數(shù)學(xué)知識(shí)信息化加工的三個(gè)策略

陳維龍

高度發(fā)達(dá)的信息技術(shù)，一方面在技術(shù)層面推動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)結(jié)構(gòu)及信息傳遞方式的變革；另一方面在知識(shí)信息加工層面給數(shù)學(xué)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)施提供了新的視角和新的啟發(fā).本文結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容介紹了在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)施時(shí)對(duì)認(rèn)知材料進(jìn)行信息化加工的三點(diǎn)體會(huì).

一、充分利用信息技術(shù)，增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念

空間圖形是三維空間里的圖形，認(rèn)識(shí)空間圖形，研究空間圖形的性質(zhì)和判定，用它的性質(zhì)和判定解決問題等均需要學(xué)生有一定的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念也正是這個(gè)部分教材肩負(fù)的重任.在過去的教學(xué)中，教師會(huì)帶著自制的教具走進(jìn)課堂，還會(huì)采用讓學(xué)生動(dòng)手折紙、捏橡皮泥等操作來增強(qiáng)學(xué)生的空間.如今，信息技術(shù)迅猛發(fā)展，為我們短時(shí)間高效達(dá)成教學(xué)目標(biāo)提供了強(qiáng)有力的支撐.直線在平面內(nèi)的射影、二面角、二面角的平面角等都可以通過多媒體制作的動(dòng)畫讓每個(gè)學(xué)生都不覺得難以想象.

二、優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)信息的呈現(xiàn)時(shí)序，激發(fā)學(xué)生自主意識(shí)

根式概念教學(xué)中嘗試將信息呈現(xiàn)的時(shí)序進(jìn)行合理重排，能取得了令人欣慰的較好效果.

平方根—立方根—二次根式—三次根式—n次根式，這是最經(jīng)典的知識(shí)信息呈現(xiàn)順序.這個(gè)順序與知識(shí)形成的邏輯順序比較接近.理解平方根概念就有了理解立方根概念的基礎(chǔ)，在平方根概念基礎(chǔ)上很容易引入二次根式，理解二次根式概念就有了理解三次根式的基礎(chǔ)，再由二次根式、三次根式拓展到n次根式，這種順序也符合學(xué)生由簡到繁、由淺入深的認(rèn)知規(guī)律.不過這里有個(gè)難點(diǎn)往往容易被忽視，就是n次根式有兩類：一類是偶次根式、另一類是奇次根式.或許有人說，這不容易嘛：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)是偶次根式，而當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)是奇次根式.事實(shí)上對(duì)學(xué)生來說這可不是容易的事.在初中學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，學(xué)生接觸到的知識(shí)信息只有二次根式，沒有三次根式信息的干擾，在九年義務(wù)教育的教材中壓根就沒有出現(xiàn)三次根式的模樣.學(xué)生沒有碰到不是二次根式的其他根式的擔(dān)心.現(xiàn)在學(xué)生升入高中階段學(xué)習(xí)，他們碰到了.但碰到的是和二次根式一類的偶次根式、還是和三次根式同類的奇次根式，他們搞不清楚.還有，二次根式與三次根式區(qū)別在哪里？學(xué)生恐怕還一無所知.如果學(xué)生們連二次根式與三次根式的區(qū)別在哪里都不知道的話，那么偶次根式與奇次根式的區(qū)別在哪里他們更不清楚了.這么分析下來，我們應(yīng)該首先設(shè)法讓學(xué)生弄清平方根與立方根區(qū)別，其次應(yīng)該讓學(xué)生弄清二次根式與三次根式的區(qū)別，接下來還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)別偶次根式與奇次根式并聯(lián)想歸類于二次根式與三次根式.按這樣的知識(shí)信息順序展開我們的教學(xué)，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的周期一定會(huì)大大超出課程教學(xué)計(jì)劃的安排要求，這樣時(shí)間的使用效率達(dá)于低下，浪費(fèi)了學(xué)生寶貴的青春年華.

二次根式（平方根）—三次根式（立方根）—n次根式，這樣的知識(shí)信息呈現(xiàn)順序既不違背知識(shí)形成的邏輯順序，又貼近學(xué)生認(rèn)知生態(tài)，還能提高時(shí)間的使用效率.

在學(xué)習(xí)的初始階段，我們可以讓學(xué)生回憶二次根式的概念，并通過下面的問題來加深對(duì)二次根式概念的理解：

下列各式是否二次根式？為什么？

（1）3；（2）-5；（3）x.

