，且f′（x）單調(diào)遞減，所以也存在唯一ξ∈x1+x22，x2．

（3）與（2）類似可證，此處略去．

由此可知，極值點偏移問題確實就是中值點偏移問題的特殊情形，任何滿足拉格朗日中值定理條件的函數(shù)中均可能會存在中值點偏移現(xiàn)象．具體地，對于滿足拉格朗日中值定理條件且至少三階可導(dǎo)的函數(shù)，其三階導(dǎo)數(shù)是否為0可斷定中值點是否會發(fā)生偏移，在三階導(dǎo)數(shù)不為零且正負(fù)性確定的條件下，二階導(dǎo)數(shù)與三階導(dǎo)數(shù)乘積的正負(fù)性可斷定中值點是左偏還是右偏．例如，對于對數(shù)函數(shù)f（x）=lnx，其二階、三階導(dǎo)數(shù)分別為f″（x）=-1x2＜0， f（x）=2x3＞0，則f″（x）·f（x）＜0，因此會出現(xiàn)“中值點左偏”的現(xiàn)象，即存在唯一ξ∈x1，x1+x22，使得f′（ξ）=f（x2）-f（x1）x2-x1=lnx2-lnx1x2-x1．又因為f′（x）=1x單調(diào)遞減，所以f′（ξ）＞f′x1+x22，即lnx2-lnx1x2-x1＞2x1+x2，該不等式即為“對數(shù)平均不等式”的一部分，它在解決與自然對數(shù)有關(guān)的“極值點偏移問題”屢建奇功，在教學(xué)、教研中已發(fā)展為一種重要的策略工具．由此觀之，“對數(shù)平均不等式”之所以會如此有效，部分原因是因為該結(jié)果就是對數(shù)函數(shù)中“中值點偏移問題”的代數(shù)刻畫，當(dāng)然可在“極值點（即中值點）偏移問題”中大放異彩．類似地，對指數(shù)函數(shù)f（x）=ex，不難由“中值點偏移問題”的結(jié)果得ex1-ex2x1-x2＞ex1+x22，也有人將其稱為“指數(shù)平均不等式”，它在解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)的“極值點（即中值點）偏移問題”時也照樣大放異彩．

4? 高考中的極值點偏移問題

近些年來，極值點偏移問題的例子眾多，筆者在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，大都可用以上結(jié)論解決，既簡明快捷又貼近本質(zhì)．本文僅給出全國高考卷中對極值點偏移問題的研究熱點“推波助瀾”的三道高考題及解答，更多的例子讀者在實踐中可不斷嘗試．

例1? （2016年全國高考新課標(biāo)Ⅰ卷（乙卷）第21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點．

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2．

證明? ?（Ⅰ）a＞0，過程略；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a＞0，且x1＜1＜x2＜2，則

①當(dāng)x1＜0時，由x2＜2得，x1+x2＜2；

②當(dāng)x1≥0時，f′（x）=（x-1）ex+2a， f″（x）=xex+2a， f（x）=x+1ex，則當(dāng)x∈［x1，x2］時，有f″（x）＞0， f（x）＞0，則f″（x）·f（x）＞0，所以x1+x22＜1，即x1+x2＜2．

例2? （2021年全國新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：1a+1b＞2．

證明? （Ⅰ）略；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．注意到blna-alnb=a-b即為f1a=f1b，不妨設(shè)1a=x1∈（0，1），1b=x2∈（1，+∞），則原問題等價于證明x1+x2＞2．

①當(dāng)x2≥2時，由x1＞0得，x1+x2＞2；

②當(dāng)x2＜2時，f′（x）=-lnx， f″（x）=-1x， f（x）=1x2，則當(dāng)x∈［x1，x2］時，有f″（x）＜0， f（x）＞0，則f″（x）·f（x）＜0，所以x1+x22＞1，即x1+x2＞2．

例3? （2022年全國高考甲卷第21題）已知函數(shù)f（x）=exx-lnx+x-a.

