形如a+λb型結(jié)構(gòu)最小值問題的解法及溯源
——基于HPM的數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)資源研究

陸祥雪

（江蘇省泰州中學(xué)附屬初級中學(xué)）

幾何最值問題作為幾何計算的一種題型，在中考試題中屢見不鮮.其主要解題方法有兩種，一種是選用適當(dāng)?shù)淖兞?，寫出幾何量的表達式，然后對表達式進行討論（代數(shù)方法）；另一種是利用圖形的幾何特性，找到取得最值的位置，然后再求最值（幾何方法）.對于一些問題，我們常常需要進行轉(zhuǎn)化，然后再用上述方法進行解決.a+λb型結(jié)構(gòu)作為a+b型最小值問題的變式，其解答的方法也不例外.

一、問題與解析

問題1：如圖1，在△ABC中，BA=BC=4，∠A=30°，D是AC上一動點，求的最小值.

圖1

方法1：如圖2，將點B沿AC翻折得點B′，此時B′D=BD. 當(dāng)B′，D，F(xiàn)三點共線時（如圖3），的值最小，最小值為B′F的長，B′F=B′Csin60°=.

圖2

圖3

方法2：如圖4，將BC沿直線AC翻折，得直線CE.這樣∠BCA=∠ACE，過點D作DE⊥CE于點E，則當(dāng)B，D，E三點共線時，BD+的值最小，最小值為BE的長，即BE=BCsin 60°=.

圖4

問題2：如圖5，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=3，E是OA上一點，且OE=2，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α(0 °<α<90°)，連接E′A，E′B，求的最小值.

圖5

如圖6，在OB上取點F，連接E′F，由“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似”可知，當(dāng)時，△OE′F∽ △OBE′，所以所以，這樣，問題轉(zhuǎn)化為求AE′+E′F的最小值，所以當(dāng)A，E′，F(xiàn)三點共線時，E′A+E′B的值最小，即為線段AF的長，AF的長為.

圖6

以上兩個問題均是通過幾何方法求解的，關(guān)鍵是將a+λb中的λb轉(zhuǎn)化為一條線段，其作法可以認為是通過構(gòu)造相似三角形，利用相似的性質(zhì)實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.解題的依據(jù)一種是應(yīng)用“垂線段最短”；另一種是應(yīng)用“兩點間線段最短”.

二、問題與溯源

上述兩個問題均涉及兩個定點及一個動點，但問題1的動點是在一條過定點的直線上運動，問題2的動點實際上是在一個圓上運動.追溯這兩個問題的背景，涉及到兩個有趣的問題.

1.“胡不歸”問題

從前，有一個小伙子在外地學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路回家.由于思父心切，他只考慮了兩點之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑，而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭.鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸”問題.

小伙子設(shè)想了一條回家路線，如圖7，A是出發(fā)點，B是目的地，直線l是一條驛道，而驛道靠目的地一側(cè)全是砂土地帶，為了盡快回家，小伙子選擇了直線路程AB.但是，他忽略了在驛道上行走要比在砂土地帶行走快這一因素.如果他能選擇一條合適的路線，是可以提前抵達家門的.那么，這合適的路線應(yīng)該是哪條路線呢？

圖7

顯然，根據(jù)兩種路面的狀況和在其上行走的速度，可以在直線l上選定一點C，小伙子先從點A走到點C，然后從點C折往點B，可以最早到達點B.假設(shè)小伙子在驛道上行走的速度為m米/時，在砂土上行走的速度為n米/時(n

圖8中，過點C作CD⊥AM，則，所以.由“垂線段最短”可知，當(dāng)B，C，D三點共線時，t的值最小，最小值為.

這就是問題1的背景，也給出了這個問題的一般解法.射線AM為什么作在點B關(guān)于直線l的異側(cè)？其實，作在同側(cè)也可以，不過此時就要作點B關(guān)于直線l的對稱點，就是將△ABC沿直線l翻折下來，相比較多了一些解題的步驟.我們可把問題1歸納為下列模型：“兩定點+一動點”求a+λb最小值，動點在過一定點的定直線上運動，我們不妨稱之為“胡不歸”模型.在模型識別時需要注意在a+λb中，0<λ<1.

變式：如圖9，在△ABC中，，AD⊥BC于點D，且AD=4，P是AD上的動點，求的最小值.