學(xué)生能憑借初中所學(xué)回答出“形如a（a≥0）的式子叫二次根式”，這對(duì)我們的學(xué)生來說不是難事.不過一定有不少學(xué)生不會(huì)在意“a≥0”這個(gè)附加的條件，而這個(gè)條件是絕對(duì)不能忽視的，怎么強(qiáng)化？我們可以追問“a中a的取值有什么限制？”.在學(xué)生通過討論得出正確結(jié)論后再進(jìn)行上述問題的研討.不過這樣問就過于簡單生硬，對(duì)于基礎(chǔ)不扎實(shí)或者初中數(shù)學(xué)知識(shí)有所遺忘的學(xué)生來說，這樣會(huì)讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)是懸在半空中的，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏，怎能激發(fā)他們自發(fā)探尋知識(shí)的欲望！實(shí)踐證明，在學(xué)生正確地答出“形如a（a≥0）的式子叫二次根式”后就可以組織學(xué)生開始上述問題的研究.因?yàn)閷W(xué)生在思考問題中“為什么？”時(shí)自然會(huì)回憶平方根概念，從而自發(fā)地探尋、討論并理解“a≥0”的必要性.在此基礎(chǔ)上，我們可以把二次根式的定義改為“如果a有意義，那么式子a叫二次根式”.為下一步的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

在學(xué)習(xí)的中期，要進(jìn)行“三次根式（立方根）”的教學(xué).我們可以通過讓學(xué)生討論下面的問題來進(jìn)行：

（1）二次根式a的“二次”在式子a中怎么沒有看到呢？

（2）受問題（1）的答案啟發(fā)，請(qǐng)說出什么叫三次根式.

對(duì)于問題（2），我們的學(xué)生一定能不假思索地給出答案.只不過可能有人會(huì)選擇“形如3a的式子叫三次根式”作為答案；也可能有人會(huì)選擇“如果3a有意義，那么式子3a叫三次根式”作為答案.作為教師，我們可不能覺得學(xué)生們已經(jīng)理解了三次根式的概念，我們還得通過下面的問題診斷下：

（1）在“形如3a的式子叫三次根式”中，為什么不像二次根式定義里那樣加上“a≥0”這么個(gè)附加條件？

（2）如果3a有意義，那么式子3a叫三次根式.難道3a會(huì)無意義嗎？

上面這兩個(gè)用于判斷的問題可以促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系立方根概念及其與平方根的區(qū)別來生成三次根式的正確概念，為下一步的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

在學(xué)生掌握了二次根式、三次根式概念后引入n次根式應(yīng)該是水到渠成了.再配上下列問題讓學(xué)生思考解答，就能成功突破掌握n次根式概念的難點(diǎn)：

（1）下列各式是否根式？若不是，請(qǐng)說明理由；若是，請(qǐng)指出其根指數(shù)、被開方數(shù).

13；3-2.7；4-5；5x；8a.

（2）求值：

（-1.4）2；

3-233；

4（-7）4；

5（a-b）5（a>b）；

6（3-π）6.

按照“二次根式（平方根）—三次根式（立方根）—n次根式”這樣的順序呈現(xiàn)知識(shí)信息、展開教學(xué)，把平方根、立方根概念的教學(xué)過程節(jié)約式嵌入到“二次根式—三次根式—n次根式”這條教學(xué)主線中，既不沖淡教學(xué)主線、淹沒教學(xué)主題，又能發(fā)揮學(xué)生主體作用—自發(fā)地進(jìn)行知識(shí)的檢索、探尋、討論、整理，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，在很短的時(shí)間內(nèi)突破難點(diǎn)、掌握根式概念.

以上是在數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐中摸索出的數(shù)學(xué)知識(shí)信息呈現(xiàn)時(shí)序的處理技巧，在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中我們依然可以運(yùn)用這里說到的信息處理技巧來優(yōu)化我們的數(shù)學(xué)知識(shí)信息呈現(xiàn)的時(shí)序，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)和自主學(xué)習(xí)能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).比如學(xué)生學(xué)習(xí)“向量的坐標(biāo)運(yùn)算”前要學(xué)習(xí)“基底向量和用基底向量表示向量”，而在學(xué)習(xí)“基底向量和用基底向量表示向量”之前要學(xué)習(xí)“向量的坐標(biāo)”，所以“向量的坐標(biāo)—基底向量和用基底向量表示向量—向量的坐標(biāo)運(yùn)算”是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的知識(shí)信息展開時(shí)序.采用前面總結(jié)的信息處理技巧，我們可以把“基底向量和用基底向量表示向量”節(jié)約式嵌入“向量的坐標(biāo)運(yùn)算”的教學(xué)過程中.

三、對(duì)認(rèn)知材料進(jìn)行信息化加工，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

（一）認(rèn)知材料的視覺信息加工

曾經(jīng)聽過一位教師的冪函數(shù)概念課，他將認(rèn)知材料“y=x，y=x2，y=x12，y=x-1”中的“y=x”用紅色標(biāo)出，將指數(shù)“2，12，-1”用深藍(lán)色標(biāo)出，在PPT中利用動(dòng)畫分別對(duì)這兩部分進(jìn)行閃爍、移動(dòng)等強(qiáng)化，學(xué)生們一下就看出這組式子的異同，從而得出“形如y=xα（α≠0）的函數(shù)叫作冪函數(shù)”.

冪函數(shù)的本質(zhì)特征作為信息隱藏在這組認(rèn)知材料之中，把冪函數(shù)的本質(zhì)特征處理成更易引起視覺反映的信息，新奇的視覺信息會(huì)激發(fā)學(xué)生興趣并在大腦皮層形成相應(yīng)的神經(jīng)連接，這樣學(xué)生就能輕松地形成冪函數(shù)概念.

