函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中的再思考和實(shí)踐

朱兆軒

【摘要】函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)中的一種重要思維方式，將函數(shù)思想運(yùn)用到不同類型的題目中，會(huì)使很多復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而提高解題效率和解題能力，為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).本文通過(guò)具體分析函數(shù)思想在幾種不同題型中的運(yùn)用，探討了函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體實(shí)踐.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想；高中數(shù)學(xué)；解題

一、探析函數(shù)思想的內(nèi)涵

所謂函數(shù)思想，主要是運(yùn)用函數(shù)的概念以及性質(zhì)研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思維方式，實(shí)際上就是利用題目已知量和未知量之間的關(guān)聯(lián)性，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，最終得到想要的答案.即使遇到難度系數(shù)較大的問(wèn)題，也可以利用函數(shù)思想快速找到解決問(wèn)題的方法.從某種程度上說(shuō)，函數(shù)思想就是一架將各種數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)的橋梁，如果能正確運(yùn)用函數(shù)思想解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么不但可以鍛煉思維能力，還有助于將各種數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，理解數(shù)學(xué)各個(gè)分支間的內(nèi)在聯(lián)系.

二、方程中函數(shù)思想的運(yùn)用

方程和函數(shù)之間存在著息息相關(guān)的聯(lián)系，可以說(shuō)函數(shù)包含了方程的全部?jī)?nèi)涵，方程也在函數(shù)中扮演著重要角色.靈活利用函數(shù)思想來(lái)解決方程問(wèn)題，一些看似煩瑣的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，比如下面的例題：

求證：不論a取什么實(shí)數(shù)，方程x2-（a2+a）x+a-2=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根.剛看到這個(gè)題時(shí)，首先想到的可能是利用常規(guī)解法求出判別式Δ=[-（a2+a）]2-4（a-2），但這個(gè)判別式是關(guān)于a的一元四次多項(xiàng)式，雖然方法正確，但不容易判斷，并且有較大的計(jì)算量.這時(shí)可以轉(zhuǎn)變思維方式，將這個(gè)題目轉(zhuǎn)換為函數(shù)問(wèn)題.首先構(gòu)建出函數(shù)f（x）=x2-（a2+a）x+a-2，只要證明函數(shù)f（x）=x2-（a2+a）x+a-2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可.證明過(guò)程如下：

∵x2的系數(shù)大于0，∴函數(shù)開(kāi)口向上，

∴只要找到一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）<0即可.

又∵f（1）=1-（a2+a）+a-2=-a2-1<0，

∴函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)x1和x2，命題即證.

三、解析幾何中函數(shù)思想的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，圓錐曲線題型多樣，計(jì)算復(fù)雜，常被選為高考?jí)狠S題型，要想在高考數(shù)學(xué)中取得好成績(jī)，必需熟練掌握?qǐng)A錐曲線的各種解題技巧，利用函數(shù)思想解決圓錐曲線相關(guān)問(wèn)題正是一種常用技巧.

例 直線m：y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A，B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P（-2，0）和AB線段的中點(diǎn)M，求l在y軸上的截距b的取值范圍.

解 由y=kx+1，x2-y2=1，且x≤-1，（k2-1）x2+2kx+2=0.

由題意得Δ=4k2+8（1-k2）>0，x1+x2=2k1-k2<0，且x1x2=-21-k2>01

設(shè)M（x0，y0），則x0=x1+x22=k1-k2，y0=kx0+1=11-k2.

由P（-2，0），Mk1-k2，11-k2，Q（0，b）三點(diǎn)共線，可得b=2-2k2+k+2.

設(shè)f（k）=-2k2+k+2=-2k-142+178，則f（k）在（1，2）上為減函數(shù).

所以f（2）2.

通常，圓錐曲線中求參數(shù)范圍、最值問(wèn)題、位置關(guān)系等問(wèn)題，都可以借用函數(shù)思想來(lái)處理，可以降低思維量，優(yōu)化計(jì)算過(guò)程，有效快捷地得出答案，達(dá)到事半功倍的效果.

四、不等式中函數(shù)思想的運(yùn)用

對(duì)于大部分不等式的證明問(wèn)題，也可以將問(wèn)題運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，獲得想要的答案.

舉例說(shuō)明：已知不等式x2+mx+3>4x+m恒成立，同時(shí)，0≤m≤4，求x的取值范圍.這種題目如果利用不等式的解題方法來(lái)解答，解題步驟相對(duì)來(lái)說(shuō)比較煩瑣.可以運(yùn)用函數(shù)思想這樣做：把m當(dāng)作自變量，快速建立起一個(gè)關(guān)于m的函數(shù)f（m）=（x-1）m+（x2-4x+3），這樣就把題目轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)f（m）>0恒成立的問(wèn)題了，同時(shí)m∈[0，4]，這樣就容易對(duì)x的取值范圍進(jìn)行求解了，輕易解出x<-1或x>3.

五、數(shù)列中函數(shù)思想的應(yīng)用

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有不可或缺的位置，可以靈活利用函數(shù)思想來(lái)提高解數(shù)列題的能力.

舉例說(shuō)明：數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=n2+1-n，證明該數(shù)列為遞減數(shù)列.根據(jù)以往學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)可以知道，比較數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的大小可以從函數(shù)增減性著手，這樣就將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成函數(shù)增減性的問(wèn)題了，最終證明該數(shù)列問(wèn)題.具體步驟如下：

證明 令f（x）=x2+1-x，則f（x）=x2+1-x=1x2+1+x.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為遞減函數(shù)，所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.由此可見(jiàn)，某些數(shù)列題如果按常規(guī)思路來(lái)解，通常比較煩瑣，如果運(yùn)用函數(shù)思想轉(zhuǎn)換一下思維方式，就可快速找到答案.

六、結(jié)束語(yǔ)

函數(shù)思想是一種重要的思維方法，在實(shí)際解題過(guò)程中常常與其他數(shù)學(xué)思想聯(lián)系在一起，在高中階段有著非常廣泛的應(yīng)用.如果我們能善用函數(shù)思想轉(zhuǎn)換思維，可以使很多數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，快速得到答案，這樣不但可以鍛煉思維能力，也可以提高解題能力，從而提高學(xué)習(xí)成績(jī)，可謂是一舉多得.