淺談一類動點(diǎn)問題最值的求法

符振勇

【摘要】動點(diǎn)問題是中考必考的內(nèi)容之一，但大部分同學(xué)認(rèn)為這類問題很抽象，做起來困難.而動點(diǎn)問題可以進(jìn)行分類總結(jié)，大致可分為五種.本文就對其中的四種進(jìn)行詳細(xì)的分析，進(jìn)而為動點(diǎn)問題求最值提供參考.

【關(guān)鍵詞】動點(diǎn)問題；最值；求法

在初中數(shù)學(xué)中，“兩點(diǎn)之間，線段最短”是初中數(shù)學(xué)的重要定理之一，動點(diǎn)問題幾乎成了每年中考必考的一個內(nèi)容，很多同學(xué)都認(rèn)為動點(diǎn)問題很難、很抽象，從心理上就非常懼怕這一類問題，如果我們能夠很好地對其進(jìn)行歸類總結(jié)的話，可以把它弄得很簡單，下面我們對一類動點(diǎn)問題求最值進(jìn)行歸類總結(jié).1.水電站（自來水廠）問題，都可以化歸為要在小河邊修建一個自來水廠，向村莊A，B提供用水，村莊A，B在小河的同側(cè)，自來水廠應(yīng)建在什么位置，才能使它到A，B距離之和最短？達(dá)到節(jié)約水管的目的；2.牽馬喝水問題：我們完全可以把牧童的位置看作是A村，把牧童家的位置看作是B村，從而轉(zhuǎn)化為第一類問題；3.坐標(biāo)系問題：我們也可以把x軸看作是一條河流，A點(diǎn)、B點(diǎn)分別看作是第一類問題中的對應(yīng)A，B，從而把這類問題轉(zhuǎn)化為第一類問題，只是此題求P點(diǎn)坐標(biāo)的方法可以轉(zhuǎn)化為直線AB與x軸交點(diǎn)的方法，從而巧妙地解決問題；4.菱形問題：我們也可以把AC這條對角線看作是河流，B，E點(diǎn)分別看作是A，B村的問題，只是此題巧妙地利用了菱形的性質(zhì)，B點(diǎn)的對稱點(diǎn)就是D點(diǎn)，然后把DE連接起來，DE與AC的交點(diǎn)就是動點(diǎn)P的位置，DE的長度就是所求的最小值；5.求周長問題：我們可以這樣理解，因為四邊形EFGH為平行四邊形，而根據(jù)平行四邊形對邊相等的性質(zhì)，得EF=GH，EH=FG，所以，EF+EH=GH+FG，也就是說，如果能夠求出EF+EH的最小值，那么就求出了GH+FG的最小值，從而求出了該平行四邊形的周長的最小值，那么我們可以把AB看作是一條河流，E，G看作是A，B村，從而轉(zhuǎn)化為第一類最基本的模型進(jìn)行求解.現(xiàn)對前四類問題進(jìn)行詳細(xì)分析：

一、水電站問題

在河流MN的同一側(cè)有A，B兩村，現(xiàn)要在河流MN上建一水電站P，則水電站P應(yīng)建在何處才能使PA+PB最小？

二、牽馬喝水問題

牧童在A處看馬，現(xiàn)要牽馬去河流MN喝水，喝水之后回家B處，那么應(yīng)該牽到MN何處，牧童所走的路程最短？

例：已知，如上圖，一牧童在A處牧馬，牧童家在B處，A，B兩處距河岸的距離AC，BD的長分別為700米，500米，且CD的距離為500米，天黑前牧童從A點(diǎn)將馬牽到河邊去飲水后，再趕回家，那么牧童最少要走1300米.

三、坐標(biāo)系問題

在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)A（-2，1），B（3，4），在x軸上有一點(diǎn)P，若使PA+PB最小，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

解 求出A（-2，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′（-2，-1），然后求出直線A′B的解析式為y=x+1，最后求出P（-1，0）.

四、菱形問題

在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是AB中點(diǎn)，P是AC上任一點(diǎn)，則PE+PB的最小值是.

解 連接BD，設(shè)AC與BD交于O.

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，∴BO=DO，

∴BP=DP，

∴BP+PE=DP+PE.

在△DEP中，DP+PE>DE，

∴BP+EP的最小值為DE，

DE=ADsin60°=2×32=3，

∴BP+EP的最小值為3.

總之，這一類型的題目都可以轉(zhuǎn)化為自來水廠這種基本的模型來解決.作為教師不管在平時教學(xué)還是在中考復(fù)習(xí)中，應(yīng)總結(jié)同類型的題目，拓展例題、習(xí)題及重視學(xué)生的探究.作為學(xué)生，解題不在多，真正掌握方法就行.所以，找到變幻萬千的試題背后最本質(zhì)的原理或模型，才能發(fā)展思維，提升能力.因此，重視解題后的反思及整理才是學(xué)習(xí)之根本.

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐遵會.“兩點(diǎn)之間線段最短”在解最值問題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2013（24）：9-10.

[2]徐遵會.一個基本定理在解最值問題中的應(yīng)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（21）：12-14.