圖10

2.阿波羅尼斯圓

在平面上給定相異兩點A，B，設(shè)點P在同一平面上且滿足，當(dāng)k>0，且k≠1時，點P的軌跡是個圓，這個圓我們稱之為阿波羅尼斯圓.這個結(jié)論稱之為阿波羅尼斯軌跡定理.設(shè)M，N分別為線段AB按定比k分割的內(nèi)分點和外分點，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且這個定理的證明在高中階段是用建立坐標(biāo)系的方法解決的，這里用平面幾何的方法來解決.

完備性，即滿足條件的點P均在同一個圓上.

圖11

如圖11，過點A作AC∥PM，交BP的延長線于點C，過點B作BD∥PA，交PN于點D.

由角平分線逆定理，可得PM平分∠APB，PN平分∠QPB.

所以∠MPN=90°.

所以點P在以MN為直徑的圓上.

設(shè)AB=a，

純粹性，即以MN為直徑的圓上的點均滿足以上條件.

圖12

如圖12，過點P作PH⊥MN于點H，設(shè)BH=b，

我們還可以推得阿波羅尼斯圓的半徑與圓心到線段兩端的距離之間的關(guān)系.

如圖13，設(shè)直徑為MN的圓的圓心為點O，連接PO，

圖13

所以O(shè)P2=OB·OA.

所以這個關(guān)系可概括為，阿波羅尼斯圓的半徑是圓心到線段兩端的距離的比例中項.

由此可知，當(dāng)點P在⊙O上運動時，已知直徑MN，即已知線段AB的內(nèi)、外分點，利用OP2=OB·OA，在A，B兩點中，如果已知一個點，那么就可以確定另一個點及的比值，因為此時.

在問題2中，動點E′在以點O為圓心，半徑為2的圓上運動，⊙O為阿波羅尼斯圓，B是已知線段的一個端點，根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質(zhì)，我們可以在OB上找到線段的另一個端點（設(shè)為點F），所以有，這樣，從而將問題轉(zhuǎn)化.

我們可以把問題2歸納為下列模型：已知兩個定點求a+λb最小值，動點在一個圓上運動，根據(jù)以上討論，實際上是，已知阿波羅尼斯圓及線段的一個端點，確定另一個端點的問題，也就是阿波羅尼斯圓問題的一個變式，λ的值即為半徑與圓心到線段已知端點距離的比或倒數(shù).利用此模型通過更換問題背景可以編擬出如下新問題.

題目如圖14，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，AM=1，N是BC邊上一個動點，將△BMN沿MN折疊，使點B的對應(yīng)點P落在正方形ABCD所在平面內(nèi)，Q是BC的中點，求PQ+3PA的最小值.

圖14

三、問題與思考

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).以數(shù)學(xué)史料為命題素材的問題，在歷年中考中也時有出現(xiàn)，通過對這些問題的研究，感受數(shù)學(xué)歷史及相關(guān)內(nèi)容的有趣故事，對提升教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以及對提高數(shù)學(xué)教學(xué)研究的興趣大有益處.教材及學(xué)生平時遇到的數(shù)學(xué)問題，限于篇幅，沒有提供數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的歷史背景、發(fā)現(xiàn)者的原始思考及來龍去脈，這使得火熱的發(fā)現(xiàn)變成冰冷的美麗.教師及學(xué)生了解數(shù)學(xué)史對全面而準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)、提高教學(xué)質(zhì)量，都是十分有益的，讓學(xué)生學(xué)習(xí)有文化的數(shù)學(xué)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時，獲得文化的熏陶.

教師在平時的教學(xué)工作中，會接觸到大量的數(shù)學(xué)問題，對這些問題的態(tài)度也影響到教師的成長.有些教師能以問題為素材，不斷探尋問題的內(nèi)涵與外延，力求理順問題的來龍去脈，并對問題的解答進行整理、歸納，努力找到問題的模型，得到普適的方法，追溯問題產(chǎn)生的背景，了解命題者的考查意圖.如果在教學(xué)中，教師都努力這樣做，對培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及提出問題和解決問題的能力大有裨益，使學(xué)生能解一題、會一類，這樣才能使更多的充滿數(shù)學(xué)味道的問題為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)服務(wù).