小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)對(duì)學(xué)生退位減法計(jì)算錯(cuò)誤的研究

孫誠(chéng)誠(chéng) 曹榮榮

【摘要】小學(xué)生在應(yīng)用兩位數(shù)退位減法過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，因此，教師處理學(xué)生計(jì)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤就顯得格外重要.文章運(yùn)用問(wèn)卷調(diào)查和訪談法比較了小學(xué)數(shù)學(xué)專家教師和職初教師在處理學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤時(shí)的不同，并利用知識(shí)維度分類理論分析了專家教師和職初教師對(duì)于兩位數(shù)減法算理的理解程度，最后給出了一些教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】退位減法；概念性知識(shí)；過(guò)程性知識(shí)；位值制

一、引 言

在數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程中，由于小學(xué)生思維發(fā)展的不成熟，往往會(huì)導(dǎo)致他們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤[1].建構(gòu)主義學(xué)者認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)是根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)的過(guò)程，也正是在建構(gòu)的過(guò)程中會(huì)發(fā)生某些錯(cuò)誤[2]～[3].因此，能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤，并且分析出學(xué)生錯(cuò)誤的原因，對(duì)于教師的教學(xué)過(guò)程有著重要意義.

教師的專業(yè)技能之一就是正確地分析學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤.好的教學(xué)通常要求教師在看到學(xué)生錯(cuò)誤的瞬間就快速地分析出學(xué)生出錯(cuò)的原因，并用適當(dāng)?shù)拇胧┻M(jìn)行糾正[4].Even和Tirosh的研究指出，教師面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤時(shí)，不僅要有關(guān)于錯(cuò)誤存在的知識(shí)，更要有關(guān)于這些錯(cuò)誤為什么存在的知識(shí)[5].Ball曾在研究中列舉過(guò)一個(gè)退位減法計(jì)算錯(cuò)誤的案例：37-18=21[6]，從教師的角度來(lái)看，不僅要快速地看出答案錯(cuò)誤，更重要的是通過(guò)這個(gè)錯(cuò)誤答案分析學(xué)生出錯(cuò)的原因，繼而采取合適的措施幫助學(xué)生解決這個(gè)錯(cuò)誤.

二、研究過(guò)程

（一）研究對(duì)象

研究對(duì)象選取的是一線的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，包括職初教師和專家教師兩類.每類教師各選擇20人，選擇標(biāo)準(zhǔn)如下：（1）職初教師選取的是剛剛踏上工作崗位的師范畢業(yè)生和教齡在3年以下（含3年）的年輕教師.（2）專家教師則選取的是從事一線教育工作8年～10年，甚至是教齡達(dá)10年以上的優(yōu)秀教師，如省特級(jí)教師、青年骨干教師等.

（二）研究工具

研究工具是向教師提供任務(wù)情境，對(duì)兩類教師進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，初步了解其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和教材的掌握情況，再通過(guò)實(shí)地訪談深入探究專家和職初教師所掌握的知識(shí)程度.

任務(wù)情境是兩位數(shù)退位減法的豎式計(jì)算，兩位數(shù)退位減法在小學(xué)減法計(jì)算過(guò)程中占據(jù)著“承上啟下”的重要地位.因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握減法豎式計(jì)算的算理，并能夠在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中及時(shí)糾正錯(cuò)誤.任務(wù)情境如下：

“有些教師發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生在進(jìn)行兩位數(shù)減法時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)以下的問(wèn)題，同時(shí)你也注意到學(xué)生在做題時(shí)也會(huì)發(fā)生這樣的錯(cuò)誤，你要如何來(lái)糾正學(xué)生出的錯(cuò)呢？”

（三）數(shù)據(jù)收集

研究采用質(zhì)性分析方法收集數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)的收集共分為兩個(gè)步驟：首先，到青島市即墨街道小學(xué)里收集學(xué)生在學(xué)習(xí)兩位數(shù)減法時(shí)的錯(cuò)題，并根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤選出典型范例，列出上面的任務(wù)情境.其次，讓接受調(diào)查的兩類教師對(duì)假定任務(wù)情境的問(wèn)題做出書面回答，同時(shí)對(duì)他們進(jìn)行訪談，探究他們的真實(shí)想法，深入了解他們會(huì)怎樣糾正學(xué)生出現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤.

三、研究結(jié)果與分析

（一）錯(cuò)誤分析

根據(jù)收集的數(shù)據(jù)來(lái)看，專家教師和職初教師給出的錯(cuò)因一共有兩種情況：一種是本質(zhì)錯(cuò)因，另一種是表面錯(cuò)因.具體情況如圖1所示：我們可以清楚地看出專家教師對(duì)于學(xué)生錯(cuò)因的解釋以本質(zhì)錯(cuò)因?yàn)橹鳎毘踅處煂?duì)于錯(cuò)因的解釋更偏重于表面錯(cuò)因.

