美國AC版初中數(shù)學教材編排特點及啟示
——以“研究整數(shù)”一章為例

范連眾，孔凡哲

（1.東北師范大學教育學部；2.遼寧省大連市甘井子區(qū)教師進修學校）

盡管我國學者在研究美國教材方面的成果比較豐富，但由于教育體制、傳統(tǒng)、研究特長等各方面的差異，在具體章節(jié)層面進行微觀研究的還很少.

本研究以美國McGraw-Hill公司2008年出版的《Mathematics：Applications and Connections》（以下統(tǒng)稱“AC版教材”）中的“研究整數(shù)”一章為研究對象，就其編寫特點進行詳細剖析，希望能為我國教材的編寫修訂提供參考借鑒.

一、教材的整體編排結(jié)構(gòu)

AC版教材共有三冊，供6～8年級的學生使用.第一冊共分十三章，以代數(shù)領域的內(nèi)容居多，但在每一章中，也會有與幾何和統(tǒng)計相聯(lián)系的內(nèi)容.“研究整數(shù)”是在第一冊中的第十一章，主要內(nèi)容屬于代數(shù)領域，還涉及到幾何變換領域的內(nèi)容.例如，在坐標系中用有序數(shù)對表示點的位置，圖形的平移與軸對稱變換.

為了更清楚地了解第一冊教材的編排特點，現(xiàn)將各章的名稱和主要學習內(nèi)容羅列如表1所示.

第十一章“研究整數(shù)”共有十一個小節(jié)，每一小節(jié)都從實際問題入手，具體名稱和學習內(nèi)容如表2所示.由表2可以清楚地看到在代數(shù)知識學習的過程中，幾何知識與問題解決的策略性知識，都有效地整合在一起.

表1：AC版教材整體編排結(jié)構(gòu)

續(xù)表

表2：第十一章各小節(jié)的內(nèi)容編排

二、教材的具體結(jié)構(gòu)分析

1.首當其沖的章項目

在學習一章知識之前，教材首先給出章項目（Chapter Project），一般占據(jù)2頁篇幅，第1頁是為章項目配備的主題彩圖，以及本章將要學習的主要知識點.第2頁是對章項目的介紹，之后是項目導引、操作要點，以及查閱資料的相關(guān)網(wǎng)站的網(wǎng)址，并將在未來學習中會遇到的與完成項目相關(guān)的頁碼都標出來，便于學生整體把握.

“研究整數(shù)”這一章的章項目的主題是“公民”，配圖是美國國會大廈及議會會議的彩色圖片.具體題目是“有得有失”，并配有如下的敘述：在這個項目中，你將繪制一張地圖，這張圖能直觀地顯示美國每個州的眾議院的議員數(shù)是如何變化的.你還需要做一個折線圖，并寫一些關(guān)于這些變化的介紹.你將以海報或小冊子的形式展示你的地圖、折線圖和文字介紹.

項目導引如下：每個州眾議院代表的數(shù)量根據(jù)人口的變化而變化.根據(jù)1990年人口普查顯示，佛羅里達州增加了4個眾議院名額，而賓夕法尼亞減少了2名成員.研究最近一次的人口普查后，每個州的眾議員的數(shù)目是如何改變的.畫出并跟蹤能顯示每個州情況的地圖；把眾議院成員減少的所在州標紅；把增添了眾議院成員的所在州標藍；成員人數(shù)沒有變化的眾議院所在州保留白色.

操作要點如下：利用互聯(lián)網(wǎng)找出哪個州的眾議院人數(shù)增加了，哪個州的眾議院人數(shù)減少了；使用電子表格記錄你收集的數(shù)據(jù)；使用文字處理機，寫下你的關(guān)于變化的敘述.

工作過程如下：你可以使用在第十一章學到的知識來幫助你跟蹤記錄眾議院人數(shù)的變化.參考教材第433頁要求的地圖，在每個州寫出一個整數(shù)，代表眾議院的成員數(shù)目是如何變化的.為你所在的州和與其相鄰的州，分別寫一個整數(shù)，算出這些整數(shù)的總和.你所在的地區(qū)有沒有獲得或失去在眾議院的成員？對每一個眾議院成員人數(shù)有變化的州，在折線圖上標注一個有正負的整數(shù).眾議院議員總?cè)藬?shù)的變化是什么？使用下面的清單，以確保你的海報或小冊子是完整的.（1）地圖清晰易讀；（2）折線圖正確；（3）討論眾議院變化的敘述包括：你所在的地區(qū)是否已經(jīng)獲得或失去了代表，代表的總?cè)藬?shù)是如何變化的.添加一些修飾，讓你的海報或小冊子更有吸引力.

2.實用細致的新知學習

介紹完章項目之后，就進入到具體的小節(jié)學習之中.每一小節(jié)在標題之后，首先給出了具體要學的知識點（What you will learn？），以及何時用到這些知識（When am I ever going to use this？），有的小節(jié)還給出關(guān)鍵提示（Word to the Wise）.在正文部分，教材首先呈現(xiàn)一個具體的實例，然后介紹要學習的概念和性質(zhì)，緊接著就是兩個具體的例題.根據(jù)知識內(nèi)容的特點，有的小節(jié)又接著安排與例題聯(lián)系緊密的兩道例題，有的小節(jié)則再安排應用方面的兩道例題.