把認(rèn)知材料中形式相同、相異之處進(jìn)行信息化處理，對(duì)學(xué)生的視覺產(chǎn)生強(qiáng)烈的刺激，學(xué)生很容易自己發(fā)現(xiàn)所要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的形式特點(diǎn)，從而形成初步但深刻的印象.這位教師的成功之處也正在于此.同樣的方法還可以用于指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)、正弦型函數(shù)概念教學(xué)等.

（二）認(rèn)知材料的聽覺信息加工

數(shù)學(xué)知識(shí)的符號(hào)化程度很高，特別是認(rèn)知成果的符號(hào)化.認(rèn)知成果的符號(hào)化表達(dá)是文字表達(dá)的升華，是思維層次的飛躍，總之符號(hào)化的優(yōu)點(diǎn)很多.但認(rèn)知成果的符號(hào)化表達(dá)是建立在學(xué)生對(duì)認(rèn)知成果的理解基礎(chǔ)上的，如果教師發(fā)現(xiàn)我們的學(xué)生對(duì)認(rèn)知成果理解不夠深刻，我們?nèi)绾窝a(bǔ)救呢？這里我們介紹一個(gè)方法，就是把符號(hào)化的材料口語化，實(shí)踐證明這樣可以增強(qiáng)學(xué)生的理解和記憶.

虛數(shù)單位i有這樣的性質(zhì)：i4n=1；i4n+1=i；i4n+2=-1；i4n+3=-i.

對(duì)于一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來講，要記住它就得費(fèi)一番腦筋，落實(shí)到具體問題中應(yīng)用它更非易事.可是課堂教學(xué)的進(jìn)程已經(jīng)到了記住并應(yīng)用它了，教師又不能折返回去，再組織材料讓學(xué)生重新“發(fā)現(xiàn)”一次吧，一堂課的時(shí)間就那么長，這樣做對(duì)接受知識(shí)比較快的孩子也不公平呀.這時(shí)教師可以把它翻譯成通俗的口頭語言：4n是能被4整除的數(shù)，4n+1是被4除余1的數(shù)，4n+2是被4除余2的數(shù)，4n+3是被4除余3的數(shù).把符號(hào)語言翻譯成這些通俗的口頭語言，學(xué)生聽到耳朵中、記在心底里，加深了對(duì)符號(hào)的理解、記憶，用它來求諸如i2007一類值時(shí)也更方便.

在符號(hào)化程度較高的視覺材料不好掌握的情況下，可以把它轉(zhuǎn)化為通俗的聽覺材料，這種信息化處理有助于提高學(xué)生思維水平和應(yīng)用能力.數(shù)學(xué)教材中適用這一教學(xué)模式的地方還是很多的，如正弦型函數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的概念、余弦定理、正弦定理等等.

（三）認(rèn)知材料的視、聽覺信息加工

學(xué)完指數(shù)函數(shù)性質(zhì)后教師們常常用下面的思考題促使學(xué)生加深對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解：

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較1.935與1.958的大小.

引發(fā)學(xué)生想到用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的因素是多方面的.單從數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)材料信息化角度來看，讓學(xué)生想到指數(shù)函數(shù)的前提是從這個(gè)問題的式子里提取指數(shù)函數(shù)定義中所包含的兩個(gè)重要的信息：① 底數(shù)是常量、② 指數(shù)和冪是變量.怎樣能讓大多數(shù)（而不是少數(shù)）學(xué)生迅速從“1.935與1.958”中提取出信息①、②呢？我們可以這樣做，在PPT中出現(xiàn)兩個(gè)1.9的同時(shí)教師用口頭語言強(qiáng)調(diào)：冪的底數(shù)同樣是1.9，接著，在PPT中出現(xiàn)35和58前教師用口頭語言強(qiáng)調(diào)：可是冪的指數(shù)不同，分別是35和58.用PPT展示1.9、35和58，這是用視覺信息呈現(xiàn)認(rèn)知材料，用口頭語言旁白“冪的底數(shù)同樣是1.9”和“冪的指數(shù)不同，分別是35和58”，這是用聽覺信息呈現(xiàn)認(rèn)知材料.這里，我們把認(rèn)知材料包含的目標(biāo)信息用視、聽覺信息分步或同步展現(xiàn)的模式，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)迅速從“1.935與1.958”中提取出信息①、②，從而聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)，用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決此問題.

把認(rèn)知材料一下子呈現(xiàn)在學(xué)生面前讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，這種做法對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說效果不好.如果我們把認(rèn)知材料中的目標(biāo)信息分別以視覺信息方式、聽覺信息方式分步或同步呈現(xiàn)給我們的學(xué)生，這更有助于學(xué)生攝取“目標(biāo)信息”，從而想到相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并用其來解決問題.利用冪函數(shù)性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)解決問題的教學(xué)過程等，均適合這種模式.