從類比的角度探究正多面體的對偶現(xiàn)象

張競擇

2018年高考結(jié)束后，我看到江蘇卷第10題是一道立體幾何問題：

如圖1所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________．

讓我感興趣的是，正方體各個面的中心恰好構(gòu)成一個正八面體（每個面都是正三角形，如圖1），這其中有著什么樣的規(guī)律呢？于是借助于網(wǎng)絡(luò)檢索和動態(tài)幾何軟件（幾何圖霸），我展開了一番探求．

圖1

一、正多面體的構(gòu)圖

正多面體，或稱柏拉圖立體，指各個面都是全等的正多邊形且每一個頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣的凸多面體．研究一個數(shù)學(xué)內(nèi)容首先需要畫出它的內(nèi)容，正如有圖有真相，而繪制正多面體的圖形，是我研究過程中面對的第一道坎．以正八面體為例，如果不是如圖1一樣構(gòu)造，而是單獨(dú)畫出來，應(yīng)該怎么操作？

在多次嘗試未果的情形下，突然想到：平面幾何中正多邊形通?？梢栽谕饨訄A的背景下構(gòu)造，如圖2，⊙O中先構(gòu)造AB邊（基本圖形），然后將弦AB繞著圓心O旋轉(zhuǎn)60°得到第二條邊，……如此旋轉(zhuǎn)5次可得到正六邊形；同理，正多面體也是可以借助于外接球來實(shí)現(xiàn)的，如圖3，在球O中構(gòu)造等邊△ABC（基本圖形），然后將△ABC繞著軸OA旋轉(zhuǎn)90°后得到△ACE，……當(dāng)然立體圖形要較平面圖形復(fù)雜，除了旋轉(zhuǎn)外，還有對稱，即△DCB與△ACB關(guān)于面OBC對稱，這樣通過旋轉(zhuǎn)和對稱，可由基本圖形得到正八面體ABCDEF．

圖2

圖3

在上述構(gòu)造中，從平面到立體其實(shí)是一種類比的思維方式，具體而言：正多邊形→正多面體，外接圓→外接球，線段AB→等邊三角形ABC，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)→繞軸OA旋轉(zhuǎn)……事實(shí)上，基本圖形的構(gòu)造，也充斥著類比的影子，圖2中，先構(gòu)造線段，再作弦AB⊥OP；圖3中，過P作垂直于OP的球的截面圓，在圓P上任取一點(diǎn)A，將A繞P分別旋轉(zhuǎn)120°、240°后得到點(diǎn)B、C，這樣可以構(gòu)造出等邊三角形ABC．

二、正多面體的種類

解決一個陌生問題時，我們可以借助類比，從熟悉并相關(guān)的問題中尋找到解題思路．當(dāng)然并不是所有的問題都可以類比的，如我們知道正多邊形有無數(shù)種，但這個結(jié)論卻不能類比到正多面體中，其實(shí)我也是經(jīng)過多次碰壁，用百度搜索后才知道正多面體僅有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，而且這個問題居然早在古希臘時代就已被柏拉圖所解決．證明僅有五種正多面體的方法大致有以下兩種：

設(shè)正多面體由y個正x邊形圍成，任意一頂點(diǎn)出發(fā)有z個正x邊形，且x≥3，y≥3，z≥3．

方法一：正x邊形每一個頂角為

又多面體在一個頂點(diǎn)處多面角的平面角小于360°，

從而說明正多面體僅有五種．

代入歐拉公式：多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F滿足關(guān)系式V＋F－E＝2，

說明：（*）式是一含有三個未知數(shù)的不定方程，我采取的策略是先控制x的范圍，然后再通過討論得到有限組解．

三、正多面體的對偶現(xiàn)象

我們知道，連接正n邊形各邊的中點(diǎn)可以得到另一n邊形；類似的，連接正多面體每個面的中心可以得到一新的正多面體，這是一有趣的對偶現(xiàn)象．

事實(shí)上，觀察前面的五組解可以發(fā)現(xiàn)：正六面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)與正八面體面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)對應(yīng)相等（如圖1，頂面互換、棱數(shù)不變），正十二面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)與正二十面體面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)對應(yīng)相等（如圖5）．事實(shí)上，以正六面體為例，取每個面的中心，如果兩個面有鄰邊，則連接兩個面的中心，否則兩點(diǎn)之間不連線，所有中心和連線構(gòu)成的空間圖形為正八面體；于是，正八面體每個面的中心連線構(gòu)成正六面體；正十二面體每個面的中心連線構(gòu)成正二十面體，而正四面體每個面的中心連線還是正四面體（如圖4）．

圖4

圖5

這樣，同學(xué)們一定可以發(fā)現(xiàn)，江蘇高考卷第10題的背景其實(shí)就是正多面體的對偶現(xiàn)象．通過一道高考題的挖掘，借助于網(wǎng)絡(luò)，我們學(xué)到了很多知識，如歐拉公式、正多面體等，當(dāng)然還有很多問題值得我們進(jìn)一步探索，如正十二面體的外接球、內(nèi)切球的半徑的求法，又如網(wǎng)上文章提到的對稱群、歐拉示性數(shù)、曲面三角剖分等，我都不是很明白，但通過這一次探究，讓我對“處處留心皆學(xué)問，人情練達(dá)即文章”有了更多的領(lǐng)悟，相信這些問題會在不久的將來迎刃而解．

（編者注：關(guān)于正多面體及其對偶體的更多美妙圖形和性質(zhì)，請參見《數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育資源庫》之《數(shù)學(xué)之美》）