一道中考題的妙解賞析及教學導向分析

毛大平

（浙江省杭州市富陽區(qū)永興中學）

一、試題呈現與分析

題目（2017年浙江·杭州卷）在平面直角坐標系中，設二次函數y1=(x+a)(x-a-1)，其中

（1）若函數y1的圖象經過點(1，-2)，求函數y1的表達式；

（2）若一次函數y2=ax+b的圖象與y1的圖象經過x軸上同一點，探究實數a，b滿足的關系式；

（3)已知點P(x0，m)和Q(1，n)在函數y1的圖象上，若m

此題考查了含參數二次函數的圖象和性質，其中第（1）小題主要考查學生求解二次函數解析式的方法，同時蘊涵整體思想；第（2）小題主要考查函數圖象與函數解析式之間的數形轉化，交點坐標與方程組解之間的數形轉化；第（3）小題主要考查二次函數背景下求解函數增、減性問題的方法.整道試題的求解關鍵是在數形結合思想下，理解在參數a的變化過程中對稱軸直線是不變的.

二、妙解賞析

1.第（1）小題的解法與評析

解法1：由題意，得(1+a)(1-a-1)=-2，

即a(a+1)=2.

因為y1=x2-x-a(a+1)，

所以y1=x2-x-2.

【評析】若學生發(fā)現a(a+1)=2是一個整體，代入y1=x2-x-a(a+1)后可快速求解.

解法2：由題意，得(1+a)(1-a-1)=-2，

即a2+a-2=0.

解得a1=-2，a2=1.

所以y1=(x-2)(x+1)=x2-x-2.

【評析】若學生沒有發(fā)現a(a+1)=2是一個整體，通過解一元二次方程a2+a-2=0，將a的兩個解代入y1后會驚喜的發(fā)現是同一個結果，和方法1有異曲同工之妙.

解法3：由題意，得函數y1的對稱軸為直線.

因為函數y1過點(1，-2)，

所以函數y1也過點(0，-2).

所以y1=x(x-1)-2=x2-x-2.

【評析】由y1=(x+a)(x-a-1)可得其與x軸的兩個交點坐標分別是(-a，0)，(a+1，0)，則二次函數圖象的對稱軸是直線.(1，-2)關于直線的對稱點是(0，-2)，可以快速求得解析式為y1=x(x-1)-2=x2-x-2.

解法4：由題意，可得函數y1的對稱軸為直線.

2.第（2）小題的解法與評析

解法1：由題意可知，函數y1的圖象與x軸交于點(-a，0)和(a+1，0).

當y2的圖象過點(-a，0)時，得a2-b=0；

當y2的圖象過點(a+1，0)時，得a2+a+b=0.

【評析】因為y2與y1經過x軸上同一點，先求出函數y1的圖象與x軸交于點(-a，0)和(a+1，0)，將這兩個點分別代入y2就可以得到a，b的兩個關系式.

解法2：因為，

所以y2=ax+b的圖象與x軸的交點是.

因為y1的圖象過點

【評析】因為函數y2與y1的圖象經過x軸上同一點，先求出函數y2=ax+b的圖象與x軸的交點是，將其代入y就可以得到a，b的兩個關系式.1

解法3：因為y1與y2的圖象經過x軸上同一點，

設y1與y2的圖象都經過點(m，0)，

【評析】抓住y1，y2圖象經過x軸上一點，則可以設這個點為(m，0)，將其代入兩個函數關系式可以得到關于m的含參數方程組，通過消元可以得到方法2中的算式.

3.第（3）小題的解法與評析

解法1：由題意知，函數y1的對稱軸為直線.

所以點Q(1，n)與點(0，n)關于直線對稱.

因為函數y1的圖象開口向上，

當m

所以0

【評析】學生在解答時利用二次函數圖象的軸對稱性和增減性，借助數形結合，可以快速得出答案.

解法2：由題意，可得x0-a(a+1)，n=(1+a)(1-a-1)=-a(a+1).

因為m

解得0

【評析】抓住m

解法3：由題意知，函數的對稱軸為直線.

因為拋物線開口向上，

所以離對稱軸越近，函數值越小.

因為點P(x0，m)和Q(1，n)在函數y1上，且m

所以0

【評析】因為二次函數y1=(x+a)(x-a-1)的圖象開口向上，當圖象上的點與對稱軸距離越近，則函數值越小，所以當m

三、教學導向分析

1.函數教學中重視概念和性質的理解

這道中考試題考查了眾多關于函數概念和性質的知識.例如，知識點1：在引進參數a后對變量的識別；知識點2：根據題目條件靈活求解二次函數解析式；知識點3：函數解析式和函數圖象之間的相互轉化；知識點4：利用二次函數的增、減性解決問題.