教材第十一章第一節(jié)的實例背景是：每年三月，都要舉行艾迪塔羅德狗拉雪橇比賽，賽程始于阿拉斯加州的安克雷奇市，止于諾姆市.在這一季節(jié)，安克雷奇市白天的平均最高氣溫是34℉，然而選手們和他們的狗將要面對的最后氣溫是零下30℉.這一溫度你可以寫成-30.

新知識介紹什么是整數(shù)、正整數(shù)、負整數(shù)，怎樣在數(shù)軸上表示整數(shù)，然后是四道例題.例1是在數(shù)軸上表示-5；例2是在數(shù)軸上表示+2.之后是與這兩道例題聯(lián)系密切的兩道例題，都是用一個整數(shù)表示地理位置；例3要求用整數(shù)表示死海低于海平面1 312英尺；例4要求用整數(shù)表示珠穆朗瑪峰高于海平面29 028英尺.

教材最后又介紹了相反數(shù)的概念，接著就是兩道例題，分別寫出+4和-3的相反數(shù).

3.目標明確的練習題

AC版教材的知識鞏固部分分成理解檢查和練習兩個部分.理解檢查又分為數(shù)學交流、指導練習和附錄參考答案；練習則分為操練、應用和解決問題，以及綜合練習.習題中如果有背景，則將背景類型也都一一標出.

第一節(jié)的“數(shù)學交流”部分有三道題，第1題要求在數(shù)軸上明確-1和+2；第2題是先在數(shù)軸上表示6和它的相反數(shù)，然后再解釋為什么這兩個數(shù)是相反的；第3題是寫出一個可以用正整數(shù)或負整數(shù)表示的實際例子，并解釋意義.指導練習則與例題相對應，第4～6題與例1、例2相類似，畫出數(shù)軸并表示+9，-7和3；第7～8題與例3、例4類似；第9～11題則與例5、例6相類似.最后的拓展知識有兩道題，第12題要求描述-10的相反數(shù)，第13題則介紹超導材料的溫度.

“練習”部分的習題標號延續(xù)“理解檢查”部分，其中習題的數(shù)量明顯增多，“操練”部分仿照例題，其中6道題是在數(shù)軸上表示數(shù)，6道題是描述具體的情境，6道題是寫出一個數(shù)的相反數(shù).還有3道題是在一條數(shù)軸上表示三、四個數(shù).在“應用和解決問題”中有4道題，第39題是地球科學背景，要求表示地球中心的溫度是7 000℃；第40題是先表示佛羅里達州的杰克遜維爾市海拔0米，再用整數(shù)解釋；第43題是章項目的第1題；第44題要求辯證思考，比較數(shù)軸和溫度計，它們哪里相同，又有什么區(qū)別？在“綜合練習”欄目中，給出了5道與前面章節(jié)學習相關(guān)的習題，其中還有一道是標準檢測題，主要起到復習的作用.

4.別具一格的“實驗室”

為了學習“整數(shù)的加法”，教材提前安排了“手工實驗室”，幫助學生建立零數(shù)對的概念.首先是要求小組一起按照教材中給出的步驟操作，然后再自己獨立完成.學生通過小組合作學習的方式完成操作是獨立完成的前提.

由于乘法和除法是互逆運算，在學習完乘法運算之后，教材又安排了“頭腦實驗室”，通過兩名學生如何根據(jù)比賽時間和訓練時間確定訓練計劃這一實際問題，思考如何利用倒推法想問題.其中解決問題的策略完全按波利亞問題解決的四個步驟進行，最后還逐步拓展到在解決數(shù)學問題中是如何操作的.

在這一章中，教材還安排了與職業(yè)生涯規(guī)劃相關(guān)的閱讀材料，指出了未來要想成為統(tǒng)計學家所應具備的基本能力，鼓勵學生學好數(shù)學.

在學習第八節(jié)“圖形變換”之前，教材又一次安排“手工實驗室”，要求學生合作完成與圖形的平移和圖形的翻折相關(guān)的基本操作，為在坐標系中畫出經(jīng)過變換后的圖形打下基礎.

5.系統(tǒng)全面的章復習

在全章的學習結(jié)束之后，教材安排了系統(tǒng)的復習.首先總結(jié)了這一章出現(xiàn)過的專業(yè)術(shù)語，如幾何方面有坐標網(wǎng)絡、坐標系、有序數(shù)對（數(shù)偶）、原點、象限、x軸、y軸等；在代數(shù)方面有正數(shù)、負數(shù)、相反數(shù)、絕對值等；問題解決方面有倒推法等，然后是這些術(shù)語在具體問題中的應用.

總結(jié)的第二部分是目標、例題和復習.在呈現(xiàn)了每個知識點及出現(xiàn)的位置之后，教材都給出了1道例題和相對應的4道以上的練習題.然后是應用和問題解決，最后是一些可以用來代替的問題.例如，通過解決章項目的問題來檢查全章的學習效果.

