2024屆高三九省聯(lián)考第18題的探究推廣

黃芳 盧恩良

【摘要】圓錐曲線中的定點問題是高考考查的重點，其類型多樣，難度較大.對2024屆高三九省聯(lián)考數(shù)學第18題進行探究，將試題蘊含的結論推廣到一般情況，并類比探究，發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線中也有類似的結論.

【關鍵詞】圓錐曲線；相交弦；定點

1試題呈現(xiàn)

例（2024屆高三九省聯(lián)考第18題）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點.

（1）證明：直線MN過定點;（2）略.

解由題意可知兩條直線的斜率都存在且不為0，故可設直線l方程為x=ty+1（t≠0），則直線DE方程為x=-1ty+1.聯(lián)立y2=4x，x=ty+1，得y2-4ty-4=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=4t，x1+x2=4t2+2，則點M坐標為（2t2+1，2t），同理得點N坐標為2t2+1，-2t.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=2t2t2+1+2t2t2+12t+2t=6t+1t2t+1t=3，所以直線MN過定點3，0.

本文主要研究試題第（1）問，上述解法為通性通法.試題第（1）問主要考查直線與拋物線的位置關系、相交弦的中點問題，考查學生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

試題第（1）問的解答有兩個關鍵.第一是根據(jù)對稱性分析，直線MN所過定點必在x軸上，考驗學生邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)，明確運算方向即為求解定點橫坐標；第二是直線MN方程形式的選擇，解法中選用直線的兩點式方程，令y=0，從而求得x=3.試題結論是否可以一般化？可否進行拓展？關于直線過定點，有人做了研究［1］.對上述問題，筆者做了深入思考，分享如下.

2結論推廣

由試題解析可知直線MN過定點（3，0），將拋物線一般化可得以下命題成立.

命題1已知拋物線C：y2=2pxp＞0的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，M，N分別為AB，DE的中點，則直線MN過定點3p2，0.

證明由題意可設直線l方程為x=ty+p2（t≠0），則直線DE方程為x=-1ty+p2.聯(lián)立y2=2px，x=ty+p2，得y2-2pty-p2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=2pt，x1+x2=2pt2+p，則點M坐標為pt2+p2，pt，同理得點N坐標為pt2+p2，-pt.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得x=xNyM-xMyNyM-yN=3p22t+1tpt+1t=3p2，所以直線MN過定點3p2，0.

如果將直線AB與直線DE由過拋物線焦點一般化，可得下面命題成立.

命題2已知拋物線C：y2=2px（p＞0），過（m，0）（m＞0）的直線l與C交于A，B兩點，過（m，0）與l垂直的直線交C于D，E兩點，M，N分別為AB，DE的中點，則直線MN過定點（p+m，0）.

證明由題意可設直線l方程為x=ty+m（t≠0），則直線DE方程為x=-1ty+m.聯(lián)立y2=2px，x=ty+m，得y2-2pty-2pm=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=2pt，x1+x2=2pt2+2m，則點M坐標為（pt2+m，pt），同理得點N坐標為pt2+m，-pt.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得x=xNyM-xMyNyM-yN=pt+1t（p+m）pt+1t=p+m，所以直線MN過定點（p+m，0）.

試題中，直線AB與DE垂直即為直線斜率之積為-1，如果將該條件一般化，可得下面結論成立.

命題3已知拋物線C：y2=2px（p＞0），過（m，0）（m＞0）的直線與C交于A，B兩點，過（m，0）的直線與C交于D，E兩點，M，N分別為AB，DE的中點，若直線AB與DE的斜率之積為n（n≠0），則直線MN過定點m-pn，0.

證明由題意可設直線AB方程為x=ty+m（t≠0），則直線DE方程為x=1nty+m.聯(lián)立y2=2px，x=ty+m，得y2-2pty-2pm=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=2pt，x1+x2=2pt2+2m，則點M坐標為（pt2+m，pt），同理得點N坐標為pn2t2+m，pnt.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=p1nt-tpn-mpt-1nt=m-pn，所以直線MN過定點m-pn，0.