若要較好地掌握函數概念和性質，靈活地解決這道中考試題，教師在函數概念教學中需要創(chuàng)設多個真實的生活情境，讓學生感受“在一個變化過程中有兩個變量x和y，當x確定時，y也唯一確定，我們就說y是x的函數”，這樣學生就能比較好的理解和分清知識點1中的參量和變量.

在二次函數三種解析式的學習過程中，教師需要和學生一起理清對二次函數一般式的約定和將二次函數一般式進行因式分解得到二次函數交點式，以及將二次函數進行配方得到頂點式的演變過程，這樣學生才會清楚地理解每種解析式的特點，達到知識點2中靈活求解二次函數解析式的目的.

學生在八年級上學期學習的第一個具體函數是一次函數，在學習從解析式法到圖象法解決一次函數問題的過程中，教師若能和學生一起借助幾何畫板軟件，通過對滿足解析式的點進行追蹤，觀察它的運動軌跡，體會函數的完備性（坐標滿足函數表達式的點在函數圖象上）和純粹性（圖象上的點的坐標滿足函數表達式），則能比較好的理解知識點3，實現題目條件從“形”向“數”的轉化.

在學習二次函數的增減性后，教師可以從特殊點函數值的大小比較入手，得出二次函數中函數值大小比較的四種常用方法，即代入法、圖象法、距離法、作差法，并引導學生進行條件變換，將具體的點的橫坐標變成一個范圍，再比較函數值的大小，發(fā)現用到的是同樣的方法，這樣就能真正解決知識點4的問題.

教師只有重視對函數的概念和性質的教學，才能讓學生很好地理解函數的本質，而不是一味用解析式法去求解函數問題，而偏廢了對函數內容的教與學.

2.課堂教學中重視讓學生建立知識之間的關聯性

在數學課堂教學中，教師要重視知識之間的聯系，并且通過教學讓學生建立起知識之間的關聯性，使學生在回答問題時能找到越來越多與解題相關的特征，將多個零散的知識點聯系起來，形成完整的知識結構來回答或解決較為復雜的問題，并在此基礎上提出更多問題，學習更多的抽象知識.

此題中y1=(x+a)(x-a-1)是一個含參二次函數，它代表一簇二次函數，每取一個a，就有一個特殊的二次函數，但是這一簇二次函數中蘊含著不變的量，那就是對稱軸都是直線.教師在教學過程中需要引導學生發(fā)現并得出在變化過程中不變的量，這樣，對第（1）小題，學生就容易想到運用解法3的兩根式和解法4的頂點式求解析式，這也是第（3）小題中解法1和解法3解決問題的關鍵.在第（2）小題的解題過程中，三種解法都需要將二次函數由“形”向“數”進行轉化，這需要學生在學習函數圖象的過程中建立起函數解析式法和圖象法的關聯，利用數形結合理解好函數的完備性和純粹性.在第（3）小題的解題過程中，學生需要將二次函數的增減性和函數值的大小比較聯系起來，將比較大小的四種方法相互聯系起來，將已知自變量的取值范圍求函數值的大小和已知函數值求自變量取值范圍的這種互逆求法聯系起來.這樣的學習才是基于理解的學習，能夠促進學生思維的發(fā)展，提高學生解決問題的能力.

3.問題解決過程中用一題多解提升數學知識的學習水平

一題多解就是通過不同的解題方法、運算規(guī)律和思維方式解答同一道題目.在對第（1）小題一題多解的過程中，可以加深學生對二次函數一般式、交點式和頂點式“是什么”和“為什么”的理解.“是什么”包括對各種二次函數解析式知識意義的理解，能從不同角度去認識知識的性質，知識的類屬，以及知識的背景；“為什么”是對知識之間邏輯關系的理解，即各種二次函數解析式之間的聯系和因果關系.只有通過對不同解法的思考，才能達到對知識之間邏輯關系的理解，加強學生知識遷移的能力，有助于學生把理解的知識、形成的基本技能遷移到新的情境中去，促進新知識的學習或解決不同情境中的問題.同時，一題多解的訓練還可以提升學生知識遷移的能力，學生利用一題多解過程中積累的數學活動經驗，能夠對問題進行變式，從而得到一些新的問題和結論.例如，通過第（2）小題一題多解的訓練，可以提出如下的變式題：兩個一元二次方程x2+kx-1=0與x2+x+k-2=0有且僅有一個相同的實數根，求k的值.此外，還可能實現方法的突破，用不同的方法解決一些常規(guī)的問題，形成數學學科思維.例如，通過對第（3）小題一題多解的訓練，學生可以積累起用特殊值法、圖象法、作差法、距離法這四種方法求解二次函數背景下函數值大小比較問題的經驗，這樣學生就會很容易發(fā)現，若將第（3）小題的條件和結論互換，變成“在平面直角坐標系中，設二次函數y1=(x+a)(x-a-1)，其中a≠0.已知點P(x0，m)和Q(1，n)在函數y1的圖象上，若0