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    數(shù)學(xué)文化原創(chuàng)題(一)

    2019-10-16 11:44:58沙國(guó)祥
    關(guān)鍵詞:舍爾條邊八面體

    沙國(guó)祥

    埃舍爾是荷蘭著名版畫家,他的大量作品充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和想象之美,被譽(yù)為“畫家中的數(shù)學(xué)家”.

    (1)圖1是埃舍爾創(chuàng)作的一幅作品,他將一個(gè)正方體四個(gè)面的對(duì)角線連成一個(gè)空間四邊形(記為四邊形ABCD),則這個(gè)四邊形兩條鄰邊AB和AD 之間的夾角是_______.(度數(shù)在0°到180°之間)

    圖1

    圖2

    (2)正多面體是一類非常對(duì)稱美觀的空間圖形,它的每個(gè)面都是正多邊形,且每個(gè)頂點(diǎn)伸出的邊數(shù)同樣多.正多面體只有五種:正四面體、正六面體(即正方體)、正八面體、正十二面體和正二十面體,如圖2.

    正多面體常出現(xiàn)在埃舍爾的作品中,如圖3所示的這幅作品是由正方體和正八面體互相交錯(cuò)而成的,正八面體的12條邊正好穿過正方體的12條邊的中點(diǎn),則該正八面體隱含在正方體中的部分的體積占整個(gè)正八面體體積的______________.

    圖3

    參考答案:(1)60°; (2)

    提示:

    (2)圖4為一個(gè)正八面體,正八面體可以看成是由兩個(gè)大正四棱錐拼合而得,6個(gè)頂點(diǎn)處切割掉6個(gè)小正四棱錐,每個(gè)小正四棱錐的棱長(zhǎng)都是每個(gè)大正四棱錐的棱長(zhǎng)的一半,因此割掉部分的總體積是每個(gè)大正四棱錐體積的即原正八面體體積的

    正八面體的每個(gè)頂點(diǎn)處都切去一個(gè)正四棱錐以后,得到一個(gè)阿基米德體(如圖5).這個(gè)阿基米德體其實(shí)就是題中的正八面體隱含在正方體中的部分.

    圖4

    圖5

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