總結(jié)的最后部分是整章的標準檢測題，包括選擇題和主觀題兩部分.

三、美國初中數(shù)學教材的特點分析及啟示

1.豐富的問題背景和大量的實際問題體現(xiàn)出數(shù)學學習的價值

無論是章項目的全章學習背景，還是每節(jié)課的知識發(fā)生、發(fā)展的問題情境，還是例題、課堂練習，以及作業(yè)中的實際問題，正如這版教材的名字一樣，處處體現(xiàn)出數(shù)學知識與社會生活、與其他學科的聯(lián)系與應用.究其原因，是因為其課程標準中既制定了內(nèi)容標準，又制定了實踐標準.內(nèi)容標準規(guī)定了學生應該理解什么、能夠做什么，而在實踐標準中則明確規(guī)定了數(shù)學教育者應該致力于學生發(fā)展的各種專業(yè)技能，包括良好的建模能力，策略性地使用恰當?shù)墓ぞ?，嚴謹?shù)谋磉_和交流等.恰恰是因為內(nèi)容標準與實踐標準的并行，才使得數(shù)學理解成為學生學習數(shù)學的紐帶.綜觀“研究整數(shù)”這一章的問題背景，涉及到了體育比賽、建筑歷史、游戲娛樂、慶典游行、外國習俗、廣播電視、運動訓練、民俗傳統(tǒng)等八個方面，章中還有職業(yè)生涯規(guī)劃方面的指導.在習題設計中，含有背景的習題共50道，比例接近15%，并且這些背景都是真實的.AC版教材注意與實際背景聯(lián)系的設計思想，十分值得借鑒.

2.混編的內(nèi)容設計體現(xiàn)出數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的靈活性

傳統(tǒng)的教材知識邏輯大都按數(shù)學知識的學科邏輯進行組織，代數(shù)、幾何、統(tǒng)計與概率的內(nèi)容基本上都單獨成章、成節(jié).AC版教材不僅在章節(jié)的順序上進行混編，在具體每一章的內(nèi)容上也是混編的.在“研究整數(shù)”這一章中，前6節(jié)是“數(shù)與代數(shù)”領域的內(nèi)容，學習的是整數(shù)的概念，以及加、減、乘、除運算，其中還有倒推學習策略的學習.后3節(jié)則是坐標系和平移、軸對稱的學習，這屬于“圖形與幾何”學習領域的內(nèi)容，又體現(xiàn)出整數(shù)的應用.這樣的設計既有美國數(shù)學課程“一英里寬，一英寸厚”的特點，又體現(xiàn)出集中性與連續(xù)性的特征，讓學生體驗到學習數(shù)學的整體性，這無疑也是一種有益的嘗試.

3.目標明確的習題設計有利于學生自主練習

AC版教材的習題設計有很強的針對性，在每道例題之后，“理解與檢查”部分都安排與例題極為相似的練習，用于學生形成技能.不僅如此，“理解與檢查”部分還注意引導學生形成自己的理解，要求學生多敘述、多解釋、多舉例，欄目上明確了“數(shù)學交流”和“指導練習”的地位.在“課后練習”中，練習題的數(shù)量明顯增多，一些簡單的變式題也開始出現(xiàn).而“練習與應用”又一直是習題設計的主線，貫穿于課堂練習、課后作業(yè)、單元復習等各個環(huán)節(jié).在每道習題前面都明確指出了問題背景的類型，內(nèi)容涉及科學、經(jīng)濟、物理、統(tǒng)計、幾何、營養(yǎng)等各個學科，題目雖然簡單，但與化學、生物、地理、經(jīng)濟、物理等多方面的聯(lián)系都非常密切.除了與社會生活的廣泛聯(lián)系與應用之外，在常規(guī)題型的基礎上，還有找規(guī)律、用自己的話來說等開放性問題，以提高學生的數(shù)學交流的能力.“練習”中增設了辯證思考類的習題，引導學生對新、舊知識的沖突形成自我理解.在單元總結(jié)中，教材給出了具體學習目標下的例題及其相對應的練習題，增強了練習的針對性.

4.對學生學習方式的培養(yǎng)有重要的作用

接受學習、自主學習、合作學習、探究學習都是數(shù)學的主要學習方式.根據(jù)學習內(nèi)容特點的不同，采用不同的學習方式是十分重要的.在例題之后的“理解與檢查”中，都是首先引導學生建立自己對知識的理解，通過說一說、寫一寫、舉例子等方式，通過開放題的解決，來引導學生自主學習.AC版教材中幾個“實驗室”欄目的設計，為學生的合作學習和探究學習提供了很好的素材和機會，而這些學習內(nèi)容又是未來學習所必須的.例如，學習除法前學習倒推的思考策略，學習圖形變換前研究平移與翻折.對于章項目的設計，又給學生提供了完整地經(jīng)歷問題解決的機會，探究活動貫穿于全章學習的始終.