專家教師和職初教師對(duì)錯(cuò)因解釋情況

1.本質(zhì)錯(cuò)因

通過(guò)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)大部分的專家教師和少數(shù)職初教師都認(rèn)為學(xué)生計(jì)算出錯(cuò)的主要原因是沒(méi)有弄清楚減法的算理.而通過(guò)繼續(xù)訪談?wù){(diào)查發(fā)現(xiàn)，專家教師口中的算理與職初教師理解的算理亦有著很大的差距.

（1）專家教師：“了如指掌”

專家教師利用位值的概念對(duì)減法算理進(jìn)行了解釋，他們認(rèn)為學(xué)生的計(jì)算離不開對(duì)位值的理解.在計(jì)算過(guò)程中，每一個(gè)數(shù)字所在的位置不同，數(shù)字所代表的含義就不一樣，學(xué)生的頭腦中對(duì)此必須有明確的把握.從專家教師的解釋中可以看出，專家教師對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行分析時(shí)是從位值概念的理解來(lái)分析.他們認(rèn)為，學(xué)生要想理解算理，對(duì)位值的掌握是基礎(chǔ)工作.

（2）職初教師：“一知半解”

20位職初教師當(dāng)中只有2位教師正確地解釋了兩位數(shù)減法的算理，而這兩位教師能給出正確解釋的原因是她們參加、學(xué)習(xí)過(guò)專家教師的公開課，所以對(duì)兩位數(shù)減法的算理才有較深刻的認(rèn)識(shí)和理解.其余18位職初教師對(duì)于兩位數(shù)減法算理的理解是不透徹的，他們認(rèn)為計(jì)算過(guò)程就是算理，只是在向?qū)W生說(shuō)明怎么計(jì)算，而為什么要這樣計(jì)算則沒(méi)有說(shuō)明.訪談過(guò)程中，有部分職初教師認(rèn)為，計(jì)算就是熟能生巧，練得多了，學(xué)生自然也就會(huì)了.

2.表面錯(cuò)因

在研究對(duì)象中，4%的專家教師和96%的職初教師都將學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤停留在表面上，我們可以認(rèn)定大部分的職初教師尚不具備良好的分析錯(cuò)因的能力.而專家教師對(duì)于表面錯(cuò)因的解釋也與職初教師不盡相同.

（1）專家教師：結(jié)合“本質(zhì)”分析“現(xiàn)象”

雖然4%的專家教師也給出了表面錯(cuò)因的解釋，但是這些專家教師都是將表面錯(cuò)因與深層錯(cuò)因結(jié)合起來(lái)說(shuō)明的.我們可以看出專家教師對(duì)于學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤，是從自己的課堂教學(xué)出發(fā)，認(rèn)為學(xué)生出錯(cuò)的原因是多種多樣的，從而可以根據(jù)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行多方面綜合分析.

（2）職初教師：無(wú)法找到錯(cuò)誤“根源”

96%的職初教師都只是簡(jiǎn)單地對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行了表面分析，而沒(méi)有找到學(xué)生出錯(cuò)的根源.調(diào)查發(fā)現(xiàn)職初教師對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的理解缺乏深度，缺乏對(duì)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤進(jìn)行分析、歸納的能力，因而，不能從數(shù)學(xué)專業(yè)的角度尋找學(xué)生出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的原因.

（二）糾正措施

學(xué)習(xí)過(guò)程并不僅僅是知識(shí)的簡(jiǎn)單相加，從整體上來(lái)看，學(xué)習(xí)是一個(gè)順應(yīng)的過(guò)程[7].因此，教師對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的糾正在教學(xué)當(dāng)中意義深遠(yuǎn).通過(guò)之前的分析，可以發(fā)現(xiàn)專家教師以及職初教師對(duì)于兩位數(shù)減法的理解和掌握情況有著一定的差異，這也造成了專家教師和職初教師在糾正策略上的差異.

1.專家教師：多種途徑糾正錯(cuò)誤

（1）重組策略

在糾正學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤時(shí)，重組策略是大多數(shù)專家教師都會(huì)選擇的一種策略.專家教師普遍認(rèn)為重組策略是較為基礎(chǔ)的策略，因?yàn)檫@是建立在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)20以內(nèi)的口算減法的基礎(chǔ)上，可以使學(xué)生對(duì)這種方法產(chǎn)生共鳴，極易運(yùn)用已有的知識(shí)進(jìn)行遷移[8].

（2）利用輔助性學(xué)具

訪談中發(fā)現(xiàn)，部分專家教師在對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行糾正時(shí)，不約而同地選擇了小棒進(jìn)行講解，他們認(rèn)為，擺小棒的過(guò)程能夠很好地體現(xiàn)退位減法的基本算理.可見，專家教師能夠找到更為形象、直觀的糾正措施來(lái)幫助學(xué)生解惑.