（Ⅰ）f（x）≥0，求a的取值范圍；

（Ⅱ）若f（x）存在兩個零點x1，x2，證明：x1x2＜1．

證明? （Ⅰ）略；（Ⅱ）由f（x1）=f（x2）得，ex1x1-lnx1+x1-a=ex2x2-lnx2+x2-a，即ex1x1+lnex1x1=ex2x2+lnex2x2．記g（x）=x+lnx，則gex1x1=gex2x2．易知g（x）單調(diào)遞增，則ex1x1=ex2x2，兩邊取自然對數(shù)得，x1-lnx1=x2-lnx2．注意到x1，x2＞0，要證明x1x2＜1，只需證明lnx1+lnx2＜0，又記h（x）=ex-x，則hlnx1=hlnx2，且h′（x）=ex-1，h″（x）=h（x）=ex＞0，則h″（x）·h（x）＞0，所以lnx1+lnx22＜0，即x1x2＜1．

5? 余話與啟示

眾所周知，微積分的誕生與運(yùn)動學(xué)息息相關(guān)．例如，位移對時間的一階導(dǎo)數(shù)是速度，用以描述運(yùn)動的快慢；位移對時間的二階導(dǎo)數(shù)是加速度，用以描述速度變化的快慢．不禁產(chǎn)生疑問：位移對時間的三階導(dǎo)數(shù)及其物理意義是什么呢？由文［3］［4］可知，牛頓力學(xué)框架體系對加速度的變化并未給出任何實質(zhì)性的描述，但隨著汽車、火車、公路、鐵路等人類物質(zhì)文明的發(fā)展，到19世紀(jì)中葉，人們認(rèn)識到加速度的變化快慢會引起舒適感的不同，這與機(jī)械元件（如凸輪、軌道）的設(shè)計有關(guān)，于是將位移對時間的三階導(dǎo)數(shù)稱為急動度，用以描述加速度的變化快慢．

同樣地，微積分的誕生與幾何學(xué)也息息相關(guān)．例如，函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義為切線斜率，用以描述函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)可以表示切線斜率的變化快慢，用以描述函數(shù)的凹凸性．不禁產(chǎn)生疑問：函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)及其幾何意義是什么呢？它描述了函數(shù)哪方面的性質(zhì)呢？本文探究得出，極值點偏移問題是中值點偏移問題的特殊情形，對于滿足拉格朗日中值定理（或羅爾中值定理）條件且至少三階可導(dǎo)的函數(shù)，其三階導(dǎo)數(shù)是否為0可斷定中值點是否會發(fā)生偏移，在三階導(dǎo)數(shù)不為零且正負(fù)性確定的條件下，二階導(dǎo)數(shù)與三階導(dǎo)數(shù)乘積的正負(fù)性可斷定是中值點左偏還是中值點右偏．

用泰勒展開式的觀點來看極值點（或中值點）偏移問題，它不僅提供了解決問題的一種策略，也是命制相關(guān)試題的一條渠道．更深入地揭示這類問題的本質(zhì)．這啟示我們中學(xué)教師應(yīng)主動探尋初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識的結(jié)合點，從而對中學(xué)數(shù)學(xué)知識有一個更深層次的理解．教師只有站在較高的角度審視數(shù)學(xué)問題，才能將問題看得更清楚，更透徹．這正如F·克萊因所認(rèn)為的，“教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導(dǎo)學(xué)生繞過懸?guī)r，渡過險灘”．

德國哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派領(lǐng)袖菲利克斯·克萊因曾說：“數(shù)學(xué)教師應(yīng)站在更高（高等數(shù)學(xué)）視角審視、理解初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；有許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能深刻地理解．”杜甫詩云：“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”.就事論事地看待中學(xué)數(shù)學(xué)，只是知其然，用高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解讀，就會豁然開朗，不僅知其然，更知其所以然．我國有一句著名教育格言“要給學(xué)生一杯水，教師應(yīng)該有一桶水”，說的也是這層意思．

參考文獻(xiàn)

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［5］? 陳月蘭．高觀點下的初等數(shù)學(xué)［M］．上海：上海華東師范大學(xué)出版社，2011．

作者簡介

程漢波（1990—），男，湖北孝感人，博士，高中數(shù)學(xué)一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

黃嵩濤（1989—），男，湖北武漢人，博士研究生，高中數(shù)學(xué)一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．