3類比探究

試題中的定點結論經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)在拋物線中具有一般性的結論，那么，在橢圓和雙曲線中是否也如此呢？筆者經(jīng)過探究，得到以下命題也成立.

命題4已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），過（m，0）（|m|＜a）的直線與C交于A，B兩點，過（m，0）的直線與C交于D，E兩點，M，N分別為AB，DE的中點，若直線AB與DE的斜率之積為n，則直線MN過定點mna2na2-b2，0.

證明由題意可設直線AB方程為x=ty+m（t≠0），則直線DE方程為x=1nty+m.聯(lián)立b2x2+a2y2-a2b2=0，x=ty+m，得（b2t2+a2）y2+2mtb2y+b2m2-a2b2=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-2mtb2b2t2+a2，x1+x2=2ma2b2t2+a2，則點M坐標為ma2b2t2+a2，-mtb2b2t2+a2，同理得點N坐標為ma2n2t2b2+a2n2t2，-mntb2b2+a2n2t2.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=mna2（nt2-1）（na2-b2）（nt2-1）=mna2na2-b2，所以直線MN過定點mna2na2-b2，0.

特別地，當直線AB與DE垂直時，n=-1，直線MN過定點ma2a2+b2，0.

命題5已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），過（m，0）（|m|＞a）的直線與C交于A，B兩點，過（m，0）的直線與C交于D，E兩點，M，N分別為AB，DE的中點，若直線AB與DE的斜率之積為n，則直線MN過定點mna2na2+b2，0.

證明由題意可設直線AB方程為x=ty+m（t≠0），則直線DE方程為x=1nty+m.聯(lián)立b2x2-a2y2-a2b2=0，x=ty+m，得（b2t2-a2）y2+2mtb2y+b2m2-a2b2=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-2mtb2b2t2-a2，x1+x2=-2ma2b2t2-a2，則點M坐標為ma2a2-b2t2，mtb2a2-b2t2，同理得點N坐標為ma2n2t2a2n2t2-b2，mntb2a2n2t2-b2.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=a2b2m2nt（nt2-1）mtb2（na2+b2）（nt2-1）=mna2na2+b2，所以直線MN過定點mna2na2+b2，0.

特別地，當直線AB與DE垂直時，n=-1，直線MN過定點ma2a2-b2，0.

4反思回顧

圓錐曲線是考查學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體，通過引導學生對試題深入思考，變式拓展，可以很好地發(fā)展學生的數(shù)學思維，提升數(shù)學核心素養(yǎng)水平.

新課程標準指出“在平面解析幾何的教學中，要時刻注意體現(xiàn)數(shù)形結合思想和轉化思想，讓學生從代數(shù)與幾何的角度去理解這一部分內(nèi)容”.試題第（1）問中直線MN所過定點在x軸上就是從“形”的角度入手分析問題，通過運算求得定點橫坐標為3就是從“數(shù)”的角度進行運算推理，充分體現(xiàn)了學生邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)水平.

新課程標準還指出“要重視運用類比的方法進行教學”“要注重數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)”.因為平面解析幾何中對不同的研究對象（主要是橢圓、拋物線、雙曲線）所采用的手法與模式大致相同，所以教學中可以很好地引導學生借鑒前者的研究方法與模式來研究后者，并引導學生主動運用類比、歸納、推廣等思想方法，從而提升數(shù)學素養(yǎng).本文從從拋物線出發(fā)，將試題推廣得到一般性結論，并通過類比探究得到橢圓和雙曲線中的相關結論，有效地落實了新課程標準對一線教學的指導和實施［2］.

參考文獻

［1］喻秋生.一類直線過定點問題的探究與發(fā)現(xiàn)［J］.中學數(shù)學雜志，2019（09）：61-63.

［2］馬宏酉，魏東升.相交弦中點所在直線過定點問題探究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（28）：65-68.

作者簡介黃芳（1989—），女，江西湖口人，中學一級教師.

盧恩良（1991—），男，江西修水人，中學一級教師，主要從事高中數(shù)學教學研究.