（3）類比加法原理

訪談過(guò)程中，不少專家教師都提出可以利用減法是加法的逆運(yùn)算這一事實(shí)，通過(guò)加法的算法原理類比到減法的算法原理，以幫助學(xué)生更好的理解.可以看出專家教師對(duì)于各知識(shí)之間的聯(lián)系都有一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí).

2.職初教師：糾正方法較為單一

職初教師在糾正學(xué)生錯(cuò)誤時(shí)，想到的糾正策略往往是比較“單薄”的，對(duì)于錯(cuò)誤的糾正缺乏針對(duì)性，不能從專業(yè)的數(shù)學(xué)角度幫助學(xué)生分析及糾正錯(cuò)誤.20名職初教師中有16位教師給出的糾正措施都不是從數(shù)學(xué)專業(yè)的角度來(lái)說(shuō)明的.從深入訪談中，可以發(fā)現(xiàn)職初教師對(duì)于學(xué)生在兩位數(shù)減法時(shí)出現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤，解決的方法大體上保持一致：都是讓同學(xué)自己一遍一遍地改正，然后一遍一遍地練習(xí)，直到不再出錯(cuò)為止.由此可見，職初教師糾正措施的選擇很大程度上受到其錯(cuò)誤歸因的影響.

（三）研究結(jié)論

馬立平老師曾經(jīng)在對(duì)比中美教師重組數(shù)字做減法的研究中，提出教師對(duì)于減法知識(shí)的模型包括概念性理解和過(guò)程性理解[9].在訪談過(guò)程中，通過(guò)與兩類教師進(jìn)行深入交流，同樣發(fā)現(xiàn)兩類教師存在著概念性知識(shí)和過(guò)程性知識(shí).研究表明大部分專家教師屬于概念性知識(shí)，在教學(xué)過(guò)程中能夠清楚地說(shuō)出兩位數(shù)減法的算理.例如，有些教師在列豎式計(jì)算時(shí)，會(huì)通過(guò)加法的“滿十進(jìn)一”類比出減法的“退一當(dāng)十”，同時(shí)會(huì)引入進(jìn)率，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做鋪墊.而對(duì)減法只有過(guò)程性知識(shí)的職初教師，在教學(xué)過(guò)程中往往更加強(qiáng)調(diào)計(jì)算過(guò)程.比如，在遇到需要進(jìn)行退位的減法計(jì)算時(shí)，只具有過(guò)程性的教師往往會(huì)給出如下解釋：當(dāng)我們遇到個(gè)位不夠減的情況時(shí)，我們通常需要向十位借一個(gè)1變成10，加到個(gè)位上再減.而這種說(shuō)法在數(shù)學(xué)上其實(shí)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

四、教學(xué)建議

（一）教師要充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)

好的教師需要擁有豐富的學(xué)科知識(shí)，有學(xué)科知識(shí)的支撐，教師的教學(xué)能力勢(shì)必有所欠缺.在退位減法中，最重要的學(xué)科知識(shí)就是位值制.教師只有自己對(duì)位值制有深刻的理解，才有可能在教學(xué)過(guò)程中將“數(shù)字在不同的位置上代表不同的含義”這一思想傳達(dá)給學(xué)生.

（二）教師要有豐富的學(xué)科知識(shí)概念圖

教師應(yīng)對(duì)知識(shí)內(nèi)容有一個(gè)完整的概念體系，專家教師更加注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)各部分之間的聯(lián)系.在講課的過(guò)程中，專家教師能夠從多方面來(lái)幫助學(xué)生理解并建構(gòu)新知識(shí)，而職初教師認(rèn)為兩位數(shù)減法的學(xué)習(xí)只要弄明白運(yùn)算過(guò)程，并在運(yùn)算過(guò)程中保證數(shù)位對(duì)齊即可.

（三）教學(xué)要恰當(dāng)選擇形象化工具

小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中可以借助恰當(dāng)?shù)男蜗蠡ぞ撸皂槕?yīng)小學(xué)生的直觀形象思維.當(dāng)然，并不是所有的學(xué)具都會(huì)對(duì)學(xué)生理解學(xué)科內(nèi)容有一定的幫助，專家教師則大多選用擺小棒的方式來(lái)幫助學(xué)生理解位值變換.因此，職初教師既要增強(qiáng)使用形象化工具的意識(shí)，同時(shí)還要提高選擇形象化工具的能力.

（四）教師要樹立正確合理的教學(xué)觀

不同的教學(xué)觀對(duì)教師的教學(xué)風(fēng)格有著重大影響[10].調(diào)查發(fā)現(xiàn)專家教師往往注重引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí).職初教師在教學(xué)過(guò)程中所起到的作用大多是“搬運(yùn)作用”，只是對(duì)書本知識(shí)的簡(jiǎn)單重述.這兩種截然不同的教學(xué)觀，對(duì)于學(xué)生能力的培養(yǎng)也是不同的.因此，教師一定要形成正確的教學(xué)觀.

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